نسخة الفيديو النصية
نظرية التغير الكلي
في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية تطبيق نظرية التغير الكلي وما تنص عليه هذه النظرية حول قيم التكاملات.
تنص نظرية التغير الكلي على أن تكامل معدل التغير يساوي التغير الكلي. ولكن ما الذي يعنيه هذا فعليًا؟ يمكننا كتابة ذلك رياضيًا بالطريقة الآتية. التكامل بين ﺃ وﺏ للدالة ﺩ شرطة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺩﺏ ناقص ﺩﺃ. ولننظر كل حد من هذه الحدود. ﺩﺱ هي دالة ما. وهذا يعني أن ﺩ شرطة ﺱ، وهي المشتقة الأولى من ﺩﺱ، يمكن اعتبارها معدل تغير ﺩﺱ.
عندما نحسب التكامل بين الحدين ﺃ وﺏ، سنحصل على قيمة الدالة الأصلية عند ﺏ ناقص قيمة الدالة الأصلية عند ﺃ. وإذا اعتبرنا ﺩﺃ القيمة الابتدائية للدالة ﺩ، وﺩﺏ القيمة النهائية للدالة ﺩ، فسيتضح لنا أننا نبحث عن التغير الكلي، أو الفرق بين قيمتين للدالة الأصلية. إذا كانت القيمة النهائية لـ ﺩ في ﺏ أكبر من القيمة الابتدائية لـ ﺩ في ﺃ، فسيكون التغير الكلي موجبًا. والعكس صحيح في حال كانت ﺩﺏ أصغر من ﺩﺃ.
تجدر الإشارة هنا إلى أن نظرية التغير الكلي ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالجزء الثاني من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. في هذا الفيديو، ربما نتناول تفاصيل كثيرة عن هذا الموضوع وربما يكون لديك علم ببعض المفاهيم. هيا ننظر إلى مثال لتتعرف أكثر على النظرية.
افترض أن الدالة ﺩﻥ تساوي ﻥ تربيع. أوجد قيمة التكامل بين واحد وثلاثة لـ ﺩ شرطة في ﻥ بالنسبة لـ ﻥ باستخدام نظرية التغير الكلي.
في هذا السؤال، والعديد من الأسئلة الأخرى، من المفيد أن تكتب النظرية التي ستستخدمها. نكتب هنا نظرية التغير الكلي. بالرغم من أن المتغير المذكور في السؤال هو ﻥ والمتغير المذكور في النظرية المكتوبة هو ﺱ، يمكننا تطبيق النظرية بالطريقة نفسها. نجعل الحد السفلي للتكامل، أو ﺃ، واحدًا، والحد العلوي للتكامل، أو ﺏ، ثلاثة. باستخدام النظرية، يمكننا القول إن التكامل بين واحد وثلاثة لـ ﺩ شرطة ﻥ بالنسبة لـ ﻥ يساوي ﺩ لثلاثة ناقص ﺩ لواحد.
هنا حدا التكامل اللذان استخدمناهما بالفعل. لاحظ أنه يمكننا تطبيق النظرية لأن لدينا تكاملًا محددًا للمشتقة ﺩ شرطة ﻥ. ويمكن التفكير في هذا كمعدل تغير ﺩ في ﻥ. أما ﺩ في ﻥ نفسها، فهي مذكورة في السؤال. وتساوي ﻥ تربيع. يمكننا إذن حساب قيمة الطرف الأيسر بالتعويض في الدالة ويساوي ثلاثة تربيع ناقص واحد تربيع. أي تسعة ناقص واحد، وهذا يساوي ثمانية. بعد هذا التبسيط، نكون قد أجبنا عن السؤال. استخدمنا نظرية التغير الكلي لإيجاد قيمة التكامل المعطى والتي تساوي ثمانية.
بعد أن رأينا المثال، دعونا نعد إلى النظرية لنفهمها بصورة أفضل. لدينا هنا تمثيل بياني للدالة ﺩﺱ. وستجد أدناه التمثيل البياني للدالة ﺩ شرطة ﺱ. إذا استخدمنا الطرف الأيمن من نظرية التغير الكلي، نجد أن التكامل بين ﺃ وﺏﺩ شرطة ﺱ بالنسبة لـ ﺱ يعطينا المساحة أسفل هذا الخط. تنص نظرية التغير الكلي أن هذا يعطينا الفرق بين قيمة ﺩﺏ وقيمة ﺩﺃ.
