نسخة الفيديو النصية
هل المصفوفتان التاليتان: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة؛ واحد، نصف، ثلث، ربع، كل منهما معكوس ضربي للأخرى؟
توجد طريقتان للإجابة عن هذا السؤال. لنتناول أولًا صيغة معكوس مصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين. لمصفوفة من الرتبة اثنان في اثنين التي عناصرها ﻙ، ﻝ، ﻡ، ﻥ، فإن معكوسها يساوي واحدًا على محدد ﺃ مضروبًا في ﻥ، وسالب ﻝ، وسالب ﻡ، وﻙ، حيث يمكن إيجاد المحدد بضرب ﻙ في ﻥ ثم بطرح حاصل ضرب ﻝ في ﻡ.
لاحظ أن هذا يعني أنه إذا كانت قيمة محدد المصفوفة صفرًا، فلن يكون هناك معكوس ضربي؛ لأن واحدًا على محدد ﺃ سيساوي واحدًا على صفر، ونحن نعلم أنها قيمة غير معرفة.
لنبدأ بحساب معكوس واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة. ﻙ يساوي واحدًا. وﻝ يساوي اثنين. وﻡ يساوي ثلاثة. وﻥ يساوي أربعة. محدد هذه المصفوفة هو واحد مضروبًا في أربعة ناقص اثنين مضروبًا في ثلاثة، وهو ما يساوي سالب اثنين. وبعد ذلك، نبدل موضعي ﻙ وﻥ. ونغير إشارتي ﻝ وﻡ.
إذن، معكوس المصفوفة: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة هو سالب نصف مضروبًا في أربعة، سالب اثنين، سالب ثلاثة، واحد. وإذا ضربنا كل عنصر من عناصر هذه المصفوفة في سالب نصف، فسنحصل على سالب اثنين، وواحد، وثلاثة أنصاف، وسالب نصف. هذا لا يماثل المصفوفة الثانية في المسألة. ولذا، فإن الإجابة هي: لا، كل منهما ليست معكوسًا ضربيًّا للأخرى.
يمكننا بدلًا من ذلك استخدام قاعدة أنه عند ضرب معكوس مصفوفة في نفسها، نحصل على مصفوفة الوحدة. لنر ما سيحدث عندما نضرب هاتين المصفوفتين. لإيجاد العنصر الأول في حاصل الضرب، علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي للصف الأول في المصفوفة الأولى والعمود الأول في المصفوفة الثانية. وهو ما يساوي واحدًا مضروبًا في واحد زائد اثنين مضروبًا في ثلث، أي خمسة أثلاث.
لإيجاد العنصر الثاني، علينا إيجاد حاصل الضرب القياسي للصف الأول في المصفوفة الأولى والعمود الثاني في المصفوفة الثانية. واحد مضروبًا في نصف زائد اثنين مضروبًا في ربع يساوي واحدًا.
بعد ذلك، نوجد حاصل الضرب القياسي للصف الثاني في المصفوفة الأولى والعمود الأول في المصفوفة الثانية. ثلاثة مضروبًا في واحد زائد أربعة مضروبًا في ثلث، أي ١٣ على ثلاثة. بتكرار هذه العملية للعنصر الأخير، نحصل على خمسة أنصاف. من الواضح أن هذه ليست مصفوفة الوحدة: واحد، صفر، صفر، واحد.
إذن، أثبتنا مرة أخرى أن كلتا المصفوفتين ليستا معكوسًا ضربيًّا للأخرى.
