فيديو السؤال: إيجاد عدد حلول نظام مكون من ثلاث معادلات الرياضيات

أوجد عدد حلول نظام المعادلات: −٦𝑥 − ٢𝑦 + ٩𝑧 = −٤، −٢٤𝑥 − ٨𝑦 + ٣٦𝑧 = −٢٢، −١٢𝑥 − ٤𝑦 + ١٨𝑧 = −٢١.

٠٤:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد عدد حلول نظام المعادلات:

سالب ستة ‪𝑥‬‏ ناقص اثنين ‪𝑦‬‏ زائد تسعة ‪𝑧‬‏ يساوي سالب أربعة، وسالب ٢٤‪𝑥‬‏ ناقص ثمانية ‪𝑦‬‏ زائد ٣٦‪𝑧‬‏ يساوي سالب ٢٢، وسالب ١٢‪𝑥‬‏ ناقص أربعة ‪𝑦‬‏ زائد ١٨‪𝑧‬‏ يساوي سالب ١٠.

لكي نحدد عدد الحلول لنظام المعادلات هذا، علينا اختيار معادلتين وحذف ‪𝑥‬‏ أو ‪𝑦‬‏ أو ‪𝑧‬‏ منهما. وهذه ستكون الخطوة الأولى. إذن، سنقرر أي متغير سنحذف: ‪𝑥‬‏، أم ‪𝑦‬‏، أم ‪𝑧‬‏. وعندما ننظر إلى معاملات كل منها، نجد أن معاملات ‪𝑥‬‏ هي: سالب ستة، وسالب ٢٤، وسالب ١٢. وكلها تقبل القسمة على ستة. ومعاملات ‪𝑦‬‏ هي: سالب اثنين، وسالب ثمانية، وسالب أربعة. وكلها تقبل القسمة على اثنين. وأخيرًا، معاملات ‪𝑧‬‏ هي: تسعة و٣٦ و١٨. وكلها تقبل القسمة على تسعة. إذن، لن يكون من الصعب حذف أي من هذه المتغيرات ‪𝑥‬‏، أو ‪𝑦‬‏، أو ‪𝑧‬‏؛ لأنها إذا كانت جميعها تقبل القسمة على عدد مشترك، فيمكننا ضرب كل عدد منها في عدد ما وتوحيدها. وبعد ذلك، يمكننا حذفها.

والطريقة التي سنفعل بها ذلك تتمثل في أخذ معادلتين، ووضعهما فوق بعضهما واستخدام طريقة الحذف. وسنعمل على توحيد المعاملات، ولكن أحدها موجب والآخر سالب. وبهذه الطريقة عندما نجمعهما، يلغي أحدهما الآخر. وبما أن ‪𝑥‬‏، و‪𝑦‬‏، و‪𝑧‬‏ كلها متماثلة إلى حد كبير، فيمكننا اختيار معادلتين، ولتكن المعادلة الأولى والمعادلة الأخيرة. فأعدادهما هي الأصغر.

إذن فلنضع إحداهما فوق الأخرى حتى يتسنى لنا استخدام طريقة الحذف، حيث سنجمعهما معًا. وعلينا حذف ‪𝑥‬‏، أو ‪𝑦‬‏، أو ‪𝑧‬‏. غير أن ‪𝑦‬‏ لديه المعاملات الأصغر. لذا علينا حذفه. فلدينا سالب اثنين وسالب أربعة. ويمكننا ضرب المعادلة العليا في سالب اثنين، وهذا سيجعل سالب اثنين ‪𝑦‬‏ تصبح أربعة ‪𝑦‬‏. وبعد ذلك، نجد أن أربعة ‪𝑦‬‏ زائد سالب أربعة ‪𝑦‬‏ تحذف المتغير ‪𝑦‬‏. إذن فلنضرب هذه المعادلة الأولى في سالب اثنين.

إذن يصبح الناتج ١٢‪𝑥‬‏ زائد أربعة ‪𝑦‬‏ ناقص ١٨‪𝑧‬‏ يساوي ثمانية. والآن سنعيد كتابة المعادلة التالية. نحن جاهزون الآن؛ لأنه عند جمع أربعة ‪𝑦‬‏ ناقص أربعة ‪𝑦‬‏ فإن ذلك يجعلنا نحذف المتغير ‪𝑦‬‏ تمامًا كما أردنا. والآن، يمكننا التعامل مع ‪𝑥‬‏ و‪𝑧‬‏. إلا أن ١٢‪𝑥‬‏ زائد سالب ١٢‪𝑥‬‏ يؤدي إلى حذف ‪𝑥‬‏ تمامًا. وعند جمع سالب ١٨‪𝑧‬‏ زائد ١٨‪𝑧‬‏، فهذا يحذف ‪𝑧‬‏ أيضًا. إذن لم يتبق شيء على اليسار، وفي الطرف الأيمن من المعادلة، نجد أن ثمانية زائد سالب ١٠ يساوي سالب اثنين. والصفر لا يساوي سالب اثنين. لذا فإجابتنا هي: لا يوجد حل.

لو كنا حصلنا على شيء مثل صفر يساوي صفر أو سالب اثنين يساوي سالب اثنين، لكنا اعتبرنا هذا صحيحًا، وكانت إجابتنا ستصبح كلها أعدادًا حقيقية. وكان يمكن كذلك ألا يحذف كل ‪𝑥‬‏ وكل ‪𝑧‬‏. وكان يمكن أن نحصل على معادلة فيها ‪𝑥‬‏ و‪𝑧‬‏ يساوي عددًا ثابتًا ما. وبعد ذلك علينا العودة إلى المعادلات الثلاثة الأصلية واختيار نظام معادلتين مختلف. ثم استخدام هذا النظام وحذف ‪𝑦‬‏. والحصول على معادلة أخرى للمتغيرين ‪𝑥‬‏ و‪𝑧‬‏، ونضع معادلتي ‪𝑥‬‏ و‪𝑧‬‏ معًا. بعد ذلك يمكننا حلهما لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏ أو ‪𝑧‬‏، ومتابعة الحل. إلا أننا نرى في هذه المسألة تحديدًا أن الناتج صفر لا يساوي سالب اثنين.

إذن فإجابتنا مرة أخرى هي: لا يوجد حل.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.