نرى هنا ﺩﺏ أكبر من ﺩﺃ. لهذا نتوقع أن يكون هذا عددًا موجبًا. معلوم في التكامل أن المساحة أعلى المحور ﺱ تعني أن الناتج سيكون عددًا موجبًا، وهذا يتفق مع التمثيل البياني المقابل. بفهمنا لهذين التمثيلين البيانيين معًا يصبح لدينا تصور مرئي لنظرية التغير الكلي.
مهم أيضًا أن نعرف أن سلوك الدالة ﺩ قد يتغير في الاتجاهين بين ﺃ وﺏ. نرى هنا أنه كلما اتجهنا يمينًا من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ، تتناقص قيمة ﺩﺱ أولًا ثم تتزايد. التمثيل البياني لـ ﺩ شرطة سيكون على هذا النحو. بإجراء التكامل، تظهر لنا مساحة صغيرة أسفل المحور ﺱ، أي سيكون الناتج عددًا سالبًا، وتظهر مساحة أكبر أعلى المحور ﺱ، أي سيكون الناتج عددًا موجبًا. ويتطابق هذا مع توقعاتنا التي استقيناها من الملاحظات التي ذكرناها. بما أن ﺩﺏ أكبر من ﺩﺃ، فنتوقع أن يكون التغير الكلي عددًا موجبًا.
قبل متابعة الشرح، حري بنا أن نوضح بعض الأخطاء الشائعة عند استخدام هذا التمثيل البياني كمثال. لا تعطينا نظرية التغير الكلي سوى الفرق بين قيمة ﺩﺏ وقيمة ﺩﺃ. ويجب ألا يلتبس علينا الأمر ونظن أنها تعطينا قيمة ﺩﺏ، ويجب أيضًا ألا نفترض أي استنتاجات بشأن سلوك الدالة بين قيمتي ﺃ وﺏ. على سبيل المثال، التغير الكلي الموجب لا يعني بالضرورة أن قيمة الدالة تتزايد بين ﺃ وﺏ. ولننظر مثالًا آخر يوضح خطأ آخر وارد الحدوث.
صواب أم خطأ؟ إذا كانت ﻫ في ﻥ تمثل معدل التغير في طول طفل رضيع بالسنتيمترات لكل شهر، فإنه عندما يكون عمر الطفل ﻥ من الأشهر، يكون التكامل بين صفر وستة للدالة ﻫﻥ بالنسبة لـ ﻥ مساويًا لطول الطفل عندما يكون عمره ستة أشهر.
في هذا السؤال، ندرك أولًا أن لدينا دالة تمثل معدل تغير. ومطلوب إيجاد التكامل المحدد الذي يتضمن معدل التغير هذا. عند إيجاد قيمة التكامل المحدد لمعدلات تغير، نستخدم نظرية التغير الكلي. لقد اعتدنا على رؤية رمز الشرطة داخل التكامل لنستنتج من ذلك أن هذا هو معدل تغير أو مشتقة. ولكننا نعلم من السؤال هنا أن ﻫ في ﻥ هي بالفعل معدل التغير لكمية ما. يمكننا إذن تعريف الدالة ﺭﻥ بأنها الكمية نفسها، أي طول الطفل عندما يكون عمره ﻥ من الشهور. بعبارة أخرى، نوجد المشتقة العكسية للدالة ﻫﻥ.
وبما أن نظرية التغير الكلي تستخدم المشتقة العكسية للمعدل المطلوب تكامله، إذن يمكننا الآن تكوين معادلة. التكامل المعطى في السؤال يساوي ﺭ لستة، أي طول الطفل عند عمر ستة أشهر، ناقص ﺭ لصفر، وهو طول الطفل عندما يكون عمره صفرًا من الأشهر. في هذه الخطوة، ربما نلاحظ وجود عقبة أمامنا في السؤال.
