فيديو الدرس: التمثيلات البيانية للدوال المتعددة التعريف الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نمثل دالة متعددة التعريف بيانيًّا ونحللها، وندرس خواصها المختلفة.

في بعض الأحيان، تصادفنا دالة تتطلب أكثر من دالة واحدة للحصول على قيمة مخرجة محددة. ويطلق على هذه الدالة اسم «الدالة المتعددة التعريف». وفي هذه الدالة، يتم استخدام أكثر من دالة واحدة لتعريف القيمة المخرجة على أجزاء مختلفة من المجال. وعليه، تعرف كل دالة جزئية على مجالها على حدة.

على سبيل المثال، سنتناول الدالة ﺩﺱ، وهي دالة متعددة التعريف. إنها تساوي اثنين ﺱ زائد واحد إذا كان ﺱ أصغر من سالب واحد، وثلاثة ﺱ إذا كان ﺱ أكبر من أو يساوي سالب واحد. ونلاحظ أنه بالنسبة إلى قيم ﺱ الأصغر من سالب واحد ولا تساويه، فإننا نستخدم الدالة ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد واحد. على سبيل المثال، قيمة ﺩ لسالب اثنين تساوي اثنين في سالب اثنين زائد واحد، وهو ما يساوي سالب ثلاثة. ولكن بالنسبة إلى قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي سالب واحد، فإننا نستخدم الدالة ﺩﺱ تساوي ثلاثة ﺱ. فعلى سبيل المثال، ﺩ لصفر يساوي ثلاثة في صفر، وهو ما يساوي صفرًا ببساطة.

علينا التأكد من أنه يمكننا تحديد التمثيلات البيانية لهذه الدوال وتمثيل الدوال بيانيًّا، وكذلك تعريف الدالة إذا كان لدينا تمثيلها البياني. دعونا نتعرف على كيفية فعل هذا من خلال أحد الأمثلة.

ما نوع الدالة الموضحة بالتمثيل البياني؟ هل هي (أ) دالة زوجية، أم (ب) دالة لوغاريتمية، أم (ج) دالة متعددة التعريف، أم (د) دالة كثيرة الحدود؟

دعونا نبدأ بتعريف كل مصطلح من هذه المصطلحات. إذا كانت الدالة ﺩﺱ تحقق المعيار ﺩ لسالب ﺱ يساوي ﺩﺱ لجميع قيم ﺱ الموجودة ضمن مجال الدالة، فإن هذه الدالة دالة زوجية. ونحن نعلم أن هذا النوع من الدوال يكون له تماثل انعكاسي حول المحور ﺹ أو أن المستقيم ﺱ يساوي صفرًا. سنتناول بعد ذلك الدوال اللوغاريتمية. وهذه الدوال تكتب على الصورة لوغاريتم ﺱ للأساس ﺃ. وهي معكوس الدوال الأسية. ومن الجدير بالذكر أيضًا أن مجال الدالة اللوغاريتمية هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة، ومن ثم فإن المدى هو مجموعة الأعداد الحقيقية كلها.

لدينا بعد ذلك الدوال المتعددة التعريف. وهي دوال يستخدم فيها أكثر من دالة جزئية واحدة لتعريف القيمة المخرجة على أجزاء مختلفة من المجال. ومن ثم، تعرف كل دالة جزئية على مجالها على حدة. وأخيرًا، لدينا الدوال الكثيرات الحدود. وهي دوال تتكون من مجموع الحدود الثابتة والمتغيرات وأسس الأعداد الصحيحة الموجبة أو الفرق بينها، على سبيل المثال اثنين ﺱ تكعيب زائد خمسة ﺱ. ومجال الدالة الكثيرة الحدود هو مجموعة الأعداد الحقيقية كلها. ونحن نعرف أن تمثيلاتها البيانية تكون متصلة وملساء. بعبارة أخرى، لا توجد فراغات في التمثيل البياني، وهو ما يعرف باتصال الدالة، وكذلك لا توجد حافات حادة في التمثيل البياني. حسنًا، هيا ننظر إلى التمثيل البياني المعطى ونقارنه بهذه التعريفات.

