نسخة الفيديو النصية
يجري طفلان: يارا وماجد، وسط بعض الحقول. دخل الطفلان إلى حقل طوله 36 مترًا، وعرضه 77 مترًا؛ حيث دخلا من الركن الأيسر السفلي لهذا الحقل في نفس الوقت. تجري يارا على حدود الحقل بسرعة متوسطة مقدارها 5.65 أمتار لكل ثانية، بداية باتجاه الركن الأيسر العلوي للحقل ثم باتجاه الركن الأيمن العلوي. يجري ماجد في خط مستقيم عبر الحقل متجهًا إلى الركن الأيمن العلوي، ولكنه يجري بسرعة متوسطة مقدارها 2.5 متر لكل ثانية فقط بسبب الحشائش الطويلة. ما الفرق في الزمن المستغرق بين يارا وماجد للوصول إلى الركن الأيمن العلوي للحقل؟
حسنًا، في هذه المسألة، لدينا طفلان يجريان من أحد أركان حقل إلى ركن آخر. تخبرنا المعطيات أن الطفلين انطلقا في نفس الوقت، ولكن كلًّا منهما يجري بسرعة مختلفة وعلى امتداد مسار مختلف. والمطلوب منا هو إيجاد الفرق في الزمن الذي يستغرقه الطفلان للوصول إلى الركن البعيد.
لنبدأ باستخراج المعطيات المهمة من المسألة واستخدامها لرسم شكل توضيحي. تذكر المعطيات أن طول الحقل 36 مترًا، وعرضه 77 مترًا. ونعلم أن الطفلين دخلا من الركن الأيسر السفلي للحقل. هذا الركن هو هذه النقطة هنا على الرسم. تجري يارا إلى الركن الأيسر العلوي ثم إلى الركن الأيمن العلوي. رسمنا مسار يارا إلى الشكل باللون البرتقالي. نعلم أيضًا أن يارا تجري بسرعة 5.65 أمتار لكل ثانية. سنسمي هذه السرعة 𝑆𝑠؛ حيث يشير حرف 𝑠 الصغير إلى يارا.
أما ماجد، فيجري عبر الحقل مباشرة إلى الركن الأيمن العلوي. هذا هو المسار القطري هنا. وتذكر المعطيات أن ماجد يجري بسرعة 2.5 متر لكل ثانية. سنسمي هذه السرعة 𝑆𝑚؛ حيث يشير حرف 𝑚 الصغير إلى ماجد.
بذلك نكون قد استخرجنا كل المعطيات المهمة من المسألة. بالنظر إلى الشكل، نلاحظ أن لدينا معلومات كثيرة عن المسافات والسرعات. والمطلوب منا في المسألة هو إيجاد قيمة الزمن. نتذكر هنا أن لدينا صيغة تربط بين كميات السرعة والمسافة والزمن. على وجه التحديد، نعلم أن السرعة 𝑆 تساوي المسافة، ونرمز إليها بالرمز 𝑑، مقسومة على الزمن، ونرمز إليه بالرمز 𝑡. في هذه المسألة، لدينا معلومات عن المسافات والسرعات، وما نريده هو إيجاد قيمة الزمن. إذن لنعد ترتيب هذه الصيغة بحيث نجعل الزمن 𝑡 في طرف بمفرده.
إذا ضربنا طرفي المعادلة في 𝑡، فسنجد أن الحدين 𝑡 في البسط والمقام في الطرف الأيمن من المعادلة يلغي كل منهما الآخر. ونجد أن 𝑆 في 𝑡 يساوي 𝑑. وبعد ذلك، إذا قسمنا كلا الطرفين على 𝑆، فالحدان 𝑆 في البسط والمقام في الطرف الأيسر من المعادلة يلغي كل منهما الآخر. وبذلك نحصل على المعادلة التالية: الزمن 𝑡 يساوي المسافة 𝑑 مقسومة على السرعة 𝑆. تعني هذه الصيغة أنه إذا علمنا المسافة التي يقطعها كل من الطفلين وسرعتهما، فيمكننا حساب الزمن الذي يستغرقه كل منهما للوصول إلى الركن الأيمن العلوي من الحقل بداية من الركن الأيسر السفلي.
لنبدأ بيارا. نعلم سرعتها بالفعل. وهي 𝑆𝑠، وتساوي 5.65 أمتار لكل ثانية. وكل ما علينا فعله هو إيجاد المسافة. نعلم أن المسار الذي تسلكه يقع على امتداد الأسهم البرتقالية الموضحة في الشكل. هذا يعني أنها تتوجه في البداية إلى الركن العلوي الأيسر ثم إلى الركن العلوي الأيمن. فتجري أولًا على امتداد حد طوله 36 مترًا، ثم حد طوله 77 مترًا. إذن المسافة الكلية التي تقطعها، وسنسميها 𝑑𝑠، تساوي 36 مترًا زائد 77 مترًا.
