تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: الصورة العامة لمعادلة الدائرة وأمثلة على تحويلها للصورة القياسية

محمد فوزي

يوضح الفيديو ما معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل (٠، ٠) أو نقطة (د، ھ) مخالفة لنقطة الأصل، وكيفية تحويل الصورة العامة للصورة القياسية، وأمثلةً عليها.

١٢:٤٧

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنحل أمثلة على الدايرة. بس قبل ما نبدأ نكمل ونحل أمثلة، خلينا نفتكر مع بعض معادلة الدايرة. عبارة عن س ناقص د لكل تربيع ص ناقص ﻫ لكل تربيع، يساوي نق تربيع. حيث المركز بتاع الدايرة عبارة عن د وﻫ. وَ س تربيع زائد ص تربيع يساوي نق تربيع. وهنا بنقول إن المركز صفر وصفر. ودول همّ الصورتين القياسيتين بتوع معادلة الدايرة. الصورة القياسية لو كان المركز د وَ ﻫ. والصورة القياسية لو كان المركز صفر وصفر. خلينا نبدأ نشوف المثال بتاعنا. وإزَّاي ممكن نستخدم المعادلة دي عشان نقدر نحله.

المثال بيقول اوجد مركز ونصف قطر الدائرة س تربيع زائد ص تربيع يساوي مية، ثم ارسمها.

أول حاجة هنجيب المركز. من الواضح إن دي الصورة القياسية لو كان المركز صفر وصفر. فبنكتب مركز الدائرة عبارة عن صفر وصفر. لو جينا نكمّل هنلاقي هنا إن مية تساوي نق تربيع. يبقى إحنا عارفين إن الصورة القياسية من فوق، إن بعد علامة يساوي الرقم ده عبارة عن نق تربيع. يبقى بنقول إن نق تربيع يساوي مية. لو جينا أخدنا الجذر بتاع الطرفين. فدلوقتي بنلاقي إن نق يساوي عشرة. عشرة وحدة طول؛ لأن هو هنا مش محدّد الطول بكام، أو إحنا بنستخدم وحدة قياس إيه.

طبعًا ما ينفعش لما ناخد الجذر نقول إن نق ممكن تكون سالب عشرة. الأطوال على طول بالموجب. يبقى إحنا دلوقتي قدرنا نعرف المركز ونصف القطر. يبقى حلينا نص … نص المثال. بالتالي إحنا عايزين نبدأ نرسم. خلينا نشوف إزَّاي هنقدر نرسم.

عملنا جدول تعويضات. فقُلنا إحنا هنعوّض عن شويّة قيم للـ س، ونشوف الـ ص بكام. فجيت عوضت عن الـ س بصفر. لما جينا نعوّض عنها هنا في المعادلة بصفر، طلعت إن الـ س بموجب وسالب عشرة؛ بسبب التربيع اللي إحنا شايفينه. لما نيجي ناخد الجذر هيطلع موجب وسالب عشرة. لو جينا نعوّض عن الـ س بستة، هنلاقي إن الـ ص عبارة عن موجب وسالب تمنية. لو جينا نعوّض عن الـ س بعشرة، هنلاقي إن الـ ص طلعت بصفر. وهكذا. ممكن نعوّض بكذا نقطة عشان نقدر نرسم. خلينا نشوف الرسمة هيكون شكلها إيه.

لو جينا نشوف، هنلاقي إن المركز بتاع الدايرة عبارة عن صفر وصفر اللي هي نقطة الأصل. وبنلاقي عندنا إن الشكل بيكون كالتالي: نصف القطر زي ما إحنا شايفين عبارة عن عشرة. تمام؟ يبقى أي نقطة لو جينا نشوف بعدها عن المركز، هنلاقي إنها عشرة. لو جينا لأي نقطة هنلاقي إن بعدها عن المركز عبارة عن عشر وحدات. يبقى إحنا دلوقتي قدرنا نرسم الدايرة، لو كنا عارفين المعادلة بتاعتها. قدرنا نطلع المركز. قدرنا نطلع نصف القطر. قدرنا نبدأ نعمل شويّة تعويضات؛ عشان نشوف لما س برقم هي ص بكام.

كان ممكن مِ الأول بعد ما عرفنا مركز الدايرة ونصف القطر، بنروح على المركز. وبالبرجل … نفتح البرجل عبارة عن نق أو نصف القطر ده، ونبدأ نرسم دايرة من عند المركز.

