نسخة الفيديو النصية
يوضح الشكل المتجه 𝚨، الذي مقداره 43. قياس الزاوية المحصورة بين المتجه والمحور 𝑥 يساوي 66 درجة. أوجد المركبة الرأسية للمتجه. اكتب إجابتك لأقرب عدد صحيح.
حسنًا، نلاحظ أن لدينا في هذا السؤال شكلًا يوضح متجهًا، يمثله هذا السهم الأسود هنا، ويشار إليه بالحرف 𝚨. المتجه 𝚨 هذا مقداره يساوي 43، ومقدار المتجه هو طول السهم الذي يمثله. إذن، القيمة 43 هي طول هذا السهم الأسود على الشكل. علمنا أيضًا من السؤال أن المتجه 𝚨 يصنع زاوية قياسها 66 درجة مع المحور 𝑥. ويمكننا أن نلاحظ من الشكل أن المتجه 𝚨 يكون زاوية قياسها 66 درجة مع المحور الأفقي. هذا المحور الأفقي هو المحور 𝑥 بينما المحور الرأسي هو المحور 𝑦.
مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد المركبة الرأسية للمتجه 𝚨. المركبة الرأسية أو المركبة 𝑦 للمتجه توضح المسافة التي يمتدها المتجه في اتجاه المحور 𝑦. بعبارة أخرى، إذا رسمنا خطًّا أفقيًّا يمتد من رأس المتجه إلى المحور 𝑦، وهذا هو الخط المتقطع الأسود المرسوم هنا، فإن المركبة 𝑦 للمتجه هي المسافة من نقطة الأصل إلى النقطة التي يلتقي عندها الخط المتقطع مع المحور.
إذا تقاطع الخط الذي رسمناه مع المحور 𝑦 في الاتجاه الموجب للمحور 𝑦 بالنسبة إلى نقطة الأصل، كما هو الوضع هنا، فإن قيمة المركبة 𝑦 ستكون موجبة. أما إذا تقاطع الخط مع المحور عند نقطة في الاتجاه السالب للمحور 𝑦 من نقطة الأصل، فإن قيمة المركبة 𝑦 للمتجه ستكون سالبة. يمكننا ملاحظة أن هذا لا ينطبق هنا؛ حيث إن هذا الخط يمتد في الاتجاه الموجب للمحور 𝑦 بالنسبة إلى نقطة الأصل. ومن ثم، لدينا مركبة رأسية موجبة أو مركبة 𝑦 موجبة.
مقدار هذه المركبة الرأسية هو المسافة بين نقطة الأصل والنقطة التي يلتقي عندها الخط مع المحور 𝑦. ونلاحظ أن هذا الطول يمثل الضلع الرأسي لمثلث قائم الزاوية، وسنسمي هذا الضلع 𝑎𝑦. ونعلم أن قياس هذه الزاوية المحصورة بين المتجه 𝚨 والمحور 𝑥 يساوي 66 درجة. يمكننا أن نسترجع أيضًا أن المحورين 𝑥 و𝑦 متعامدان، وهذا يعني أن قياس الزاوية المحصورة بينهما يساوي 90 درجة.
إذن، إذا سمينا هذه الزاوية 𝜃، وهي الزاوية المحصورة بين المتجه 𝚨 والمحور الرأسي أو المحور 𝑦، فإن مجموع قياسي الزاوية 𝜃 والزاوية التي قياسها 66 درجة يجب أن يساوي 90 درجة. إذا طرحنا 66 درجة من طرفي المعادلة، فسنحصل على معادلة توضح أن قياس الزاوية 𝜃 يساوي 90 درجة ناقص 66 درجة. وهذا يساوي 24 درجة.
في هذا المثلث القائم الزاوية، أصبحنا نعرف الآن قياس الزاوية 𝜃 هذه. ونعلم أيضًا طول الوتر؛ لأن هذا هو مقدار المتجه 𝚨 وقيمته 43. وعليه، يمكننا استخدام هذه المعلومات لإيجاد طول الضلع الرأسي للمثلث، علمًا بأن طول هذا الضلع يمثل المركبة 𝑦 أو المركبة الرأسية للمتجه.
لإيجاد طول هذا الضلع، علينا أن نتذكر إحدى المعادلات المثلثية. دعونا نفكر في مثلث عام قائم الزاوية؛ طول وتره ℎ، وإحدى زواياه 𝜃، وطول الضلع المجاور للزاوية 𝜃 هو 𝑎، وطول الضلع المقابل للزاوية 𝜃 هو 𝑜. في هذا المثلث العام، نجد أن cos 𝜃 يساوي 𝑎، أي طول الضلع المجاور للزاوية 𝜃، مقسومًا على ℎ، أي طول الوتر.
عند مقارنة هذا المثلث العام القائم الزاوية بالمثلث الذي حددناه على الشكل، نجد أننا نعرف قيمتي ℎ و𝜃. ℎ، أي طول الوتر، يساوي 43، بينما أوجدنا أن قياس الزاوية 𝜃 يساوي 24 درجة. و𝑎𝑦 يمثل قيمة 𝑎، وهو طول الضلع المجاور في المثلث.
للاستفادة من هذه المعادلة، علينا الآن إعادة ترتيبها لنجعل 𝑎 في طرف بمفرده. ولنفعل ذلك، سنضرب الطرفين في ℎ. في الطرف الأيمن، يمكننا حذف ℎ في البسط مع ℎ في المقام. وبتبديل طرفي المعادلة، نجد أن 𝑎 يساوي ℎ في cos 𝜃. في هذا السؤال، طول الضلع المجاور 𝑎 يساوي المركبة الرأسية للمتجه الذي لدينا. وهذه المركبة هي 𝑎𝑦. بعد ذلك، يمكننا التعويض بقيمتي ℎ و𝜃 في الطرف الأيمن من هذه المعادلة لنجد أن 𝑎𝑦 يساوي 43 في cos 24 درجة.
بحساب قيمة هذا المقدار، نحصل على الناتج 39.282، وتشير النقاط الثلاث إلى وجود منازل عشرية أخرى. مطلوب منا في السؤال تقريب الإجابة لأقرب عدد صحيح. وبتقريب هذا الناتج، نحصل على إجابة السؤال وهي أن المركبة الرأسية للمتجه 𝚨 تساوي 39.