فعند قراءة السؤال أول مرة، ربما لاحظنا أن الحد السفلي للتكامل هو صفر، والحد العلوي له هو ستة. وربما نستنتج من هذا أنه يمكننا تجاهل الحد السفلي، لأنه يساوي صفرًا. وربما استنتجنا من هذا أن التكامل يساوي ﺭ لستة بالفعل، أي طول الطفل عند عمر ستة أشهر. وربما ظننا أن العبارة المذكورة في السؤال صحيحة.
ولكن هذا خطأ. لا يمكن تجاهل الحد السفلي لأن ﺭ لصفر لا تساوي صفرًا. الدالة ﺭ لصفر تمثل طول الطفل عند عمر صفر من الأشهر، أي عند لحظة ميلاده. نعرف أنه عند ميلاد الطفل، يكون صغيرًا جدًا لكن بالتأكيد لا يكون طوله صفرًا. في الحقيقة ما يوضحه لنا التكامل هو التغير الكلي بين طول الطفل عند صفر من الأشهر وطوله عند ستة أشهر. وبما أننا ذكرنا سبب أن الدالة ﺭ لصفر لا تساوي صفرًا، فإن التغير الكلي لن يساوي الدالة ﺭ لستة. يعني هذا أننا أثبتنا أن العبارة المذكورة في السؤال خطأ.
يوضح المثال الذي رأيناه أن نظرية التغير الكلي يمكن استخدامها في عمليات فيزيائية عديدة. من الأمثلة الشائعة العلاقة بين الموضع والسرعة والعجلة. لنتخيل جسمًا يتحرك في بعد واحد، على المحور ﺱ مثلًا. يمكننا تمثيل موضع الجسم عند زمن ما، ﻥ، بالدالة ﺱﻥ. وسرعته هي معدل تغير الموضع بالنسبة إلى الزمن. بعبارة أخرى، السرعة هي المشتقة الأولى للموضع بالنسبة إلى الزمن. وبالمثل، العجلة هي معدل تغير السرعة بالنسبة إلى الزمن. أي إنها مشتقة بالنسبة إلى الزمن.
بمعلومية هذه العلاقات، نفهم أن السرعة هي المشتقة العكسية للعجلة والموضع هو المشتقة العكسية للسرعة. وبما أن نظرية التغير الكلي تتضمن دالة، وهي دالة معدل التغير والمشتقة العكسية للدالة، يمكننا إذن استخدامها لإيجاد التكامل المحدد للسرعة، ومن هنا نحصل على التغير الكلي بين موضعين، والتكامل المحدد للعجلة، كما سنحصل على التغير الكلي بين سرعتين. لنأخذ مثالًا على ذلك.
يتحرك جسيم على المحور ﺱ. سرعة الجسيم بالمتر في الثانية كدالة في الزمن هي ﻉ في ﻥ تساوي ستة ﻥ تربيع ناقص ثمانية ﻥ. أوجد إزاحة الجسيم بين ﻥ يساوي واحدًا وﻥ يساوي خمسة.
في هذا السؤال، أول ما يتعين علينا فعله هو الانتباه إلى هذه الكلمة، «الإزاحة». إزاحة الجسيم هي المسافة بين موضعه النهائي وموضعه الابتدائي. يكون الجسيم في موضعه الابتدائي عند ﻥ يساوي واحدًا، وفي موضعه النهائي عند ﻥ يساوي خمسة. إذا كانت سرعة الجسيم تمثل بالدالة ﻉﻥ، فيمكننا تحديد موضع الجسيم على المحور ﺱ بالدالة ﺱﻥ. وبهذا تكون الإزاحة التي نحاول إيجادها هي ﺱ لخمسة، أي الموضع النهائي للجسيم، ناقص ﺱ لواحد، وهو الموضع الابتدائي للجسيم.
والآن نتذكر العلاقة بين السرعة والموضع. عند اشتقاق الموضع بالنسبة إلى الزمن، نحصل على السرعة. يمكننا تمثيل السرعة بـ ﺱ شرطة ﻥ. يساعدنا هذا على إدراك أنه يمكننا إيجاد الإزاحة باستخدام نظرية التغير الكلي. وبما أن السرعة هي المشتقة الأولى للموضع بالنسبة إلى الزمن، فإن نظرية التغير الكلي تتيح لنا تكوين المعادلة التالية.
