فيديو الدرس: القدرة باعتبارها معدل الشغل الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نعرف قدرة قوة في صورة مشتقة الشغل المبذول بواسطة القوة. إذا كانت القوة المحصلة المؤثرة على جسم تبذل شغلًا عليه، فإن الشغل المبذول بواسطة القوة على الجسم يساوي التغير في طاقة حركة الجسم. في هذا الفيديو، لن نتناول أي أنواع أخرى من انتقال الطاقة. سنبدأ بتعريف الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة. الشغل المبذول على جسم بواسطة قوة يعتمد على القوة المؤثرة على الجسم وإزاحة الجسم؛ حيث ﺵ يساوي حاصل الضرب القياسي لـ ﻕ وﻑ، حيث ﻕ هو متجه القوة وﻑ متجه الإزاحة.

تذكر أن طاقة حركة الجسم تعتمد على الكتلة والسرعة؛ حيث طاقة الحركة تساوي نصف ﻙﻉ تربيع. عندما تؤثر قوة ما على جسم لتغيير طاقة حركته، فإن طاقة حركة الجسم تتغير على مدى الفترة الزمنية التي تؤثر خلالها القوة. ومعدل التغير في الشغل المبذول على الجسم بواسطة القوة هو القدرة التي توفرها هذه القوة. ولذلك، فإن القدرة تساوي ﺩﺵ على ﺩﻥ. نشتق الشغل المبذول بالنسبة إلى الزمن. لنتناول الآن كيفية تطبيق ذلك.

في الشكل الموضح، لدينا متجه قوة محصلة ثابتة تؤثر على جسم ما، وهو ﻕ، وينتج عنه متجه العجلة ﺟ. لاحظ أن العجلة والقوة تؤثران في الاتجاه نفسه. إذا كان الجسم في حالة سكون عند النقطة ﻡ قبل أن تؤثر القوة عليه، فإن إزاحة الجسم تعطى بالعلاقة: المتجه ﻑ يساوي نصفًا مضروبًا في المتجه ﺟ مضروبًا في ﻥ تربيع، حيث ﻑ يساوي صفرًا عند ﻥ يساوي صفرًا. تذكر أن الشغل المبذول يساوي حاصل الضرب القياسي لمتجهي القوة والإزاحة. بالتعويض عن ﻑ بنصف ﺟﻥ تربيع، يمكننا إعادة كتابة الشغل المبذول على صورة حاصل الضرب القياسي للمتجه ﻕ ونصف ﺟﻥ تربيع. يوضح التمثيل البياني تغير ﺵ خلال ﻥ من ﻥ يساوي صفرًا إلى ﻥ يساوي خمسة، حيث مقدار كل من المتجه ﻕ والمتجه ﺟ يساوي واحدًا.

المعدل الذي يزداد به الشغل المبذول بين ﻥ يساوي صفرًا واللحظة ﻥ يساوي ميل المنحنى عند اللحظة ﻥ. وبتذكر أن القدرة تساوي ﺩﺵ على ﺩﻥ، وبالاشتقاق بالنسبة إلى ﻥ، نجد أن ﺩﺵ على ﺩﻥ يساوي حاصل الضرب القياسي لـ ﻕ وﺟﻥ. إذا لم تكن القوة ثابتة، فلا تنتج عجلة ثابتة. ولذلك، فإن القدرة اللحظية يمكن كتابتها في صورة أعم، وهي حاصل الضرب القياسي لـ ﻕ وﻉ، حيث المتجه ﻉ هو سرعة الجسم. من الجدير بالذكر هنا أن القوة الثابتة لا تنتج عنها قدرة ثابتة.

بالإضافة إلى إيجاد القدرة اللحظية التي توفرها القوة، يمكننا أيضًا حساب القدرة المتوسطة. القدرة المتوسطة تساوي الشغل المبذول مقسومًا على التغير في الزمن الذي يرمز له بالرمز Δﻥ. في منحنى الشغل–الزمن هذا، تساوي القدرة المتوسطة ميل الخط المستقيم الذي يقطع ﺵ عند قيمتي الزمن الابتدائي والنهائي للفترة الزمنية، وهي في التمثيل البياني الموضح من ﻥ يساوي صفرًا إلى ﻥ يساوي خمسة. قبل أن نتناول بعض الأسئلة المحددة، دعونا نتذكر الآن الصيغ التي سنحتاج إلى استخدامها.

