فيديو السؤال: إيجاد كثافة الإلكترونات الحرة في المادة الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

تحمل الإلكترونات الحرة تيارًا شدته 77 مللي أمبير في سلك موصل مصنوع من مادة مجهولة. مساحة مقطع السلك الموصل 1.5 في 10 أس سالب ستة متر مربع. أوجد كثافة الإلكترونات الحرة في المادة، إذا كانت السرعة المتوسطة للإلكترونات الحرة في السلك 0.18 ملليمتر لكل ثانية. استخدم القيمة 1.6 في 10 أس سالب 19 كولوم لشحنة الإلكترون. اكتب إجابتك بالصيغة العلمية، لأقرب منزلة عشرية.

يتناول هذا السؤال سلكًا موصلًا، لنفترض أن هذا جزء من ذلك السلك. علمنا من المعطيات أن مساحة مقطع هذا السلك، التي أسميناها ‪𝐴‬‏، تساوي 1.5 في 10 أس سالب ستة متر مربع. يحتوي هذا السلك على عدد كبير من الإلكترونات الحرة الممثلة هنا بالنقاط الزرقاء. ستتحرك هذه الإلكترونات في السلك. وكما رسمناها هنا، فإنها تتحرك إلى اليمين. نعلم من المعطيات أن سرعتها المتوسطة تساوي 0.18 ملليمتر لكل ثانية، وقد أسميناها ‪𝑣‬‏. وأثناء حركة هذه الإلكترونات إلى اليمين، تمر عبر مساحة المقطع ‪𝐴‬‏.

وبما أن الإلكترونات جسيمات مشحونة؛ إذ إن السؤال قد أخبرنا أن نستخدم القيمة 1.6 في 10 أس سالب 19 كولوم لشحنة الإلكترون ‪𝑒‬‏، فإن حركة هذه الإلكترونات ستولد تيارًا كهربيًّا في السلك. أخبرنا السؤال أن شدة التيار في هذه الحالة تساوي 77 مللي أمبير، وقد أسميناها ‪𝐼‬‏. لنتذكر أن شدة التيار الكهربي تعرف بأنها معدل تدفق الشحنة الكهربية بالنسبة إلى الزمن. من الناحية الرياضية، إذا مرت كمية من الشحنة، ‪𝑄‬‏، عبر مقطع سلك خلال الزمن، ‪𝑡‬‏، فإن شدة التيار، ‪𝐼‬‏، تساوي ‪𝑄‬‏ مقسومة على ‪𝑡‬‏.

مقدار الشحنة الكلية التي تمر عبر مقطع خلال زمن معين؛ أي ‪𝑄‬‏، يساوي شحنة الإلكترون ‪𝑒‬‏ مضروبة في عدد الإلكترونات التي تمر عبر المقطع خلال ذلك الزمن. وقد أسمينا هذا العدد هنا ‪𝑁‬‏. إذا قسمنا طرفي هذه المعادلة على شحنة الإلكترون، ‪𝑒‬‏، فسنتمكن من حذف ‪𝑒‬‏ من البسط والمقام في الطرف الأيمن. إذن، يتبقى لدينا ‪𝑁‬‏ يساوي ‪𝑄‬‏ مقسومة على ‪𝑒‬‏. إذا أخذنا الآن هذه المعادلة، التي تربط بين شدة التيار ‪𝐼‬‏ والشحنة ‪𝑄‬‏، وضربنا طرفيها في الزمن ‪𝑡‬‏؛ بحيث يحذف ‪𝑡‬‏ في الطرف الأيمن، فسيتبقى لدينا الشحنة ‪𝑄‬‏ التي تمر بمساحة المقطع خلال الزمن ‪𝑡‬‏ تساوي شدة التيار ‪𝐼‬‏ مضروبة في ذلك الزمن ‪𝑡‬‏.

بعد ذلك، يمكننا استخدام هذه المعادلة للتعويض عن ‪𝑄‬‏ بـ ‪𝐼‬‏ مضروبة في ‪𝑡‬‏ في الطرف الأيمن من هذه المعادلة. إذا فعلنا ذلك، فسنحصل على ‪𝑁‬‏، وهو عدد الإلكترونات التي تمر عبر مساحة المقطع خلال الزمن ‪𝑡‬‏، يساوي ‪𝐼‬‏ مضروبة في ‪𝑡‬‏ مقسومًا على شحنة الإلكترون، ‪𝑒‬‏. بعد ذلك إذا قسمنا طرفي المعادلة على ‪𝑡‬‏ بحيث يحذف الزمن ‪𝑡‬‏ من الطرف الأيمن، فسنحصل على ‪𝑁‬‏ على ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝐼‬‏ على ‪𝑒‬‏. يمكننا ملاحظة أنه في الطرف الأيسر، ‪𝑁‬‏ على ‪𝑡‬‏ هو عدد الإلكترونات التي تمر عبر مقطع مساحته ‪𝐴‬‏ لكل ثانية من الزمن.