بجمع هذين العددين، نجد أن المسافة 𝑑𝑠 تساوي 113 مترًا. والآن بعد أن علمنا المسافة التي تقطعها يارا وسرعتها، يمكننا استخدام هذه الصيغة لحساب الزمن الذي تستغرقه. إذا أسمينا هذا الزمن 𝑡𝑠، يصبح لدينا 𝑡𝑠 يساوي المسافة 113 مترًا مقسومة على السرعة التي تساوي 5.65 أمتار لكل ثانية. بحساب ذلك، نجد أن الزمن 𝑡𝑠 يساوي 20 ثانية. إذن تستغرق يارا 20 ثانية للانتقال من الركن الأيسر السفلي إلى الركن الأيمن العلوي.
والآن لنفعل الشيء نفسه مع ماجد. كما هو الحال مع يارا، نعلم بالفعل سرعة ماجد، وهي تساوي في هذه الحالة 2.5 متر لكل ثانية. ولكن، مرة أخرى، علينا إيجاد المسافة التي يقطعها. من الشكل الذي رسمناه، يمكننا أن نلاحظ أن ماجد يجري على امتداد وتر مثلث قائم الزاوية. ونعلم طولي الضلعين الآخرين في هذا المثلث. فهما يساويان 36 مترًا و 77 مترًا. تنص نظرية فيثاغورس على أنه في المثلث القائم الزاوية الذي طول وتره 𝑐 وطولا ضلعيه الآخرين 𝑎 و𝑏، فإن 𝑐 تربيع يساوي 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع. بحساب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، نجد أن طول الوتر 𝑐 يساوي الجذر التربيعي لـ 𝑎 تربيع زائد 𝑏 تربيع.
بمقارنة هذا المثلث القائم الزاوية بنظيره على الشكل الذي رسمناه للمسألة، يمكننا ملاحظة أنه في هذه الحالة 𝑎 يساوي 77 مترًا، و𝑏 يساوي 36 مترًا. طول وتر هذا المثلث يساوي المسافة التي يقطعها ماجد، والتي سنسميها 𝑑𝑚. وهكذا يصبح لدينا 𝑑𝑚 تساوي الجذر التربيعي لـ 77 مترًا مربعًا زائد 36 مترًا مربعًا. بتربيع هذين العددين، يصبح لدينا تحت الجذر التربيعي 5929 مترًا مربعًا زائد 1296 مترًا مربعًا. مجموع هذين العددين يساوي 7225 مترًا مربعًا. وبحساب الجذر التربيعي، نجد أن المسافة التي يقطعها ماجد 𝑑𝑚 تساوي 85 مترًا.
والآن بعد أن علمنا سرعة ماجد التي تساوي 2.5 متر لكل ثانية، والمسافة التي يقطعها وهي 85 مترًا، يمكننا استخدام هذه الصيغة لحساب الزمن الذي يستغرقه. سنسمي هذا الزمن 𝑡𝑚. وبذلك يكون لدينا 𝑡𝑚 يساوي المسافة، أي 85 مترًا، مقسومة على السرعة، أي 2.5 متر لكل ثانية. بحساب ذلك، نجد أن الزمن 𝑡𝑚 يساوي 34 ثانية.
حسنًا، لكننا لم نجد الحل بعد. فالمسألة تطلب منا إيجاد الفرق في زمن وصول الطفلين. نعلم الزمن الذي يستغرقه كل طفل في الانتقال من الركن الأيسر السفلي إلى الركن الأيمن العلوي من الحقل. في حالة يارا، هذا الزمن 𝑡𝑠 يساوي 20 ثانية، وفي حالة ماجد، على الرغم من أنه سلك المسار الأقصر، فقد استغرق زمنًا أطول؛ إذ إن 𝑡𝑚 يساوي 34 ثانية. لحساب الفرق في زمن الوصول، نطرح الزمن الذي استغرقته يارا من الزمن الذي استغرقه ماجد. سنرمز لهذا الفرق في الزمن بحرف 𝑇 كبير، ومن ثم فإن 𝑇 يساوي 𝑡𝑚 ناقص 𝑡𝑠.
ما نفعله هنا هو أخذ الزمن الذي استغرقه ماجد في الجري وطرح الزمن الذي استغرقته يارا منه. وما يتبقى لدينا هو الزمن الذي واصل فيه مايكل الجري بعد أن وصلت يارا بالفعل إلى الركن العلوي الأيمن، أي الفرق في زمن وصولهما. بالتعويض بالعددين، نجد أن 𝑡𝑚 يساوي 34 ثانية، و𝑡𝑠 يساوي 20 ثانية. ومن ثم، فالفرق في زمن وصولهما هو 34 ثانية ناقص 20 ثانية. بإجراء عملية الطرح هذه، نحصل على 14 ثانية.
إذن حل المسألة هو أن الفرق في الزمن المستغرق بين يارا وماجد للوصول إلى الركن الأيمن العلوي للحقل يساوي 14 ثانية.