نلاحظ في البداية أنه لا يوجد تماثل حول المستقيم ﺱ يساوي صفرًا. وبذلك، نستنتج أن هذه الدالة لا يمكن أن تكون دالة زوجية. نلاحظ أيضًا أن التمثيل البياني معرف تمامًا لقيم ﺱ الأكبر من أو تساوي سالب ١٠ والأصغر من أو تساوي ثمانية. قد يكون التمثيل البياني معرفًا أيضًا خارج هذه الفترة، لكن لا يمكننا أن نجزم بذلك في هذه المرحلة. ويخبرنا ذلك أن مجال هذه الدالة يختلف عن مجال الدالة اللوغاريتمية؛ وهو ببساطة الأعداد الحقيقية الموجبة. وعليه، فإن هذا التمثيل البياني لا يمكن أن يكون تمثيلًا بيانيًّا لدالة لوغاريتمية.

وبذلك، تقتصر الخيارات لدينا على الخيارين «دالة متعددة التعريف» و«دالة كثيرة الحدود». حسنًا، لقد ذكرنا أن التمثيل البياني للدالة الكثيرة الحدود يكون أملس؛ أي لا توجد به حافات حادة. وهذا يعني أن الدالة قابلة للاشتقاق عند كل نقطة. ويمكننا أن نلاحظ بوضوح أن التمثيل البياني لدينا له حافتان حادتان. وبالتالي فهو ليس أملس. إذن، هذا التمثيل البياني لا يمكن أن يكون لدالة كثيرة الحدود. وبذلك يتبقى لدينا الخيار (ج)؛ دالة متعددة التعريف. في الواقع، إذا نظرنا بتمعن، فسنجد أن هناك ثلاثة أجزاء لهذه الدالة المتعددة التعريف. الجزء الأول لقيم ﺱ الأصغر من سالب ثلاثة. ولدينا بعد ذلك قيم ﺱ التي تقع بين سالب ثلاثة وصفر. وأخيرًا، الدالة الجزئية الثالثة لقيم ﺱ الأكبر من صفر حتى ثمانية كما نرى.

وبهذا نكون قد عرفنا شكل التمثيل البياني لدالة متعددة التعريف. والآن، سنتناول كيفية تحديد مجال دالة متعددة التعريف بمعلومية تمثيلها البياني.

أوجد مجال الدالة الممثلة بالرسم البياني التالي.

سنبدأ بتذكر ما نعنيه بكلمة «مجال». مجال الدالة هو مجموعة المدخلات الممكنة التي ينتج عنها مخرجات حقيقية. بعبارة أخرى، المجال هو مجموعة قيم ﺱ التي يمكننا التعويض بها في الدالة. حسنًا، عندما ننظر إلى التمثيل البياني لدالة ما، يمكننا تحديد مجالها بملاحظة انتشار القيم في اتجاه المحور ﺱ. وعلينا أن ننتبه جيدًا لأنه بالنظر إلى التمثيل البياني للدالة لدينا، نلاحظ وجود هاتين الدائرتين المفرغتين. ويطلق على هذه الدائرة أحيانًا «الدائرة غير المظللة»، وهي توضح أن الدالة لا يمكن تعريفها بهذا الجزء من المستقيم عند هذه النقطة. وبما أن لدينا دالة متعددة التعريف؛ وهي دالة تعرف بأكثر من دالة جزئية واحدة، فإننا سنوجد مجال كل دالة جزئية أولًا.

نلاحظ أن لدينا هنا دالة جزئية تأخذ قيمًا أصغر من سالب أربعة. ولدينا دالة جزئية أخرى تأخذ قيمًا أكبر من سالب أربعة. وبما أن نقطة بداية كل مستقيم لكل دالة جزئية تمثلها هذه الدائرة المفرغة، فإننا نعرف أن ﺱ يساوي سالب أربعة هو قيمة غير معرفة في مجال الدالة. ومن ثم، فإن المجال في الواقع هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي لا تشمل هذا العدد. وإحدى طرق تمثيل ذلك هي استخدام ترميز المتباينة، وكتابة أن ﺱ يمكن أن يكون أصغر من سالب أربعة، وﺱ يمكن أن يكون أكبر من سالب أربعة.

بدلًا من ذلك، يمكننا استخدام ترميز المجموعة، حيث يمثل الحرف ﺡ — الذي يبدو غريبًا نوعًا ما — مجموعة الأعداد الحقيقية، وهذان القوسان المتعرجان يوضحان أن المجموعة تحتوي على عنصر واحد، وهو سالب أربعة. إذن، مجال هذه الدالة هو مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء المجموعة التي تحتوي على العنصر سالب أربعة.