التكامل بين واحد وخمسة لـ ﺱ شرطة ﻥ بالنسبة لـ ﻥ يساوي ﺱ لخمسة ناقص ﺱ لواحد. وسنلاحظ أن طرف المعادلة الأيسر هو الإزاحة التي نريد إيجادها. من الواضح أن ﺱ شرطة ﻥ، أي معدل تغير الموضع بالنسبة إلى الزمن، هو السرعة.
أعطانا السؤال دالة السرعة بالفعل، وهي ستة ﻥ تربيع ناقص ثمانية ﻥ. وباستخدام القواعد القياسية للتكامل، نزيد كل أس لـ ﻥ بمقدار واحد ثم نقسم على الأس الجديد. يمكننا تبسيط هذه المقادير. ستة على ثلاثة يساوي اثنين. وثمانية على اثنين يساوي أربعة. نستخدم حدود التكامل المحدد لدينا. وبالتعويض بهذه الحدود، يتبقى لنا التالي.
وبعد خطوات قليلة من الحل، تظهر الإجابة لدينا، وهي ١٥٢ مترًا. وأخيرًا، نتذكر أن التكامل الذي أوجدنا قيمته يساوي إزاحة الجسيم بالمتر بين ﻥ يساوي واحدًا وﻥ يساوي خمسة. وهذا معناه أننا أجبنا عن السؤال. الإزاحة التي نريد إيجادها تساوي ١٥٢ مترًا.
من الاستخدامات الأخرى المفيدة لنظرية التغير الكلي إيجاد قيمة دالة عند نقطة معطاة مع توفر معلومات محددة. يمكننا إجراء ذلك عمليًا بإعادة صياغة نظرية التغير الكلي. بإضافة ﺩﺃ إلى طرفي المعادلة، يصبح لدينا ﺩﺃ زائد هذا التكامل يساوي ﺩﺏ. يمكن استخدام هذه الصيغة لنظرية التغير الكلي إذا كان لدينا قيمة الدالة ﺩ عند ﺱ يساوي ﺃ وكان لدينا أيضًا الدالة ﺩ شرطة ﺱ، أي معدل تغير الدالة ﺩ. يمكننا استخدام هذه المعطيات لإيجاد قيمة الدالة ﺩ عند ﺱ يساوي ﺏ. ونلاحظ هنا أنه يمكننا اختيار أي قيمة نريدها لـ ﺏ.
إحدى طرق التفكير في هذا هي البدء بقيمة الدالة ﺩ عند ﺃ، ثم نضيف التغير الكلي للدالة ﺩ بين ﺃ وﺏ، فينتج لنا ﺩﺏ. وستظهر لنا صورة مماثلة من الصيغة المعاد ترتيبها. ﺩﺏ ناقص هذا التكامل يساوي ﺩﺃ. وهذا منطقي بالتأكيد. ﺩﺏ ناقص التغير الكلي في الدالة ﺩ بين ﺃ وﺏ يساوي ﺩﺃ. وكما ذكرنا، هاتان الصيغتان متماثلتان ويمكن استخدام أي منهما لحل هذه النوعية من المسائل.
ولكننا تعاملنا هنا دائمًا مع ﺩﺃ باعتبارها القيمة الابتدائية لـ ﺩ، وﺩﺏ باعتبارها القيمة النهائية للدالة ﺩ. يجب الانتباه لهذا، لأنه سيحدد الطريقة التي ستستخدم للتعويض بحدي التكامل. لنأخذ مثالًا أخيرًا يستخدم هذه الصيغة المعاد ترتيبها.
يمتلئ برميل بالماء بمعدل ﺏﻥ يساوي ثلاثة ﻥ تربيع على أربعة زائد نصف لتر يوميًا، حيث ﻥ هو عدد الأيام. فإذا كان البرميل يحتوي على ١٠ لترات من الماء عند ﻥ يساوي اثنين، فأوجد حجم الماء في البرميل عند ﻥ يساوي ستة.