لنتذكر أن سبب مرور هذه الإلكترونات عبر هذا المقطع هو أنها تتحرك إلى اليمين بسرعة متوسطة أسميناها ‪𝑣‬‏. يجب أن يكون عدد الإلكترونات الحرة المارة عبر مقطع السلك لكل ثانية مساويًا لعدد هذه الإلكترونات الحرة لكل وحدة طول من السلك مضروبًا في السرعة المتوسطة التي تتحرك بها هذه الإلكترونات الحرة في الاتجاه الذي تنتقل فيه عبر هذا المقطع. في حالتنا هذه نعلم أن قيمة هذه السرعة المتوسطة تساوي 0.18 ملليمتر لكل ثانية، والتي أسميناها ‪𝑣‬‏.

يمكننا أيضًا ملاحظة أن عدد الإلكترونات الحرة لكل وحدة طول من السلك يجب أن يساوي عدد الإلكترونات الحرة لكل وحدة حجم مضروبًا في مساحة مقطع السلك ‪𝐴‬‏. وعدد الإلكترونات الحرة لكل وحدة حجم ليس إلا كثافة الإلكترونات الحرة في المادة، وهو المطلوب منا إيجاده في هذا السؤال.

لنرمز إلى كثافة الإلكترونات الحرة هذه؛ أي عدد الإلكترونات الحرة لكل وحدة حجم، بالحرف ‪𝑛‬‏. عدد هذه الإلكترونات لكل وحدة حجم يساوي ‪𝑛‬‏، وهو كثافة الإلكترونات الحرة. هذا يعني أن عدد الإلكترونات الحرة لكل وحدة طول يساوي ‪𝑛‬‏، وهي كثافة الإلكترونات الحرة، مضروبة في ‪𝐴‬‏، وهي مساحة المقطع. إذن، عدد الإلكترونات الحرة التي تمر عبر مساحة المقطع ‪𝐴‬‏ يساوي ‪𝑛‬‏ مضروبًا في ‪𝐴‬‏ مضروبة في ‪𝑣‬‏؛ أي السرعة المتوسطة.

بعد ذلك، لنتذكر أن هذا الحد الموجود في الطرف الأيسر؛ أي عدد الإلكترونات التي تمر عبر المقطع لكل ثانية، يساوي ‪𝑁‬‏ مقسومًا على ‪𝑡‬‏. إذن، يصبح لدينا ‪𝑁‬‏ مقسومًا على ‪𝑡‬‏ يساوي ‪𝑛‬‏؛ أي كثافة الإلكترونات الحرة، مضروبة في ‪𝐴‬‏، وهي مساحة مقطع السلك، مضروبة في ‪𝑣‬‏، وهي السرعة المتوسطة للإلكترونات الحرة. يمكننا استخدام هذه المعادلة للتعويض عن ‪𝑁‬‏ على ‪𝑡‬‏ بـ ‪𝑛‬‏ في ‪𝐴‬‏ في ‪𝑣‬‏ في الطرف الأيسر من هذه المعادلة. عندما نفعل ذلك، نجد أن ‪𝑛‬‏ في ‪𝐴‬‏ في ‪𝑣‬‏ يساوي شدة التيار ‪𝐼‬‏ مقسومة على شحنة الإلكترون ‪𝑒‬‏.

لاحظ أنه باستخدام هذه المعادلة هنا للتعويض عن ‪𝑁‬‏ على ‪𝑡‬‏ في هذه المعادلة، فقد تمكنا من الحصول على معادلة نعرف قيم جميع الكميات الداخلة فيها باستثناء كمية واحدة. في الطرف الأيمن من المعادلة، نعرف شدة التيار، ‪𝐼‬‏، في السلك ونعرف قيمة شحنة الإلكترون، ‪𝑒‬‏. وعلى الطرف الأيسر، نعرف قيمة مساحة مقطع السلك، ‪𝐴‬‏، ونعرف السرعة المتوسطة، ‪𝑣‬‏، للإلكترونات الحرة.

الكمية المجهولة الوحيدة هي ‪𝑛‬‏، كثافة الإلكترونات الحرة. وهذه هي الكمية التي نحاول إيجادها. هذا يعني أننا نريد أن نجعل ‪𝑛‬‏ في طرف بمفردها. وللقيام بذلك، نقسم الطرفين على ‪𝐴‬‏ و‪𝑣‬‏. بفعل ذلك، نلاحظ في الطرف الأيسر أن ‪𝐴‬‏ و‪𝑣‬‏ يحذفان من البسط والمقام. وبذلك نحصل على معادلة تنص على أن كثافة الإلكترونات الحرة ‪𝑛‬‏ تساوي شدة التيار ‪𝐼‬‏ مقسومة على شحنة الإلكترون ‪𝑒‬‏، ومساحة مقطع السلك ‪𝐴‬‏، والسرعة المتوسطة للإلكترونات الحرة ‪𝑣‬‏. هذه المعادلة التي استنتجناها ستكون مفتاح الإجابة عن هذا السؤال؛ لأنها تدلنا على كيفية إيجاد الشيء الذي نريده بدلالة أربع كميات نعرف قيمها.

