نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نلقي نظرة على كيفية حل المتباينات الخطية ذات القيمة المطلقة؛ ويتضمن ذلك مقادير جبرية سيكون علينا إيجاد قيمتها وحساب القيمة المطلقة لها. وإذا كان الناتج سالبًا، فإننا نستخدم القيمة الموجبة فقط لهذا العدد. وسوف نتناول مسألة بيانية وأخرى جبرية، ونشرح كيف نحل كلًا منهما. كما سنعطي بعض الإجابات بصور مختلفة، مثل صورة المتباينة، وكذلك باستخدام رمز الفترة. حسنًا، لنبدأ الآن ونلق نظرة على المسألة الأولى. في هذه المسألة، لدينا تمثيل بياني لدالتين: لدينا الدالة ﺩﺱ والتي تساوي القيمة المطلقة أو المقياس لـ ﺱ زائد اثنين، ولدينا خط مستقيم آخر، وهو خط مستقيم أفقي، يمثل الدالة ﺭﺱ، والتي تساوي خمسة. وعلينا إيجاد قيم ﺱ التي تحقق المتباينة ﺩﺱ أقل من ﺭﺱ. هذه متباينة صريحة. ومن ثم، فإننا نبحث عن إحداثيات ﺱ، التي يكون عندها الإحداثي ﺹ المناظر في الدالة ﺩ أقل من الدالة ﺭ. إذن، نبحث عن المواضع التي يقع فيها الخط المستقيم الأخضر أسفل الخط المستقيم الأسود في هذا التمثيل البياني. ومن ثم، عندما يعطى لنا تمثيل بياني كهذا، فإن كل ما نفعله هو تمييز بعض المواضع على التمثيل البياني وقراءة بعض القيم فيه. وهذا ما سنفعله هنا، ولكننا سنقوم أيضًا بخطوة إضافية لم تطلب منا في هذه المسألة، ثم نحلها جبريًا. ونأمل أن يساعد ذلك في فهم طريقة الحل الجبري.
ومن ثم، فإنه في محاولة فهم المواضع التي تكون فيها قيم ﺩﺱ الناتجة، أي الإحداثيات ﺹ، أقل من قيم ﺭﺱ الناتجة، أي الإحداثيات ﺹ لهذه الدالة، علينا أن نبدأ بطرح هذا السؤال: «أين تتساوى هذه القيم؟» ثم نفكر قليلًا فيما إذا كنا نتحرك إلى يسار ذلك أو إلى يمينه في كل حالة. وحسبما نرى هنا، يتقاطع الخطان المستقيمان هنا وهنا: إذن ﺩﺱ تساوي ﺭﺱ عندما ﺱ يساوي سالب سبعة، وﺩﺱ تساوي ﺭﺱ عندما ﺱ يساوي ثلاثة. وكما ذكرنا، تكون ﺩﺱ أقل من ﺭﺱ عندما يكون الخط المستقيم الأخضر أسفل الخط المستقيم الأسود هنا، وهذا يشمل جميع النقاط المحصورة بين ﺱ يساوي سالب سبعة وﺱ يساوي ثلاثة. إذن سالب سبعة غير متضمن، وثلاثة غير متضمن؛ لأن الدالتين متساويتان هنا. أما عند كل النقاط المحصورة بين القيمتين، فإن الخط المستقيم الأخضر يكون أسفل الخط المستقيم الأسود. إذن بكتابة ذلك في صورة متباينة، نجد أن سالب سبعة يقع في الطرف الأيسر. وذلك دائمًا أقل من ﺱ؛ لأنه إذا كان ﺱ يساوي سالب سبعة، فستكون الدالتان متساويتين. والمتغير ﺱ دائمًا أصغر من ثلاثة؛ لأنه إذا كان ﺱ يساوي ثلاثة أو أكثر، فإن قيم الدالة ﺩﺱ الناتجة ستكون أكبر من قيمة الدالة ﺭﺱ.
