نسخة الفيديو النصية
لدينا المصفوفتان ﺃ وﺏ؛ حيث ﺃ مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة وعناصرها واحد، سالب واحد، واحد؛ واحد، واحد، اثنان؛ صفر، واحد، صفر؛ وﺏ مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة وعناصرها اثنان، سالب واحد، ثلاثة؛ صفر، صفر، واحد؛ سالب واحد، واحد، سالب اثنين. بحساب ﺃ في ﺏ أولًا، أوجد معكوس ﺃ.
في هذا السؤال، لدينا مصفوفتان من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، وهما ﺃ، وﺏ. ومطلوب منا إيجاد معكوس المصفوفة ﺃ من خلال إيجاد حاصل ضرب المصفوفتين ﺃ، وﺏ أولًا. لفعل ذلك، يجب أن نتذكر في البداية أن معكوس المصفوفة ﺃ هو المصفوفة الوحيدة التي عند ضربها في المصفوفة ﺃ أو العكس، نحصل على مصفوفة الوحدة التي لها نفس الرتبة.
توجد عدة طرق يمكننا من خلالها حساب معكوس المصفوفة؛ لكن مطلوب منا أولًا حساب المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺏ. لذا، سنبدأ بإيجاد حاصل ضرب المصفوفتين المعطاتين. وفي سبيل ذلك، سنضرب كل عنصر من عناصر كل صف بالمصفوفة ﺃ في العناصر المناظرة لها في كل عمود من أعمدة المصفوفة ﺏ، ثم نوجد المجموع.
دعونا نبدأ بالصف الأول من المصفوفة ﺃ والعمود الأول من المصفوفة ﺏ. لدينا واحد في اثنين زائد سالب واحد في صفر زائد واحد مضروبًا في سالب واحد. سيكون الناتج هنا هو العنصر الذي يقع في الصف الأول والعمود الأول بالمصفوفة ﺃﺏ. جدير بالذكر أيضًا أن المصفوفة ﺃﺏ ستحتوي على نفس عدد الصفوف الموجود في المصفوفة ﺃ، ونفس عدد الأعمدة الموجود في المصفوفة ﺏ. وبناء عليه، نعرف أن لدينا مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة.
بحساب مجموع حواصل ضرب العناصر المتناظرة في الصف الأول بالمصفوفة ﺃ والعمود الأول بالمصفوفة ﺏ، نحصل على واحد. من ثم، يمكننا إضافة ذلك إلى المصفوفة ﺃﺏ، ونتبع بعدها الخطوات نفسها مع الصفوف المتبقية بالمصفوفة ﺃ والأعمدة المتبقية بالمصفوفة ﺏ. لنطبق هذه العملية مرة أخرى مع الصف الأول من المصفوفة ﺃ والعمود الثاني من المصفوفة ﺏ. وهذا سيعطينا العنصر الذي يقع في الصف الأول والعمود الثاني من المصفوفة ﺃﺏ. لدينا واحد في سالب واحد زائد سالب واحد في صفر زائد واحد في واحد، وبحساب ذلك، نجد أنه يساوي صفرًا.
من ثم، يمكننا كتابة صفر في هذا الموضع بالمصفوفة ﺃﺏ. وعلينا اتباع هذه العملية مع جميع الصفوف المتبقية بالمصفوفة ﺃ والأعمدة المتبقية بالمصفوفة ﺏ. بالنسبة إلى الصف الأول بالمصفوفة ﺃ والعمود الثالث بالمصفوفة ﺏ، نحصل على صفر. وبالنسبة إلى الصف الثاني بالمصفوفة ﺃ والعمود الأول بالمصفوفة ﺏ، نحصل على صفر.
يمكننا تطبيق هذه العملية مع الصفوف المتبقية بالمصفوفة ﺃ والأعمدة المتبقية بالمصفوفة ﺏ لنحصل على مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها واحد، صفر، صفر؛ صفر، واحد، صفر؛ صفر، صفر، واحد. وهذه هي مصفوفة الوحدة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؛ كما أنها مصفوفة قطرية مربعة؛ حيث كل عنصر من عناصر قطرها الرئيسي يساوي واحدًا.
وهكذا، نكون قد أوضحنا أن حاصل ضرب المصفوفة ﺃ في المصفوفة ﺏ يساوي مصفوفة الوحدة. ونتذكر أنه يوجد معكوس وحيد للمصفوفة. وبما أن المصفوفة ﺏ معكوس للمصفوفة ﺃ، فإن المصفوفة ﺏ هي المعكوس الوحيد للمصفوفة ﺃ.
إذن، تمكنا من إثبات أن معكوس المصفوفة ﺃ هو المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها اثنان، سالب واحد، ثلاثة، صفر، صفر، واحد، سالب واحد، واحد، سالب اثنين.