لنفرغ الآن بعض المساحة على الشاشة حتى نتمكن من استخدام هذه المعادلة.

قبل أن نعوض بالقيم التي لدينا في الطرف الأيمن من هذه المعادلة، علينا التحقق من أن جميع الكميات لها وحدات متسقة. في الطرف الأيسر، يرمز الحرف ‪𝑛‬‏ إلى كثافة الإلكترونات الحرة. وهذا يعني أنه عدد الإلكترونات الحرة لكل وحدة حجم. ومن ثم فستكون وحدة قياس ‪𝑛‬‏ في النظام الدولي للوحدات هي وحدة لكل متر مكعب، التي يمكننا كتابتها على صورة متر أس سالب ثلاثة. لحساب قيمة ‪𝑛‬‏ بوحدة المتر أس سالب ثلاثة في النظام الدولي للوحدات، سنحتاج إلى التعبير عن جميع الكميات الموجودة في الطرف الأيمن بوحدات النظام الدولي للوحدات.

قيمة شحنة الإلكترون ‪𝑒‬‏ معبر عنها بوحدة الكولوم، وهي بالفعل وحدة قياس الشحنة الكهربية في النظام الدولي للوحدات. مساحة المقطع ‪𝐴‬‏ معطاة بوحدة المتر المربع، وهي وحدة قياس المساحة في النظام الدولي للوحدات. لكن السرعة ‪𝑣‬‏ معبر عنها بوحدة الملليمتر لكل ثانية، وشدة التيار ‪𝐼‬‏ معبر عنها بوحدة المللي أمبير. هذا يعني أن علينا تحويل هاتين القيمتين إلى وحدة المتر لكل ثانية ووحدة الأمبير، على الترتيب. لفعل ذلك نلاحظ أنه في كلتا الحالتين، لدينا البادئة ‪m‬‏ أو المللي، وهي تعني واحدًا على 1000. هذا يعني أنه للتحويل من ملليمتر لكل ثانية إلى متر لكل ثانية، علينا القسمة على 1000. وبالمثل، للتحويل من مللي أمبير إلى أمبير، علينا القسمة أيضًا على 1000.

إذن، السرعة، ‪𝑣‬‏، تساوي 0.18 مقسومًا على 1000 متر لكل ثانية، وشدة التيار ‪𝐼‬‏ تساوي 77 مقسومًا على 1000 أمبير. السرعة تساوي 0.00018 متر لكل ثانية، وشدة التيار تساوي 0.077 أمبير.

أصبحنا الآن جاهزين للتعويض بقيم شدة التيار ‪𝐼‬‏، وشحنة الإلكترون ‪𝑒‬‏، ومساحة المقطع ‪𝐴‬‏، والسرعة ‪𝑣‬‏، في هذه المعادلة. عندما نفعل ذلك، نحصل على هذا التعبير لكثافة الإلكترونات الحرة، ‪𝑛‬‏. وهو يساوي شدة التيار؛ أي 0.077 أمبير مقسومة على شحنة الإلكترون، التي تساوي 1.6 في 10 أس سالب 19 كولوم، ومساحة مقطع السلك، التي تساوي 1.5 في 10 أس سالب ستة متر مربع، والسرعة المتوسطة للإلكترونات الحرة، التي تساوي 0.00018 متر لكل ثانية.

بما أن كل هذه الكميات الموجودة في الطرف الأيمن معبر عنها بالوحدات الخاصة بها في النظام الدولي للوحدات، فإننا نعلم أن قيمة ‪𝑛‬‏ التي سنحسبها ستكون بوحدة متر أس سالب ثلاثة، وهذا يعني أنه في الطرف الأيمن، يمكننا كتابة متر أس سالب ثلاثة مكان هذه الوحدات كلها. إذا أوجدنا قيمة هذا التعبير بكتابته على الآلة الحاسبة، فسنحصل على الناتج 1.7824 إلى آخره في 10 أس 27 متر أس سالب ثلاثة.

مطلوب منا في السؤال كتابة الإجابة بالصيغة العلمية لأقرب منزلة عشرية. هذه القيمة التي حسبناها مكتوبة بالفعل بالصيغة العلمية؛ لذا علينا فقط تقريبها لأقرب منزلة عشرية. بالتقريب لأقرب منزلة عشرية، نحصل على 1.8 في 10 أس 27 متر أس سالب ثلاثة. إذن الإجابة هي أن كثافة الإلكترونات الحرة في المادة تساوي 1.8 في 10 أس 27 متر أس سالب ثلاثة، أو 1.8 في 10 أس 27 لكل متر مكعب.