الشغل المبذول يساوي حاصل الضرب القياسي لمتجهي القوة والإزاحة. والقدرة هي ذلك التعبير المشتق بالنسبة إلى الزمن، حيث القدرة تساوي ﺩﺵ على ﺩﻥ. يمكن أيضًا حساب القدرة عن طريق إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهي القوة والسرعة. إذا كان لدينا تعبير للشغل المبذول، فيمكننا الاشتقاق لإيجاد تعبير للقدرة. وبما أن التكامل عملية عكسية للاشتقاق، فإن الشغل المبذول هو تكامل القدرة. وأخيرًا، علمنا أن القدرة المتوسطة تساوي الشغل المبذول مقسومًا على التغير في الزمن. سنتناول الآن بعض الأمثلة على ذلك.

نحصل على الشغل الذي يبذله محرك عند الزمن ﻥ من العلاقة: ﺵﻥ يساوي اثنين ﻥ تكعيب زائد ستة ﻥ جول. أوجد قدرة المحرك، في صورة دالة في الزمن.

نبدأ بتذكر أن القدرة هي مشتقة الشغل، حيث القدرة تساوي ﺩﺵ على ﺩﻥ. في هذا السؤال، لدينا تعبير يدل على الشغل المبذول ﺵ بدلالة الزمن. وهو يساوي اثنين ﻥ تكعيب زائد ستة ﻥ. يمكننا اشتقاق هذه الدالة حدًّا تلو الآخر لإيجاد دالة القدرة. تذكر أنه إذا كان ﺹ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ، فإن ﺩﺹ على ﺩﺱ يساوي ﻥ مضروبًا في ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. ومن ثم يمكننا اشتقاق اثنين ﻥ تكعيب لنحصل على ستة ﻥ تربيع؛ لأن ثلاثة في اثنين يساوي ستة، ونطرح واحدًا من الأس. وباشتقاق ستة ﻥ يعطينا ستة فقط؛ لأنه عندما نطرح واحدًا من الأس نحصل على ﻥ أس صفر، وهو ما يساوي واحدًا. إذن فقدرة المحرك في صورة دالة في الزمن تساوي ستة ﻥ تربيع زائد ستة مقيسة بوحدة الوات القياسية.

في السؤال التالي، علينا إيجاد قدرة جسم يتحرك تحت تأثير قوة في الصورة المتجهة.

يتحرك جسم تحت تأثير القوة ﻕ يساوي ثمانية ﺱ زائد خمسة ﺹ. يعطى متجه موضع الجسم عند الزمن ﻥ بالعلاقة: ﺭﻥ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع ناقص ﻥ ناقص أربعة ﺱ زائد خمسة على اثنين ﻥ تربيع زائد ١٠ﻥ زائد خمسة ﺹ. أوجد معدل الشغل الذي تبذله القوة عند ﻥ يساوي ثلاث ثوان.

في هذا السؤال، نحاول إيجاد معدل الشغل المبذول. وهذا يماثل حساب القدرة، لأن القدرة تساوي ﺩﺵ على ﺩﻥ. يمكننا حساب القدرة عن طريق اشتقاق الشغل المبذول بالنسبة إلى الزمن. في هذا السؤال، لدينا تعبيران يمثلان متجه القوة ومتجه الإزاحة للجسم، مع ملاحظة أن الرمزين ﻑ وﺭ يمكن أن يحل أحدهما محل الآخر لتمثيل الإزاحة. وبتذكر أن الشغل المبذول يساوي حاصل الضرب القياسي للقوة والإزاحة، سنحسب ذلك أولًا. علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي لثمانية ﺱ زائد خمسة ﺹ وثلاثة ﻥ تربيع ناقص ﻥ ناقص أربعة ﺱ زائد خمسة على اثنين ﻥ تربيع زائد ١٠ﻥ زائد خمسة ﺹ.

لحساب حاصل الضرب القياسي، نضرب مركبتي ﺱ ومركبتي ﺹ، ثم نوجد مجموع هذين التعبيرين. ثمانية في ثلاثة ﻥ تربيع ناقص ﻥ ناقص أربعة يعطينا ٢٤ﻥ تربيع ناقص ثمانية ﻥ ناقص ٣٢. بتكرار هذه العملية على مركبتي ﺹ، نحصل على ٢٥ على اثنين ﻥ تربيع زائد ٥٠ﻥ زائد ٢٥. بجمع الحدود المتشابهة، يمكن تبسيط هذا التعبير إلى ٧٣ على اثنين ﻥ تربيع زائد ٤٢ﻥ ناقص سبعة. يمكننا الآن حساب معدل الشغل المبذول باشتقاق ذلك. اشتقاق حد تلو الآخر يعطينا ٧٣ﻥ زائد ٤٢، حيث إن اشتقاق أي ثابت يعطينا صفرًا.

