فيديو الدرس: مقدمة في نظام المعادلات الخطية الرياضيات

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نعبر عن نظام المعادلات الخطية على صورة معادلة مصفوفية. سوف نذكر أنفسنا أولًا ببعض المصطلحات التي سنحتاجها، على سبيل المثال، المقصود بالمعادلة الخطية أو نظام المعادلات الخطية. وسوف نرى بعد ذلك كيف يمكننا التعبير عن هذا النظام على صورة معادلة مصفوفية بالاطلاع على بعض الأمثلة.

ما المقصود بالمعادلة الخطية؟ المعادلة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ هي معادلة خطية وتصف خطًّا مستقيمًا. ميل المستقيم هو الثابت ﻡ، وهو الانحدار، والجزء المقطوع من المحور ﺹ هو الثابت ﺏ. وهو الموضع الذي يقطع فيه المستقيم المحور ﺹ. وبناء عليه، فإن المعادلة ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺏ تصف خطًّا مستقيمًا.

لكن ما الذي يجعل المعادلة نفسها خطية؟ حسنًا، يرجع ذلك إلى رتبة المعادلة، أي إن أكبر أس للمتغير ﺱ يساوي واحدًا. فلا يوجد ﺱ تربيع أو ﺱ تكعيب أو أسس أكبر لـ ﺱ. ومن ثم، فالمعادلة الخطية هي معادلة يكون فيها أكبر أس للمتغير أو للمتغيرات يساوي واحدًا. وفي المستوى الثنائي الأبعاد، تصف هذه المعادلة خطًّا مستقيمًا. وإذا طبقنا هذا المفهوم على مستويات ذات أبعاد أعلى، وليكن المستوى الثلاثي الأبعاد، فستكون لدينا معادلة على هذه الصورة: ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟﻉ يساوي ﺩ، حيث ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ ثوابت. هذه معادلة خطية تمثل مستوى في ثلاثة أبعاد.

تأكيدًا على ما سبق، ما يجعل هذه المعادلة خطية هو أن كل متغير من المتغيرات رتبته واحد. أي إن أكبر أس في المعادلة هو واحد. كما لا توجد أي حدود تكون فيها المتغيرات مضروبة في بعضها، أي لا توجد حدود تتضمن ﺱ في ﺹ أو ﻉ في ﺱ أو ﺹ في ﻉ. إذن، نستنتج من ذلك أن المعادلة الخطية تصف مستقيمًا أو سطحًا مستويًا. ونظام المعادلات الخطية هو مجموعة من المعادلات عددها ﻡ في المتغيرات ﻥ، والمعاملات الثابتة ﺃﺹﻉ؛ حيث يأخذ ﺹ القيم الصحيحة من واحد إلى ﻡ، ويأخذ ﻉ القيم الصحيحة من واحد إلى ﻥ؛ ومجموعة من الثوابت ﺏﺹ. وهدفنا هنا هو كتابة نظام المعادلات هذا بدلالة المصفوفات.

قد يكون لنظام المعادلات الخطية حل واحد أو أكثر، وقد لا يكون له حل. على سبيل المثال، إذا كانت المتغيرات هي ﺱ وﺹ وﻉ، ولدينا نظام يتألف من ثلاث معادلات في هذه المتغيرات الثلاثة، فإن حل هذه المعادلات الثلاث هو ﺱ يساوي واحدًا وﺹ يساوي سالب واحد وﻉ يساوي واحدًا. ومعنى ذلك أن هذه القيم الثلاث تحقق المعادلات الثلاث. ومن ثم، إذا عوضنا في كل معادلة من هذه المعادلات بـ ﺱ يساوي واحدًا، وﺹ يساوي سالب واحد، وﻉ يساوي واحدًا، فإن المعادلة رقم واحد ستساوي سالب واحد، والمعادلة رقم اثنين ستساوي خمسة، والمعادلة رقم ثلاثة ستساوي ستة. وهذا يعني أن المستويات الثلاثة الممثلة في المعادلات رقم واحد واثنين وثلاثة ستتقاطع عند هذه النقطة: واحد، سالب واحد، واحد.

إذا كان لدينا نظام معادلات خطية، فإننا نريد في الأساس معرفة ما إذا كان هناك أي حلول، وعدد هذه الحلول — إن وجدت — وكيف يمكن إيجادها. وبما أنه يمكننا استخدام المصفوفات للإجابة عن هذه الأسئلة، فمن الأدوات المفيدة لدينا إمكانية التعبير عن أنظمة المعادلات الخطية على صورة معادلات مصفوفية، والعكس صحيح. في الأمثلة التالية، سنتعرف على هذه الخطوات. هيا نلق نظرة أولًا على مثال لمجموعة من معادلتين آنيتين في متغيرين.