والآن بعد أن أوضحنا أن انتشار القيم في اتجاه ﺱ يخبرنا بمجال الدالة، هيا نلق نظرة على كيفية إيجاد مدى دالة متعددة التعريف.

أوجد مدى الدالة.

سنبدأ بتذكر ما نعنيه بمدى الدالة. إننا نعرف أن المجال هو مجموعة المدخلات الممكنة للدالة، لكن المدى هو مجموعة المخرجات الممكنة. بعبارة أخرى، إنه مجموعة قيم ﺹ التي نحصل عليها عند التعويض بقيم المجال؛ أي قيم ﺱ، في الدالة. وهذا يعني أننا بيانيًّا ننظر إلى انتشار القيم في اتجاه المحور ﺹ ليساعدنا في تحديد مدى الدالة.

بالنظر إلى التمثيل البياني، نلاحظ أن قيم ﺹ تبدأ عند سالب واحد. وذلك عندما نعوض بقيم ﺱ الأصغر من أو تساوي أربعة. وبعد ذلك عند ﺱ يساوي أربعة، تزداد قيم ﺹ بشكل ثابت، ويوضح لنا هذا السهم أن الزيادة تستمر إلى ∞. إذن، يمكننا القول إن المدى؛ أي مجموعة المخرجات الممكنة، هو جميع قيم ﺹ الأكبر من أو التي تساوي سالب واحد. ولاستخدام ترميز المجموعة لتعريف الفترة نفسها، فإننا سنستخدم الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من سالب واحد إلى ∞. لاحظ أن القوس المفتوح يخبرنا أن ∞ ليس عددًا محددًا. ومن ثم، فإن مدى هذه الدالة؛ أي مجموعة قيم ﺹ الممكنة، هو الفترة المغلقة من اليمين والمفتوحة من اليسار من سالب واحد إلى ∞.

حسنًا، لقد تناولنا حتى الآن معنى أن تكون الدالة متعددة التعريف، وكذلك كيفية تحديد مجالها ومداها من خلال تمثيلها البياني. سنتناول الآن كيفية تعريف الدالة المتعددة التعريف بمعلومية تمثيلها البياني.

أوجد التعريف المتعدد للدالة ﻕ التي لها هذا التمثيل البياني.

علمنا من السؤال أن هذا التمثيل البياني هو لدالة متعددة التعريف. ونحن نعرف أن الدالة المتعددة التعريف تتكون من عدة دوال جزئية. في الواقع، بالنظر إلى التمثيل البياني لهذه الدالة، نلاحظ أنه سيكون لدينا دالتان جزئيتان. وهما دالتان خطيتان؛ لأن التمثيل البياني لكل دالة جزئية عبارة عن خط مستقيم. وهذا يعني أنه إذا تمكنا من حساب الميل ﻡ وإيجاد نقطة واحدة يمر بها كل خط مستقيم، فسيكون بإمكاننا استخدام المعادلة ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺱ واحد لإيجاد معادلة كل مستقيم.

دعونا نبدأ بالجزء الأول من هذه الدالة الجزئية. نلاحظ هنا أن هذه الدالة الجزئية معرفة عند قيم ﺱ حتى اثنين. وهذا يعطينا فكرة عن مجالها. يمكننا بعد ذلك استخدام صيغة الميل ﻡ يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد لإيجاد ميل هذا المستقيم. وبدلًا من ذلك، يمكننا استخدام طريقة المثلث. باختيار نقطة على المستقيم، وستكون الجزء المقطوع من المحور ﺹ في هذه الحالة، ثم التحرك وحدة واحدة إلى اليمين، نجد أن علينا التحرك وحدة واحدة لأسفل لنصل إلى نقطة على المستقيم نفسه. وهذا يعني أن ميل هذا المستقيم لا بد أن يساوي سالب واحد. إنه يمر أيضًا بالنقطة صفر، ثلاثة. تذكر أن هذا هو الجزء المقطوع من المحور ﺹ لهذا المستقيم.

إذن بالتعويض بكل ما نعرفه عن الدالة الأولى في معادلة الخط المستقيم، نحصل على ﺹ ناقص ثلاثة يساوي سالب واحد مضروبًا في ﺱ ناقص صفر. وبتوزيع القوس في الطرف الأيسر، نحصل على سالب ﺱ. بعد ذلك، سنجعل ﺹ المتغير التابع وذلك بإضافة ثلاثة إلى كلا الطرفين. تذكر أن ﺹ هو القيمة المخرجة. أي ﻕﺱ. وعليه، يعرف المستقيم الأول بالمعادلة ﺹ يساوي ثلاثة ناقص ﺱ.

