فيديو السؤال: حساب نصف قطر مدار الفيزياء

يدور كوكب في مدار دائري حول نجم. يدور الكوكب بسرعة مدارية ‪17‬‏‪9 km/s‬‏، وتبلغ كتلة النجم ‪2.18 × 10³⁰ kg‬‏. ما نصف قطر مدار الكوكب؟ استخدم القيمة ‪6.67 × 10⁻¹¹ m³/kg⋅s²‬‏ لثابت الجذب العام، والقيمة ‪1.5 × 10¹¹ m‬‏ لطول ‪1 AU‬‏. قرب إجابتك لأقرب وحدة فلكية.

٠٤:٢٣

‏نسخة الفيديو النصية

يدور كوكب في مدار دائري حول نجم. يدور الكوكب بسرعة مدارية 17.9 كيلومترًا لكل ثانية، وتبلغ كتلة النجم 2.18 في 10 أس 30 كيلوجرام. ما نصف قطر مدار الكوكب؟ استخدم القيمة 6.67 في 10 أس سالب 11 متر مكعب لكل كيلوجرام ثانية مربعة لثابت الجذب العام، والقيمة 1.5 في 10 أس 11 متر لطول وحدة فلكية واحدة. قرب إجابتك لأقرب وحدة فلكية.

لدينا هنا كوكب يدور حول نجم. نعلم من معطيات السؤال بعض خصائص النظام؛ مثل السرعة المدارية للكوكب التي سنطلق عليها ‪𝑉‬‏، وكتلة النجم التي سنطلق عليها ‪𝑀‬‏. ونعلم من المعطيات أيضًا قيمة ثابت الجذب العام الممثل بالرمز ‪𝐺‬‏، وكذلك نعلم عامل التحويل بين المتر والوحدات الفلكية، الذي سنستخدمه لاحقًا.

مطلوب منا معرفة نصف قطر مدار الكوكب، الذي سنطلق عليه ‪𝑟‬‏. ولذا، سنحتاج إلى صيغة تربط هذه الكميات معًا. سنستخدم معادلة السرعة المدارية التي تنص على أن ‪𝑉‬‏ يساوي الجذر التربيعي لـ ‪𝐺𝑀‬‏ مقسومًا على ‪𝑟‬‏،والتي تنطبق فقط على الحالة الخاصة للمدار الدائري مثل الحالة التي نتعامل معها هنا. وبما أن علينا إيجاد نصف قطر مدار الكوكب، دعونا ننسخ الصيغة هنا ونحلها لإيجاد قيمة ‪𝑟‬‏.

أولًا، سنقوم بتربيع كلا الطرفين لنحذف الجذر الذي يظهر تحته ‪𝑟‬‏. بعد ذلك، سنضرب كلا طرفي المعادلة في ‪𝑟‬‏ على ‪𝑉‬‏ تربيع لحذف ‪𝑟‬‏ من الطرف الأيمن و‪𝑉‬‏ تربيع من الطرف الأيسر؛ بحيث نحصل على ‪𝑟‬‏ في طرف بمفرده. ولكن، قبل أن نعوض بهذه الحدود، يجب التعبير عنها جميعها بوحدات النظام الدولي الأساسية. يمكننا استخدام ‪𝑀‬‏ و‪𝐺‬‏ بصورتهما الحالية، ولكن ‪𝑉‬‏ معبر عنه بوحدة الكيلومتر لكل ثانية؛ لذا علينا تحويلها إلى متر لكل ثانية.

لعلك تتذكر أن الكيلومتر الواحد يساوي 10 أس ثلاثة متر. لذا، دعونا نعوض بهذه القيمة في البسط. ونحصل على 17.9 في 10 أس ثلاثة متر لكل ثانية. أو في الصيغة العلمية، هذا يساوي 1.79 في 10 أس أربعة متر لكل ثانية. بالتعويض بهذه القيم في الصيغة، سنحصل على: ‪𝑟‬‏ يساوي 6.67 في 10 أس سالب 11 متر مكعب لكل كيلوجرام ثانية مربعة في 2.18 في 10 أس 30 كيلوجرام مقسومًا على 1.79 في 10 أس أربعة متر لكل ثانية الكل تربيع.

قبل أن نحسب هذا المقدار، دعونا نتحقق من الوحدات بدءًا بتوزيع هذا الأس. والآن، دعونا نحذف وحدات الثانية المربعة وكذلك وحدات الكيلوجرام والمتر أس اثنين. وبذلك، يتبقى لدينا قوة واحدة للمتر في البسط، وهذه دلالة جيدة لأننا نعمل على إيجاد مسافة ما. عندما نحسب قيمة هذا المقدار، نجد أن ‪𝑟‬‏ يساوي 4.54 في 10 أس 11 متر.

ولكن هذه ليست الإجابة النهائية؛ لأنه مطلوب منا في السؤال تقريب القيمة لأقرب وحدة فلكية. نعلم أن الوحدة الفلكية الواحدة تساوي 1.5 في 10 أس 11 متر. دعونا إذن نضرب ‪𝑟‬‏ في معامل التحويل هذا ونحذف وحدات المتر. وعليه، نحصل على ‪𝑟‬‏ يساوي 3.03 وحدات فلكية. وأخيرًا، بالتقريب لأقرب وحدة فلكية، نجد أن نصف قطر مدار الكوكب يساوي ثلاث وحدات فلكية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.