إذن، هذه هي الإجابة. ويمكننا أيضًا كتابتها في صورة فترة. وعندئذ، فإن القيم الحرجة هي سالب سبعة وثلاثة عند كل من طرفي الفترة. سالب سبعة لا ينتمي إلى الفترة ولذا نضع قوس الفترة مفتوحا هنا، والعدد ثلاثة لا ينتمي أيضًا إلى الفترة ولذا نضع قوس الفترة الآخر مفتوحا كذلك إذن هذه طريقة أخرى لكتابة الحل. وفي الحقيقة، يمكننا كتابته أيضًا باستخدام رمز المجموعة. لدينا المجموعة ﺱ، حيث ﺱ عدد حقيقي، حيث سالب سبعة أقل من ﺱ أقل من ثلاثة، وبذلك تكون لديك ثلاث طرق لكتابة إجابتك.
حسنًا، الأمر سهل للغاية. ولكن، سنلقي نظرة أخرى على المسألة، ونحلها جبريًا ولكن مع الرجوع إلى التمثيل البياني أثناء الحل. الدالة ﺩﺱ هي القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد اثنين. لكن قبل التفكير في ذلك، دعونا ننظر إلى التمثيل البياني للدالة ﺹ يساوي ﺱ زائد اثنين، مع تجاهل القيمة المطلقة. من المفترض أن ﺱ زائد اثنين سيكون بالأساس عبارة عن خط مستقيم ميله موجب واحد ويقطع المحور ﺹ عند موجب اثنين. وهو الخط المستقيم هنا، ولكنه سيواصل بالطبع الاتجاه لأسفل إلى ما لا نهاية. إذن كما ذكرنا، فهو يقطع المحور ﺹ عند اثنين، ومعنى أن ميله واحد أنه في كل مرة يزداد الإحداثي ﺱ بمقدار واحد يزداد أيضًا الإحداثي ﺹ المناظر له بمقدار واحد. وبذلك، أكون قد عينت نقطتين على الخط المستقيم هنا، وللانتقال من هنا إلى النقطة التالية، يزداد الإحداثي ﺱ بمقدار واحد ويزداد الإحداثي ﺹ المناظر بمقدار واحد كذلك. وذلك بغض النظر عن الموضع الذي تقف عنده على هذا الخط المستقيم. إذن، هذا بالنسبة للعلاقة ﺹ يساوي ﺱ زائد اثنين. لكن الدالة التي نبحث عنها ممثلة بالمعادلة ﺹ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد اثنين. وبالتالي، لكل إحداثي ﺹ ناتج، إذا تبين أنه عدد سالب، فعلينا أن نحوله إلى القيمة الموجبة لهذا العدد. وهذا لا ينطبق على يمين هذا الخط المستقيم.
إذن، لكل إحداثيات ﺱ هذه، عند التفكير في ﺹ يساوي ﺱ زائد اثنين سيكون الناتج دائمًا صفرًا أو إحداثي ﺹ موجبًا على أية حال. وإذا كنا قد حصرنا إحداثيات ﺱ التي يمكن استخدامها في سالب اثنين أو أكثر، لكان استخدام الدالة الممثلة بالمعادلة ﺹ يساوي ﺱ زائد اثنين وحده كافيًا. لكن على يسار هذا الخط المستقيم، عندما يكون لدينا إحداثيات ﺱ أقل من سالب اثنين، فإننا في كل مرة نحصل على قيم إحداثيات ﺹ السالبة هذه نعكسها في المحور ﺱ ونأخذ النسخة الموجبة. ومن ثم، ما كنا نفعله عمليًا أننا نأخذ قيمة سالبة ثم نأخذ سالب تلك القيمة السالبة، وهو ما يعطينا القيمة الموجبة. إذن على يسار سالب اثنين، قيمة ﺹ تساوي دائمًا سالب ﺱ زائد اثنين، أي سالب الدالة.