خلينا نشوف مثال تاني على معادلة الدايرة. خلينا مع بعض في صفحة جديدة نشوف إيه المعلومة الجديدة اللي هنعرفها عن الدايرة.

خلينا دلوقتي نتكلم عن الصورة العامة لمعادلة الدايرة. بيكون شكلها عامل إزَّاي. يبقى الصورة اللي إحنا عرفناها اللي هي س ناقص د لكل تربيع، زائد ص ناقص ﻫ لكل تربيع، يساوي نق تربيع. بنسميها الصورة القياسية. إنما الصورة العامة لمعادلة الدايرة اللي إحنا شايفينها قدامنا دي. طب نعرفها منين أو نتأكد منين إن دي معادلة دايرة. بنلاقي دائمًا وأبدًا إن المعامل بتاع س تربيع يساوي المعامل بتاع ص تربيع يساوي واحد. يبقى أول حاجة بنلاقي إن معامل س تربيع يساوي معامل ص تربيع يساوي واحد.

تاني حاجة بنلاقي إن ما فيش حدّ اسمه س في ص. الحدّ اللي عندنا عبارة عن أ س ب ص زائد ج. حدّ مطلق. إنما ما نلاقيش الحدّ اللي اسمه س في ص في رقم، أو س في ص في واحد. الحدّ ده مش بيكون موجود. فبنتأكد ساعتها إنها معادلة دايرة. يبقى معادلة الدايرة اللي بيميزها ما فيش الحدّ اللي اسمه س في ص. تاني حاجة بنلاقي إن معامل س تربيع يساوي معامل ص تربيع يساوي واحد. وبكده دلوقتي إحنا نقدر نفرّق ونعرف معادلة الدايرة عن أي معادلات تانية.

أول حاجة وتاني حاجة لازم الشرطين يتحققوا مع بعض. وبالتالي دي بتكون معادلة دايرة. خلينا نشوف مثال على كده، وإزاي نقدر نحوّل الصورة العامة اللي قدامنا دي إلى صورة قياسية باستخدام إكمال المربع. خلينا نشوف مثال على كده.

المثال بيقول اوجد مركز ونصف قطر الدائرة س تربيع زائد ص تربيع ناقص تمنية س زائد اتناشر س ناقص اتناشر. عشان نقدر نوجد المركز ونصف القطر، لازم نحوّلها للصورة القياسية. الصورة القياسية كانت عبارة عن س ناقص د لكل تربيع زائد ص ناقص ﻫ الكل تربيع يساوي نق تربيع. ناخد بالنا إن حتى لو ما كانش قال لنا إنها دايرة. يعني لو كنا شُفناها في أي معادلة، بنلاقي فعلًا إن معامل س تربيع يساوي معامل ص تربيع بواحد. وما فيش الحدّ اللي هو عبارة عن س في ص. يبقى دلوقتي لو حوّلناها من الصورة العامة للصورة القياسية اللي قدامنا دي، هنقدر نطلّع نص القطر اللي هو نق تربيع. وهنقدر نطلّع المركز اللي هو د وَ ﻫ. خلينا نشوف إزَّاي هنقدر نعمل كده باستخدام الإكمال المربع.

قانون الإكمال المربع بيقدر يحول لي معادلة تربيعية زي اللي إحنا شايفنها دي إلى معادلة عبارة عن درجة أولى مرفوعة لأُس اتنين. يعني بيحولها لقوس تربيعي. يبقى الإكمال المربع بيحوّل المعادلة التربيعية إلى قوس تربيعي زي ما إحنا شايفين. بيتمّ ده إزَّاي؟ لازم يكون معامل س تربيع بواحد. طب لو ما كانش بواحد؟ بناخده عامل مشترك. طيب بعد كده بيتمّ إيه؟ بنقسم معامل س بالإشارة بتاعته على اتنين، فيصبح عندي أ على الاتنين وإشارته موجبة. ونحط الاتنين اللي هي الـ س زائد أ على الاتنين. الاتنين يتحطوا مع بعض في قوس، والقوس ده يتحط فوقيه أُس اتنين. ونطرح أ على الاتنين لكل تربيع. يبقى بنطرح أ على الاتنين لكل تربيع. ونزوّد الـ ب اللي كانت موجودة. يبقى بالتالي قدرنا نحوّل المعادلة التربيعية إلى قوس مربع.

خلينا نشوف إزَّاي هنقدر نحوّل الصورة العامة إلى صورة قياسية باستخدام إكمال المربع؛ عشان نقدر نوجد المركز ونصف القطر. في صفحة جديدة.

