فيديو السؤال: إيجاد محصلة ثلاث قوى في بعدين الرياضيات

يمثل الشكل الآتي نظامًا من ثلاث قوى مقيسة بالنيوتن. إذا كان ﺃﺏ = ٢٤ سم، ﺃﺩ = ١٨ سم، فأوجد مقدار المحصلة ﺡ، وقياس الزاوية 𝜃 التي تقع بين محصلة هذه القوى والاتجاه الموجب للمحور ﺱ. قرب الإجابة لأقرب دقيقة.

٠٧:٠٥

‏نسخة الفيديو النصية

يمثل الشكل الآتي نظامًا من ثلاث قوى مقيسة بالنيوتن. إذا كان ﺃﺏ يساوي ٢٤ سنتيمترًا وﺃﺩ يساوي ١٨ سنتيمترًا، فأوجد مقدار المحصلة ﺡ، وقياس الزاوية 𝜃 التي تقع بين محصلة هذه القوى والاتجاه الموجب للمحور ﺱ. قرب الإجابة لأقرب دقيقة.

في هذا السؤال، نتعامل مع ثلاث قوى سنسميها المتجه ﻕ واحد، وﻕ اثنين، وﻕ ثلاثة، كما هو موضح. هذه القوى تؤثر في بعدين، وسنعرف متجه الوحدة الأفقي ﺱ، ومتجه الوحدة الرأسي ﺹ. هذا يعني أننا نسمي المتجه ﻕ واحد سالب ٤٠ﺱ، حيث إنه يؤثر في الاتجاه السالب للمحور ﺱ. وبالطريقة نفسها، بما أن ﻕ اثنين يؤثر رأسيًّا لأسفل، فإنه يساوي سالب ٣٠ﺹ.

ولكن ماذا عن القوة ﻕ ثلاثة؟ نحن نعلم أن مقدارها ٢٤ نيوتن. وعلينا تحليل هذه القوة إلى مركبتيها الأفقية والرأسية. للقيام بذلك، سنستخدم حقيقة أن ﺃﺏ يساوي ٢٤ سنتيمترًا؛ وﺃﺩ، ومن ثم ﺏﺟ، يساوي ١٨ سنتيمترًا. يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية، كما هو موضح، واستخدامه لإيجاد النسب بين طول الوتر وطولي الضلعين الآخرين. سنسمي الزاوية ﺃ بـ 𝛼، ولدينا طول الضلع المقابل يساوي ١٨ سنتيمترًا وطول الضلع المجاور يساوي ٢٤ سنتيمترًا.

باستخدام نسبة الظل، يصبح لدينا ظا 𝛼 يساوي ١٨ على ٢٤. ويبسط هذا إلى ثلاثة أرباع. نحن نعلم أن طول ضلع المثلث يظل متناسبًا مع القوة ﻕ ثلاثة. لذا سنعيد تسمية أبعاد المثلث بحيث يكون طول الوتر ٢٤ نيوتن. هذه المرة، سنسمي طول الضلع المجاور ﺱ، وطول الضلع المقابل ﺹ. وباستخدام نسبة جيب التمام، يصبح لدينا جتا 𝛼 يساوي ﺱ على ٢٤. وهذا يمثل الضلع المجاور على الوتر.

بالطريقة نفسها، توضح لنا نسبة الجيب أن جا 𝛼 يساوي ﺹ على ٢٤. يمكننا ضرب طرفي المعادلتين في ٢٤ لنحصل على ﺱ يساوي ٢٤جتا𝛼، وﺹ يساوي ٢٤جا𝛼. وبتذكر أن ظا 𝛼 يساوي ثلاثة أرباع، نعرف أن هذه إحدى ثلاثيات فيثاغورس. هذا يعني أن جتا 𝛼 يساوي أربعة أخماس، وجا 𝛼 يساوي ثلاثة أخماس.

ومن ثم، فإن المركبتين الأفقية والرأسية للقوة تساويان ٩٦ على خمسة و ٧٢ على خمسة على الترتيب. وبما أن كلتيهما تؤثران في الاتجاه الموجب، فإن ﻕ ثلاثة تساوي ٩٦ على خمسة ﺱ زائد ٧٢ على خمسة ﺹ. أصبح لدينا الآن تعبيرات للقوى الثلاث بدلالة متجهي الوحدة ﺱ وﺹ.

نفرغ بعض المساحة، ونجد أن أول قيمة علينا حسابها هي قيمة ﺡ، أي مقدار محصلة القوى الثلاث. المحصلة تساوي مجموع كل القوى. إذن، ﺡ يساوي ﻕ واحد زائد ﻕ اثنين زائد ﻕ ثلاثة. ولجمع المتجهات، فإننا نجمع المركبات الأفقية والرأسية معًا. المركبتان الأفقيتان هما سالب ٤٠ و ٩٦ على خمسة، والمركبتان الرأسيتان هما سالب ٣٠ و ٧٢ على خمسة. إذن القوة المحصلة تساوي سالب ١٠٤ على خمسة ﺱ ناقص ٧٨ على خمسة ﺹ.

وعليه، فإن القوة المحصلة تؤثر في الاتجاه الموضح. ففي الاتجاه الأفقي، القوة المحصلة تساوي ١٠٤ على خمسة نيوتن، وفي الاتجاه الرأسي، تساوي ٧٨ على خمسة نيوتن. مقدار هذه المحصلة هو طول المتجه. وباستخدام نظرية فيثاغورس، نجد أن هذا يساوي الجذر التربيعي لـ ١٠٤ على خمسة الكل تربيع زائد ٧٨ على خمسة الكل تربيع. وبكتابة هذا على الآلة الحاسبة، نحصل على الناتج ٢٦. إذن، نستنتج أن ﺡ يساوي ٢٦ نيوتن.

يطلب منا السؤال أيضًا إيجاد قياس الزاوية 𝜃 التي تقع بين محصلة هذه القوى والاتجاه الموجب للمحور ﺱ. سنبدأ بإيجاد قياس الزاوية 𝛽، وهي الزاوية التي تصنعها المحصلة مع الاتجاه السالب للمحور ﺱ. باستخدام نسبة الظل، يصبح لدينا ظا 𝛽 يساوي ٧٨ على خمسة مقسومًا على ١٠٤ على خمسة. يبسط هذا إلى ٧٨ على ١٠٤. ومن ثم، فإن 𝛽 تساوي الدالة العكسية لـ ظا ٧٨ على ١٠٤. بعد التأكد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجات، يمكننا كتابة ذلك والحصول على 𝛽 تساوي ٣٦٫٨٦٩ درجة مع توالي الأرقام.

والآن نقيس الزاوية 𝜃 من الاتجاه الموجب للمحور ﺱ، وكالمعتاد، نتحرك في عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. يعني هذا أننا نضيف ١٨٠ درجة إلى قيمة الزاوية 𝛽. وبذلك، فإن قياس الزاوية 𝜃 يساوي ٢١٦٫٨٦٩ درجة مع توالي الأرقام. وبما أننا نريد تقريب الإجابة لأقرب دقيقة، نضرب الجزء العشري في ٦٠، فنجد أن قياس الزاوية 𝜃 يساوي ٢١٦ درجة و ٥٢ دقيقة لأقرب دقيقة.

أصبح لدينا الآن إجابة جزأي السؤال. فمقدار المحصلة ﺡ يساوي ٢٦ نيوتن، وقياس الزاوية 𝜃 التي تقع بين محصلة القوى والاتجاه الموجب للمحور ﺱ يساوي ٢١٦ درجة و ٥٢ دقيقة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.