إذن بالرغم من أن ﺩ تساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد اثنين، فهذا يعني عمليًا أنه إذا كان الإحداثي ﺱ يساوي سالب اثنين أو أكثر، فإننا سنستخدم هذه المعادلة فقط لحساب إحداثيات ﺹ؛ لكن إذا كان الإحداثي ﺱ أقل من سالب اثنين، فسنستخدم هذه المعادلة لحساب إحداثيات ﺹ.
إذن إذا لم يكن لدينا التمثيل البياني، ولكن ما لدينا هو الدالتان؛ أي القيمة المطلقة لـ ﺱ زائد اثنين، وخمسة، لتمكنا الآن من رسم التمثيل البياني. ولو أننا فعلنا ذلك، لحصلنا على تمثيل بياني شبيه بذلك. والآن سنجري الخطوات التي أجريناها من قبل؛ فما زال ما يعنينا هو مواضع تقاطع هذين الخطين المستقيمين، وبعدها سنبحث عن المواضع التي يكون فيها الخط المستقيم للدالة ﺩﺱ أسفل الخط المستقيم للدالة ﺭﺱ على التمثيل البياني. وهذه من الواضح أنها تقع بين هاتين النقطتين. إذن، ما يعنينا بالأساس هو حساب قيمة الإحداثي ﺱ هنا، وحساب قيمة الإحداثي ﺱ هنا.
الدالة ﺭﺱ تساوي خمسة دائمًا. إذن، لنلق نظرة على النقطة التي تقع على اليسار ﺩﺱ تساوي ﺭﺱ. في تلك المنطقة، الدالة ﺩﺱ تساوي سالب ﺱ ناقص اثنين؛ وفي تلك المنطقة، الدالة ﺭﺱ تساوي خمسة. إذن، الدالة ﺭﺱ تساوي سالب خمسة في كل منطقة. علينا فقط أن نضيف ﺱ إلى كلا الطرفين، ثم نطرح خمسة من كلا الطرفين. وبذلك، نجد أن الإحداثي ﺱ هنا يساوي سالب سبعة. ونفعل الشيء نفسه في الطرف الأيمن. في تلك المنطقة، معادلة الدالة ﺩﺱ هي ﺹ يساوي ﺱ زائد اثنين. إذن، الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد اثنين، والدالة ﺭﺱ تساوي خمسة.
وبطرح اثنين من كلا الطرفين، نجد أن الإحداثي ﺱ هنا يساوي ثلاثة. ومن ثم، أصبحت لدينا الآن المعلومات نفسها التي كنا قد عرفناها بشكل مباشر من التمثيل البياني في المرة السابقة. ولكن ربما نتساءل: «متى يكون الخط المستقيم الأزرق أسفل الخط المستقيم الأسود؟» حسنًا، ليس عندما ﺱ يساوي سالب سبعة، وليس عندما ﺱ يساوي ثلاثة، لكن عند كل نقطة بينهما. ومرة أخرى، يمكننا كتابة الإجابة على أي صورة من تلك الصور الثلاث.
والآن، لنلق نظرة على مسألة جبرية بحتة من بدايتها.