عبر عن المعادلتين الآنيتين: ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي ١٢، وثلاثة ﺱ زائد ﺹ يساوي سبعة في صورة معادلة مصفوفية.

لدينا مجموعة من معادلتين آنيتين في متغيرين، ومطلوب منا التعبير عن هاتين المعادلتين على صورة مصفوفة. وهذا يتطلب منا فصل معاملات المتغيرات في مصفوفة واحدة والمتغيرات نفسها في مصفوفة أخرى، والثوابت في الطرف الأيسر في مصفوفة ثالثة. ولأن لدينا معادلتين في متغيرين ﺱ وﺹ، فإن مصفوفة المعاملات ستكون مصفوفة اثنين في اثنين، أي بها صفان وعمودان. ومصفوفة المتغيرات ستكون مصفوفة عمود اثنين في واحد، وستكون مصفوفة الثوابت أيضًا مصفوفة عمود اثنين في واحد.

من المهم ملاحظة أننا لا بد أن نكون قادرين على استعادة المعادلتين الأصليتين من خلال ضرب هاتين المصفوفتين في الطرف الأيمن. وتذكر أن ضرب مصفوفة تحتوي على ﻡ من الصفوف وﻥ من الأعمدة في مصفوفة تحتوي على ﻥ من الصفوف وﻝ من الأعمدة، سينتج عنه مصفوفة بها ﻡ من الصفوف وﻝ من الأعمدة. ولكي تنجح عملية ضرب المصفوفات، يجب أن يكون عدد الأعمدة ﻥ في المصفوفة الأولى هو نفسه عدد الصفوف في المصفوفة الثانية.

والآن، علينا إيجاد المعادلة المصفوفية بهذه الصورة التي إذا ضربناها نحصل على نظام المعادلتين الأصلي. هيا إذن ندقق النظر في المعادلتين لدينا. من المهم أن نتأكد قبل البدء في إدخال العناصر في المصفوفة من أن المتغيرات في موضعها الصحيح في نظام المعادلات بحيث تكون معاملات ﺱ فوق بعضها وكذلك معاملات ﺹ. يرجع السبب في ذلك إلى أنه عند كتابة عناصر المصفوفة، سنستخرج معاملات ﺱ ومعاملات ﺹ.

معاملات المعادلة الأولى، أي المعادلة رقم واحد، هي ثلاثة واثنان والثابت ١٢ في الطرف الأيسر، سنضع ثلاثة واثنين بالصف الأول من مصفوفة المعاملات، ونضع ١٢ كأول عنصر في المصفوفة بالطرف الأيسر. وبالمثل، العنصران في الصف الثاني من مصفوفة المعاملات هما المعاملان في المعادلة الثانية، أي المعادلة رقم اثنان، وهما ثلاثة وواحد. والعنصر الثاني في مصفوفة الثوابت بالطرف الأيسر هو سبعة. وهذه المعادلة المصفوفية هي تمثيل كامل بالمصفوفات للمعادلتين الآنيتين: ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي ١٢، وثلاثة ﺱ زائد ﺹ يساوي سبعة.

إذا أردنا تطبيق عملية ضرب المصفوفات على الطرف الأيمن من المعادلة المصفوفية، فسيكون لدينا ثلاثة ﺱ زائد اثنين ﺹ يساوي ١٢، وهي المعادلة الأولى رقم واحد، وثلاثة ﺱ زائد ﺹ يساوي سبعة، وهي المعادلة الثانية. وبهذا نستعيد المجموعة الأصلية المؤلفة من معادلتين خطيتين آنيتين.

والآن لنلق نظرة على مثال أصعب قليلًا.

عبر عن المعادلتين الآنيتين: ثلاثة ﺱ ناقص ٢٤ يساوي سالب ثمانية ﺹ، وﺱ يساوي ثلاثة ناقص ﺹ في صورة معادلة مصفوفية.