في هذا السؤال، نعلم أن البرميل يمتلئ بالماء بمعدل محدد، تمثله الدالة ﺏﻥ. وهذا يعني أن ﺏﻥ هو معدل تغير حجم الماء في البرميل. لنبدأ الحل، علينا أولًا تحديد حجم الماء في البرميل بالتسمية ﺃﻥ. لاحظ أن ﺃﻥ هي المشتقة العكسية لمعدل التغير ﺏﻥ. وبالإضافة إلى معدل تغير حجم الماء في البرميل، قد ذكر لنا السؤال حجم الماء نفسه عند زمن معلوم، وهو في هذه الحالة ﻥ يساوي اثنين. والمطلوب هو إيجاد حجم الماء عند زمن آخر عند ﻥ يساوي ستة.
باستخدام المعلومات التي لدينا، يمكننا إعادة صياغة نظرية التغير الكلي. هيا نعبر عن المعلومات المعطاة في السؤال بهذه الصيغة. تنص نظرية التغير الكلي على أن التكامل بين اثنين وستة لمعدل تغير حجم الماء في البرميل بالنسبة إلى الزمن يساوي حجم الماء في البرميل عند ﻥ يساوي ستة ناقص حجم الماء في البرميل عند ﻥ يساوي اثنين.
وبمعرفة العلاقة بين ﺏﻥ وﺃﻥ، يمكننا التعبير عن ﺏﻥ بالطريقة الآتية. هذه الدالة هي اشتقاق ﺃﻥ. وعند الاستعاضة عنها في المعادلة، سنرى أن لدينا معلومتين معروفتين ومعلومة ثالثة مجهولة. هيا نعد ترتيب المعادلة لعزل المجهول الذي نحاول إيجاد قيمته، نضع ﺏ لستة في طرف.
بجمع ﺏ لاثنين على الطرفين، يصبح لدينا ما يلي. نعرف قيمة ﺏ لاثنين. كمية الماء في البرميل عند ﻥ يساوي اثنين هي ١٠ لترات. لدينا أيضًا الدالة ﺏﻥ. إذن هيا نعوض في المعادلة. لنتوقف برهة ونفهم هذه المعادلة. إذا جمعنا كمية الماء في البرميل عند ﻥ يساوي اثنين على كمية الماء التي تصل إلى البرميل بين ﻥ يساوي اثنين وﻥ يساوي ستة، فسيصبح لدينا كمية الماء الموجودة في البرميل عند ﻥ يساوي ستة. وهذا منطقي جدًا بالنسبة إلينا. إذن لنستمر في خطوات الحل.
باستخدام القواعد القياسية للتكامل، نزيد الأس لـ ﻥ بمقدار واحد ونقسم على الأس الجديد. بعد ذلك نعوض بحدود التكامل ونستمر في التبسيط. بعد إجراء بعض خطوات التبسيط، نصل إلى الإجابة، وهي أن قيمة ﺏ لستة تساوي ٦٤ لترًا. وﺏ لستة هو حجم الماء في البرميل عند ﻥ يساوي ستة. بالوصول إلى هذا السطر، نكون قد أجبنا عن السؤال. توصلنا إلى هذه الإجابة بصيغة معاد ترتيبها لنظرية التغير الكلي والتعويض بمعدل التغير والقيمة المعلومة المعطاة في السؤال.
بعد الانتهاء من المثال الأخير، نلخص بعض النقاط الأساسية. حساب التكامل المحدد لمعدل التغير يعطينا التغير الكلي. ونعبر عن ذلك رياضيًا بنظرية التغير الكلي الموضحة هنا. تعطينا النظرية صيغة لحساب التغير الذي يحدث بين قيمة يمكننا تسميتها القيمة الابتدائية للدالة ﺩ، أي ﺩﺃ، وقيمة يمكننا تسميتها القيمة النهائية للدالة ﺩ، أي ﺩﺏ. ونستخدم بعد ذلك معدل تغير الدالة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ، أي ﺩ شرطة ﺱ.
تعد نظرية التغير الكلي أداة مفيدة لتقييم العديد من الأنظمة الفيزيائية، مثل تلك التي تتضمن الموضع والسرعة والعجلة، وحجم السوائل ومعدل تدفقها، وربما أيضًا عدد السكان ومعدل نمو السكان. وأخيرًا، يمكن استخدام نظرية التغير الكلي لإيجاد قيمة مجهولة للدالة ﺩ. يمكن فعل ذلك بمعلومية القيمة الابتدائية أو القيمة النهائية للدالة ﺩ ودالة معدل تغير الدالة ﺩ بالنسبة إلى ﺱ.