دعونا نكرر هذه العملية مع المستقيم الثاني. حسنًا، علينا الانتباه دائمًا عند استخدام طريقة المثلث مع قيم الميل الكسرية. في هذه الحالة، عندما نختار نقطة على المستقيم ثم نتحرك بمقدار وحدة واحدة إلى اليمين، يكون علينا التحرك بمقدار نصف وحدة لأعلى لنصل إلى نقطة على المستقيم، وهو ما يعني أن ميل المستقيم الثاني يساوي نصفًا. وللتأكد من صحة ذلك، يمكننا اختيار النقطتين الموضحتين على المستقيم، وإحداثياتهما هي أربعة، اثنان؛ وستة، ثلاثة، على الترتيب. حسنًا، لدينا ﺹ اثنان ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد؛ أي التغير في ﺹ على التغير في ﺱ، يساوي ثلاثة ناقص اثنين على ستة ناقص أربعة، وهو ما يساوي نصفًا كما علمنا.

حسنًا، سنختار هذه النقطة. نحن نعلم أن المستقيم لدينا يمر بالنقطة التي إحداثياتها اثنان، واحد. إذن، معادلة الخط المستقيم هي ﺹ ناقص واحد يساوي نصفًا مضروبًا في ﺱ ناقص اثنين. وبتوزيع القوس في الطرف الأيسر، نجد أن نصفًا في ﺱ ناقص اثنين هو نفسه نصف ﺱ أو ﺱ على اثنين ناقص واحد. وأخيرًا يمكننا إضافة واحد إلى كلا الطرفين، ومن ثم نحذف سالب واحد من الطرفين. وعليه، فإن معادلة المستقيم الثاني هي ﺹ يساوي ﺱ على اثنين. والآن بعد أن أصبح لدينا المعادلتان اللتان تمثلان الدالتين الجزئيتين، سنكتبهما معًا باستخدام التعريف المتعدد.

‏ﻕ يساوي ثلاثة ناقص ﺱ لقيم ﺱ الأصغر من اثنين. ويساوي ﺱ على اثنين لقيم ﺱ الأكبر من أو تساوي اثنين، وهو ما يماثل كتابتها على الصورة اثنان أصغر من أو يساوي ﺱ. نلاحظ هنا أنه كان من الممكن تعريف الدالة عند النقطة ﺱ يساوي اثنين باستخدام أي من الدالتين الجزئيتين. من المعتاد بشكل عام أن نختار الدالة الثانية لتعريف هذه النقطة، إلا أنه من الصحيح أيضًا أن نكتب ثلاثة ناقص ﺱ إذا كان ﺱ أصغر من أو يساوي اثنين، وﺱ على اثنين إذا كان ﺱ أكبر من اثنين. إذن، التعريف المتعدد للدالة ﻕ هو ثلاثة ناقص ﺱ إذا كان ﺱ أصغر من اثنين، وﺱ على اثنين إذا كان اثنان أصغر من أو يساوي ﺱ.

في المثال الأخير، سنتناول كيفية تعريف دالة متعددة التعريف بمعلومية تمثيل بياني يتضمن عدم اتصال.

أوجد التعريف المتعدد للدالة ﺩ التي لها هذا التمثيل البياني.

علمنا من السؤال أن هذا التمثيل البياني يعبر عن دالة متعددة التعريف. وهذا منطقي. وذلك لأننا نلاحظ أنه مكون من ثلاثة أجزاء مختلفة. لدينا هنا دالة خطية يمثلها خط مستقيم واحد، ودالة خطية أخرى يمثلها خط مستقيم آخر. لكن يوجد شيء غريب هنا. لدينا نقطة واحدة هنا. وسنعرف ما يعنيه هذا بالنسبة إلى التعريف المتعدد بعد قليل.