أوجد قيم ﺱ التي تحقق المتباينة: القيمة المطلقة لستة ناقص ﺱ أكبر من أو يساوي ١٠. هذه ليست متباينة صريحة؛ إذ يمكن أن تساوي ١٠. بداية، سنتناول الطرف الأيمن. ومن ثم، سنركز فقط على ﺹ يساوي ستة ناقص ﺱ، وسنتجاهل الآن كونها دالة قيمة مطلقة بتجاهل هذا الجزء. إذ سنحسبه بعد قليل. إذن، هذه دالة خطية. ولأن معامل ﺱ يساوي سالب واحد، فهذا يعني أن الميل يساوي واحدًا؛ أي في كل مرة يزداد الإحداثي ﺱ بمقدار واحد، فإن الإحداثي ﺹ المناظر له سيقل بمقدار واحد. وأما عن الجزء المقطوع، الذي يمثله الحد الثابت ﺟ، فيساوي ستة؛ وهذا يعني أنه يقطع المحور ﺹ عند ستة. والآن، علينا التفكير فحسب أين ستقطع الدالة المحور ﺱ. حسنًا ستقطع المحور ﺱ عند ﺹ يساوي صفرًا. وبالتعويض بـ ﺹ يساوي صفرًا، تصبح الدالة صفر يساوي ستة ناقص ﺱ. إذا أضفت ﺱ فقط إلى كلا الطرفين، فإنني أحصل على ﺱ يساوي ستة. إذن لنرسم ذلك على شبكة إحداثية. هكذا ستبدو الدالة ﺹ يساوي ستة ناقص ﺱ. لكن، تذكر أننا نريد القيمة المطلقة للدالة ﺹ يساوي ستة ناقص ﺱ. إذن، أينما يكون الخط المستقيم أسفل المحور ﺱ ونحصل على إحداثيات ﺹ سالبة، سنأخذ النسخة الموجبة لإحداثيات ﺹ المناظرة فحسب. إذن، هذا الخط المستقيم موجب وصولًا إلى النقطة ﺱ يساوي ستة، ثم يتجه إلى أسفل المحور ﺱ بعد ذلك. إذن، سنعكس كل هذه النقاط في المحور ﺱ حتى هذا الموضع، ثم نأخذ النسخ الموجبة المناظرة من إحداثيات ﺹ هذه. بالنسبة للقيمة المطلقة لستة ناقص ﺱ سنتجاهل الخط المستقيم الأزرق أسفل المحور هناك ونعكسه في المحور ﺱ لأعلى هكذا؛ ومن ثم، ما نفعله هو أخذ سالب جميع إحداثيات ﺹ؛ أي سالب الدالة ﺹ يساوي ستة ناقص ﺱ. إذن على يسار ﺱ يساوي ستة، نستخدم فقط الخط المستقيم ﺹ يساوي ستة ناقص ﺱ، لكن على يمينها لدينا ﺹ يساوي ﺱ ناقص ستة وسالب الدالة الأخرى على الجانب الأيسر.
وبذلك، فإننا نعلم الآن كيف تبدو القيمة المطلقة لستة ناقص ﺱ. لنرسم على التمثيل البياني ﺹ يساوي ١٠، ونريد أن نعرف متى تكون هذه فوق هذه. إذن مرة أخرى، لنلق نظرة على هذه النقاط الحرجة، التي تمثل مواضع التقاطع. بالنظر إلى الطرف الأيمن من هاتين المعادلتين أولًا، نجد أن القيمة المطلقة لستة ناقص ﺱ في المرتين ممثلة فقط بالدالة ﺹ يساوي ستة ناقص ﺱ في هذه المنطقة؛ ومن ثم نكتب أنها تساوي ١٠.
سأضيف ﺱ إلى كلا الطرفين، ثم أطرح ١٠. إذن، الإحداثي ﺱ حيث تتقاطع الدالتان هو سالب أربعة، وعلى الجانب الأيمن في تلك المنطقة، ﺹ يساوي ﺱ ناقص ستة ممثلة بهذا الخط المستقيم، ومن ثم نكتب أنها تساوي ١٠. إذن سأضيف ستة إلى كلا الطرفين لحساب قيمة ﺱ. إذن ﺱ يساوي ١٦ في هذه الحالة، ويمكنني كتابة ١٦ على المحور ﺱ في التمثيل البياني.
وهكذا، فإننا نعلم أين تتساوى هاتان الدالتان؛ علينا الآن أن نعاود النظر إلى المسألة لإيجاد المطلوب، وهو تحديد الحالة التي تكون فيها القيمة المطلقة لستة ناقص ﺱ أكبر من ١٠. إذن، هذا المنحنى يجب أن يكون فوق هذا المنحنى على الشبكة الإحداثية. عند هذه النقطة على الجانب الأيسر، حيث موضع التقاطع، تتساوى الدالتان؛ وفي أي مكان على يسار ذلك، تكون القيمة المطلقة لستة ناقص ﺱ أعلى ﺹ يساوي ١٠. وعلى الجانب الأيمن هنا تتساوى الدالتان عند هذه النقطة، وأي مكان على يمين ذلك يمثل الموضع الذي يكون فيه المقياس أو القيمة المطلقة لستة ناقص ﺱ أكبر من ﺹ يساوي ١٠.
