فيديو السؤال: اللوغاريتمات ذات الأساسات المختلفة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد لوغاريتم٢٧ للأساس ثلاثة جذر ثلاثة.

حسنًا، أول ما سنتناوله في هذه المسألة هو ثلاثة جذر ثلاثة لأننا نريد معرفة هل يمكننا إعادة كتابة ذلك بطريقة مختلفة؟ هل يمكننا إعادة كتابته على صورة ثلاثة أس عدد ما؟ حسنًا، يمكننا إعادة كتابة ثلاثة جذر ثلاثة. وسنفعل ذلك باستخدام قانونين من قوانين الأسس. أولًا، سنبدأ بقانون الأس، وهو جذر ﺱ يساوي ﺱ أس نصف. ومن ثم، يمكننا إعادة كتابة ثلاثة جذر ثلاثة على صورة ثلاثة مضروبًا في ثلاثة أس نصف. لكن هل يمكننا أخذ خطوة إضافية في هذا؟ حسنًا، يمكننا ذلك. وذلك لأن ﺱ أس ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ.

إذن، ما نفعله هو أننا نجمع الأسين في حالة الضرب حيث لدينا الأساس نفسه. حسنًا، إن العدد ثلاثة هو نفسه ثلاثة أس واحد. لذا، نجمع واحدًا ونصفًا. ومن ثم، يكون لدينا ثلاثة جذر ثلاثة هو نفسه ثلاثة أس ثلاثة على اثنين. حسنًا، هذا رائع. والآن، لنعوض بهذا مرة أخرى في المقدار الذي لدينا. إذن، لدينا الآن لوغاريتم٢٧ للأساس ثلاثة أس ثلاثة على اثنين. لكن، نتساءل عما سنفعله الآن. حسنًا، يمكننا أيضًا النظر إلى العدد ٢٧. حسنًا، لأننا نعلم أن العدد ٢٧ يساوي ثلاثة تكعيب، فيمكننا في الواقع إعادة كتابة هذا الجزء أيضًا على صورة ثلاثة أس عدد ما.

إذن، حصلنا الآن على التعبير لوغاريتم ثلاثة تكعيب للأساس ثلاثة أس ثلاثة على اثنين. وهذا الأمر مفيد حقًّا. لكننا نسأل أنفسنا عن سبب ذلك. ويرجع سبب ذلك إلى القانون التالي، وهو أحد قوانين اللوغاريتمات. وما يخبرنا به قانون اللوغاريتمات هذا هو أنه إذا كان لدينا لوغاريتم ﺃ أس ﻥ للأساس ﺃ أس ﻡ، فإن هذا يساوي ﻥ على ﻡ ما دام ﻡ لا يساوي صفرًا. حسنًا، يتمثل مفتاح حل هذه المسألة في أن لدينا القيمة نفسها في جزأي اللوغاريتم، وذلك لأن لدينا ثلاثة وثلاثة. أما لقيمة ﻡ، فلدينا ثلاثة على اثنين. ولقيمة ﻥ، لدينا ثلاثة.

حسنًا، هذا رائع. ما يمكننا فعله الآن هو تطبيق القانون. لكن هذا المقدار غير مرتب قليلًا لأن ما لدينا هو ثلاثة على ثلاثة على اثنين. وهذا يعني ثلاثة مقسومًا على ثلاثة على اثنين. حسنًا، هذا يساوي ثلاثة مضروبًا في اثنين على ثلاثة؛ لأن ما نفعله عند القسمة على كسر هو الاحتفاظ بالعدد الأول كما هو. ثم نغير عملية القسمة إلى عملية ضرب، ومن ثم نجد مقلوب الكسر الثاني. لكن الآن يمكننا قسمة كلا الطرفين على ثلاثة. لدينا الآن واحد مضروبًا في اثنين على واحد، وهو ما يساوي اثنين. ومن ثم، يمكننا القول إن لوغاريتم٢٧ للأساس ثلاثة جذر ثلاثة يساوي اثنين.