دي معادلة الدايرة اللي عندي. فبنبدأ أول حاجة نرتب الحدود اللي فيها س تكون جنب بعض، والحدود اللي فيها ص تكون جنب بعض. فبنكتب كده س تربيع ناقص تمنية س زائد ص تربيع زائد اتناشر ص ناقص اتناشر. طبعًا الجمع إبدالي، فممكن أبدل حدّ مكان حدّ. لو جينا نكمل وعايزين نعمل إكمال مربع، فبنمسك س تربيع ناقص تمنية س. بنلاقي إن معامل س تربيع بواحد، مش هيعمل لنا أي مشكلة. هنفتح قوس يبقى س … وبناخد الرقم بإشارته، ونقسمه على الاتنين، يبقى ناقص تمنية على الاتنين. نقفل القوس ونكتب تربيع. طبعًا بنطرح تمنية على الاتنين لكل تربيع. ونكمّل برضو عشان نعمل الـ ص. زائد … نفتح قوس ص، زائد … زي ما إحنا شايفين الرقم بالموجب، اتناشر على الاتنين لكل تربيع، ناقص اتناشر على الاتنين تربيع، ناقص الاتناشر اللي كانت موجودة أصلًا في المعادلة.

لو جينا نكمل هتصبح س ناقص تمنية على الاتنين بأربعة لكل تربيع. ناقص تمنية على الاتنين بأربعة تربيع. زائد ص زائد اتناشر على الاتنين ستة لكل تربيع. ناقص اتناشر على الاتنين ستة تربيع. ناقص الاتناشر اللي كانت موجودة.

هنكمّل، هنلاقي إن س ناقص أربعة تربيع. ناقص ستاشر. زائد ص زائد ستة الكل تربيع. ناقص ستة وتلاتين. ناقص اتناشر يساوي صفر.

نكمل، تصبح س ناقص أربعة الكل تربيع. زائد ص زائد ستة الكل تربيع. وهنجمع سالب ستاشر سالب ستة وتلاتين سالب اتناشر، كل ده هيطلع ناقص أربعة وستين. يساوي صفر.

طبعًا الصورة القياسية إن الرقم بيكون في الطرف الآخَر من علامة اليساوي. فبنكتب س ناقص أربعة تربيع. زائد ص زائد ستة تربيع. يساوي أربعة وستين.

يصبح شكل المعادلة عبارة عن س ناقص أربعة تربيع. زائد ص زائد ستة تربيع. والأربعة وستين عبارة عن تمنية تربيع.

وتصبح شكل المعادلة بتاعة الدايرة على الصورة القياسية. ومنها نقدر نطلّع المركز ونصف القطر. خلينا نشوف في صفحة جديدة.

أصبحت هي دي معادلة الدايرة. لو جينا نحطها على الصورة القياسية. فالصورة القياسية كانت بتقول س ناقص د وَ ص ناقص ﻫ. فلو جينا نظبّط الشكل هيكون س ناقص أربعة، تمام فيه طرح وفيه رقم، زائد ص ناقص سالب ستة للكل تربيع يساوي تمنية تربيع. وكده قدرنا نحطها عَ الصورة القياسية، ونقدر نطلع المركز ونصف القطر. خلينا نشوف إزَّاي.

بنكتب المركز عبارة عن … هنلاقي إن الإحداثي السيني بتاع المركز عبارة عن أربعة. وبنلاقي إن الإحداث الصادي بتاع المركز عبارة عن سالب ستة. لو جينا نشوف نق هنلاقي إن نق عبارة عن تمنية وحدة طول. وبكده يبقى إحنا قدرنا نطلع نصف القطر، وقدرنا نطلع المركز بتاع الدايرة. يبقى لازم ناخد بالنا فيه صورة قياسية، اللي هي الصورة عبارة عن س ناقص لكل تربيع، وَ ص ناقص لكل تربيع، يساوي نق تربيع. طبعًا ناقص د وناقص ﻫ اللي هو المركز. وفيه الصورة العامة اللي إحنا شُفناها وشُفنا إيه شروطها عشان تكون معادلة دايرة.

يبقى إحنا اتعلّمنا الصورة العامة لمعادلة الدايرة. اتعلّمنا شروطها. عملنا مثال، وإزاي نقدر نحوّل الصورة العامة إلى الصورة القياسية، ثم نوجد نصف القطر ونوجد المركز.