إذن بالتفكير في قيم ﺱ المناظرة لتلك المناطق على التمثيل البياني، نجد أنه عندما ﺱ يساوي سالب أربعة، فإن الدالتين تتساويان. وأي مكان على يسار ذلك، كما أوضحنا هنا، هو منطقة صالحة تتحقق فيها المتباينة. وعلى الجانب الأيمن، عندما ﺱ يساوي ١٦، أي في المنطقة التي نبحث عنها، تتحقق المتباينة. وفي أي مكان على يمين ذلك تتحقق المتباينة أيضًا. إذن، لقد وصلنا إلى منطقة غير متصلة؛ أي موضع على يسار سالب أربعة بما فيه سالب أربعة نفسه، وأي موضع على يمين ١٦ بما فيه ١٦ نفسه. ومن ثم، يمكننا كتابة ذلك في صورة زوج من المتباينات على هذا النحو.
أما فيما يتعلق بكتابة ذلك على صورة فترة، فعلينا كتابته باعتباره اتحاد فترتين منفصلتين. إذن نتحرك على امتداد سالب ما لا نهاية وصولًا إلى سالب أربعة، ثم من ١٦ حتى موجب ما لا نهاية. ودائمًا ما يوضع قوس دائري عند قيم ما لا نهاية. سالب أربعة متضمن في تلك المنطقة؛ ومن ثم نضع عنده قوسًا معقوفًا. و١٦ متضمن كذلك، ومن ثم نضع عنده قوسًا معقوفًا آخر. ولا يفوتنا أن هاتين منطقتان صالحتان، ومن ثم سنكتب رمز اتحادهما هنا. إذن، هذه هي إحدى الطرق المتبعة لتمثيل ذلك.
والآن، ثمة طريقة أخرى لتمثيل ذلك وهي أن نتذكر أننا نتعامل في واقع الأمر مع المحور ﺱ هنا، حيث يمثل ذلك كله الأعداد الحقيقية على خط الأعداد. ومن ثم، يمكن القول إن هذا هو كل الأعداد الحقيقية ناقص المنطقة المحصورة بين سالب أربعة و١٦. لكن تذكر أننا لا نريد طرح سالب أربعة؛ لأن سالب أربعة جزء من المنطقة التي تتحقق فيها المتباينة. إذن سأضع قوسًا دائريًا هنا لأوضح أن هذا غير متضمن في الجزء الذي نطرحه. وبالمثل مع ١٦، سأضع قوسًا دائريًا لأوضح أن ١٦ غير متضمن في الجزء الذي نطرحه. ومرة أخرى، يمكنني استخدام رمز المجموعة: لدينا المجموعة ﺱ؛ حيث ﺱ عدد حقيقي أقل من أو يساوي سالب أربعة أو أكبر من أو يساوي ١٦.
إذن، عند حل المتباينات الخطية ذات القيمة المطلقة، عليك أن تفكر كيف سيبدو الخط المستقيم بدون علامتي القيمة المطلقة، ثم تعدله وفقًا للقيمة المطلقة، ثم تبدأ البحث عن المواضع التي فيها تتداخل مناطق المنحنى أو تكون فوق مناطق أخرى أو أسفلها. وقد تعرفت هنا على مجموعة متنوعة من الطرق المختلفة التي يمكنك تمثيل إجابتك بها. والنصيحة الأهم دائمًا هي أن ترسم هذه التمثيلات البيانية؛ لأنني أعتقد أنها تساعدك حقًا على التفكير وإيصال فكرتك، كما تساعدك في تجنب الوقوع في أخطاء ساذجة. حسنًا، أتمنى لكم التوفيق في حل المتباينات الخطية التي تتضمن دوال ذات قيمة مطلقة.