المطلوب منا هو إيجاد معدل الشغل المبذول أو القدرة عند ﻥ يساوي ثلاثة. بالتعويض بذلك في هذا التعبير، يصبح لدينا ٧٣ مضروبًا في ثلاثة زائد ٤٢. هذا يساوي ٢٦١. معدل الشغل الذي تبذله القوة عند ﻥ يساوي ثلاثة هو ٢٦١ وحدة قدرة.

في المثال الأخير، علينا إيجاد الشغل المبذول بمعلومية تعبير يدل على القدرة بدلالة ﻥ.

تعطى قدرة محرك عند اللحظة ﻥ ثانية بالعلاقة ﻕﻥ تساوي ١٢ﻥ تربيع زائد ثمانية ﻥ وات. أوجد الشغل المبذول بواسطة المحرك بين ﻥ يساوي ثانيتين وﻥ يساوي ثلاث ثوان.

في هذا السؤال، لدينا تعبير لقدرة محرك ما بدلالة ﻥ. نتذكر أن القدرة هي مشتقة الشغل حيث القدرة تساوي ﺩﺵ على ﺩﻥ. وبما أن التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق، فلا بد أن يكون الشغل هو تكامل القدرة بالنسبة إلى ﻥ. لذلك، يمكننا إيجاد تعبير للشغل المبذول من خلال حساب تكامل ١٢ﻥ تربيع زائد ثمانية ﻥ بالنسبة إلى ﻥ. وبما أن علينا إيجاد الشغل المبذول بين ﻥ يساوي اثنين وﻥ يساوي ثلاث ثوان، فستكون قيمة الحد السفلي اثنين وقيمة الحد العلوي ثلاثة. يمكن تمثيل ذلك بيانيًّا كما هو موضح. الشغل المبذول يساوي المساحة المحددة بالمنحنى والخطين الرأسيين ﻥ يساوي اثنين وﻥ يساوي ثلاثة والمحور الأفقي.

يمكننا حساب تكامل تعبير القدرة حدًّا تلو الآخر. نتذكر أن تكامل ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد، حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد. في هذا السؤال، بما أننا نتعامل مع تكامل محدد، لن نحتاج إلى تضمين الثابت ﺙ. تكامل ١٢ﻥ تربيع يعطينا ١٢ﻥ تكعيب على ثلاثة، وهو ما يمكن تبسيطه إلى أربعة ﻥ تكعيب. تكامل ثمانية ﻥ يعطينا ثمانية ﻥ تربيع على اثنين، وهو ما يمكن تبسيطه إلى أربعة ﻥ تربيع.

الخطوة التالية هي التعويض بالحدين العلوي والسفلي. هذا يعطينا أربعة مضروبًا في ثلاثة تكعيب زائد أربعة مضروبًا في ثلاثة تربيع ناقص أربعة مضروبًا في اثنين تكعيب زائد أربعة مضروبًا في اثنين تربيع. ويمكن تبسيط ذلك بدوره إلى ١٤٤ ناقص ٤٨، وهو ما يساوي ٩٦. وبما أن قدرة المحرك مقيسة بوحدة الوات القياسية، فسيكون الشغل مقيسًا بوحدة الجول. إذن الشغل المبذول بواسطة المحرك بين ﻥ يساوي اثنين وﻥ يساوي ثلاث ثوان هو ٩٦ جول.

سنلخص الآن بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. تعلمنا في هذا الفيديو أن القدرة هي المعدل الذي تؤثر به القوة على الجسم. هذا يعني أن القدرة هي مشتقة الشغل، حيث القدرة تساوي ﺩﺵ على ﺩﻥ. علمنا أن الوحدة القياسية للقدرة هي الوات، والوحدة القياسية للشغل هي الجول. ورأينا أنه بما أن التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق، فالشغل هو تكامل القدرة. باستخدام هاتين الصيغتين، تمكنا من حساب مقدار الشغل المبذول أو القدرة خلال فترة زمنية. علمنا أيضًا أنه يمكننا حساب الشغل المبذول عن طريق إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهي القوة والإزاحة، وحساب القدرة من خلال إيجاد حاصل الضرب القياسي لمتجهي القوة والسرعة.