سنبدأ الآن بإيجاد معادلتي الخطين المستقيمين. سنستخدم الصيغة ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ مضروبًا في ﺱ ناقص ﺱ واحد، حيث ﻡ هو ميل التمثيل البياني؛ وﺱ واحد، ﺹ واحد هي النقطة التي يمر بها. حسنًا، الميل يساوي التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ، وهو ما يساوي ﺹ اثنين ناقص ﺹ واحد على ﺱ اثنين ناقص ﺱ واحد. دعونا نبدأ بإيجاد ميل المستقيم الأول، يمكننا اختيار أي نقطتين على هذا المستقيم. سنختار النقطتين اللتين إحداثياتهما هي سالب ثلاثة، ستة؛ وواحد، اثنان. إذن، التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ يساوي ستة ناقص اثنين مقسومًا على سالب ثلاثة ناقص واحد. وبالطبع يمكننا كتابة اثنين ناقص ستة على واحد ناقص سالب ثلاثة وسنحصل على الناتج نفسه.

هذا يعطينا أربعة مقسومًا على سالب أربعة، وهو ما يساوي سالب واحد. سنعوض بعد ذلك بكل ما نعرفه عن الخط المستقيم الأول في صيغة الخط المستقيم لنجد أن لدينا ﺹ ناقص ستة يساوي سالب واحد مضروبًا في ﺱ ناقص سالب ثلاثة. بتوزيع الأقواس في الطرف الأيسر، يصبح لدينا المقدار المبسط سالب ﺱ ناقص ثلاثة. وأخيرًا، نضيف ستة إلى كلا الطرفين، لنجد أن ﺹ يساوي سالب ﺱ زائد ثلاثة أو ثلاثة ناقص ﺱ. ومن ثم، لقيم ﺱ الأصغر من اثنين، يمكننا استخدام المعادلة ﺹ يساوي ثلاثة ناقص ﺱ لتمثيلها بيانيًّا.

سنختار بعد ذلك نقطتين على المستقيم الثاني. سنختار النقطتين اللتين إحداثياتهما هي أربعة، أربعة؛ وستة، خمسة. التغير في ﺹ مقسومًا على التغير في ﺱ هنا يساوي خمسة ناقص أربعة مقسومًا على ستة ناقص أربعة، وهو ما يساوي نصفًا. إذن، ميل المستقيم الثاني يساوي نصفًا. وبالتعويض بعد ذلك بـ ﻡ يساوي نصفًا وﺱ واحد، ﺹ واحد يساوي أربعة، أربعة في صيغة الخط المستقيم، نحصل على ﺹ ناقص أربعة يساوي نصفًا في ﺱ ناقص أربعة. ويمكن تبسيط الطرف الأيسر إلى ﺱ على اثنين ناقص اثنين. سنضيف أربعة إلى كلا الطرفين. سنجد هنا أن معادلة المستقيم الثاني لدينا هي ﺹ يساوي ﺱ على اثنين زائد اثنين. ولكن ذلك لقيم ﺱ الأكبر من اثنين. وبذلك، أصبح لدينا الآن معادلتا الخطين المستقيمين. وهما ثلاثة ناقص ﺱ إذا كان ﺱ أصغر من اثنين، وﺱ على اثنين زائد اثنين إذا كان ﺱ أكبر من اثنين.

إننا لم ننته بعد؛ فهناك دالة جزئية ثالثة علينا التفكير فيها. وهذه الدالة الجزئية ممثلة بيانيًّا بنقطة واحدة. إحداثيات هذه النقطة هي اثنان، اثنان. بعبارة أخرى، إذا كان ﺱ يساوي اثنين، فإن القيمة المخرجة للدالة تساوي اثنين. وهذه هي الدالة الجزئية الثالثة. وبملاحظة أنه يمكننا بدلًا من ذلك كتابة مجال المستقيم الثالث على الصورة اثنان أصغر من ﺱ، نجد أن لدينا الآن التعريف المتعدد للدالة. ‏ﺩﺱ يساوي ثلاثة ناقص ﺱ إذا كان ﺱ أصغر من اثنين، ويساوي اثنين إذا كان ﺱ يساوي اثنين، ويساوي ﺱ على اثنين زائد اثنين إذا كان اثنان أصغر من ﺱ.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في الدرس. في هذا الدرس، تعلمنا أن الدالة المتعددة التعريف هي دالة معرفة بعدة دوال جزئية. وعرفنا بعد ذلك كيفية تعريف كل دالة جزئية على فترة معطاة لمجال الدالة الرئيسية. ويمكننا أن نطلق على هذا «المجال الجزئي». كما علمنا أنه يمكننا تحديد المجال والمدى من خلال الدالة أو تمثيلها البياني، وذلك بالتفكير في تعريفها جيدًا.