لدينا مجموعة من معادلتين خطيتين آنيتين، ثلاثة ﺱ ناقص ٢٤ يساوي سالب ثمانية ﺹ، وﺱ يساوي ثلاثة ناقص ﺹ، ومطلوب منا التعبير عنهما في صورة معادلة مصفوفية. بما أن لدينا معادلتين في متغيرين ﺱ وﺹ، فإن هذا يعني أن الناتج يجب أن يكون معادلة مصفوفية بالصورة الموضحة، أي مصفوفة معاملات اثنين في اثنين، ومصفوفة متغيرات اثنين في واحد، ومصفوفة ثوابت اثنين في واحد، مع تذكر أن المصفوفة ﻡ في ﻥ تحتوي على ﻡ من الصفوف وﻥ من الأعمدة. إذن، في المسألة التي نتناولها، يجب أن يكون لدينا مصفوفة اثنين في اثنين مضروبة في مصفوفة اثنين في واحد يساوي مصفوفة اثنين في واحد.

تذكر أنه لكي تنجح عملية ضرب المصفوفات، نحتاج إلى مصفوفة ﻡ في ﻥ مضروبة في مصفوفة ﻥ في ﻝ لتعطينا مصفوفة ﻡ في ﻝ. ويجب أن يتساوى عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مع عدد الصفوف في المصفوفة الثانية. وستحتوي المصفوفة الناتجة على عدد صفوف المصفوفة الأولى وعدد أعمدة المصفوفة الثانية. وهذا ينطبق على المثال لدينا، حيث إن ﻥ يساوي اثنين، وﻡ يساوي اثنين، وﻝ يساوي واحدًا. وبذلك، ستنتج لدينا مصفوفة عمود اثنين في واحد.

لكن قبل أن نتمكن من كتابة عناصر المصفوفات، علينا التأكد من أن المعادلتين الآنيتين مكتوبتان بصورة يمكننا من خلالها معرفة المعاملات بسهولة. وهذا يعني أننا نريد تنظيم معاملات ﺱ بحيث تكون بعضها فوق بعض، وكذلك معاملات ﺹ، والثوابت في الطرف الأيسر. كما نرى في المعادلتين، لدينا في المعادلة رقم واحد، على سبيل المثال، ثلاثة ﺱ ناقص ٢٤ يساوي سالب ثمانية ﺹ. علينا إذن نقل الحد ﺹ إلى الطرف الأيمن وحد الثابت إلى الطرف الأيسر من المعادلة. وإذا أضفنا ثمانية ﺹ زائد ٢٤ إلى كلا الطرفين، فستصبح المعادلة رقم واحد، ثلاثة ﺱ زائد ثمانية ﺹ يساوي ٢٤.

وبالمثل، بالنسبة إلى المعادلة الثانية، رقم اثنين، علينا نقل الحد ﺹ إلى الطرف الأيمن. وبإضافة ﺹ إلى الطرفين، سنحصل على ﺱ زائد ﺹ يساوي ثلاثة. إذن، كما نرى، أصبح كل من حدي ﺱ وحدي ﺹ في الطرف الأيمن، والثابتين في الطرف الأيسر، بعضها فوق بعض. سنفرغ الآن بعض المساحة حتى نبدأ في كتابة عناصر المعادلة المصفوفية.

معاملا ﺱ وﺹ، أي ثلاثة وثمانية، يمثلان الصف الأول في مصفوفة المعاملات اثنين في اثنين. والثابت ٢٤ في الطرف الأيسر هو العنصر الأول في مصفوفة العمود في الطرف الأيسر. معاملا ﺱ وﺹ في المعادلة الثانية، وكلاهما يساوي واحدًا، يمثلان الصف الثاني من مصفوفة المعاملات. والثابت ثلاثة في الطرف الأيسر من المعادلة رقم اثنين هو العنصر الثاني في مصفوفة العمود في الطرف الأيسر. ومن ثم، نلاحظ أنه عن طريق تنظيم المتغيرين ﺱ وﺹ بحيث يكون بعضهما فوق بعض، يمكننا معرفة المعاملات ببساطة وكتابة عناصر المصفوفة.

وهذه المعادلة المصفوفية هي تمثيل كامل بالمصفوفات لمجموعة المعادلتين الآنيتين: ثلاثة ﺱ زائد ثمانية ﺹ يساوي ٢٤، وﺱ زائد ﺹ يساوي ثلاثة، أو ما يكافئهما،ثلاثة ﺱ ناقص ٢٤ يساوي سالب ثمانية ﺹ، وﺱ يساوي ثلاثة ناقص ﺹ. إذا أردنا تطبيق عملية ضرب المصفوفات على الطرف الأيمن من المعادلة المصفوفية، فسيكون لدينا ثلاثة ﺱ زائد ثمانية ﺹ يساوي ٢٤، وبهذا نكون قد استرجعنا المعادلة الأولى، وﺱ زائد ﺹ يساوي ثلاثة، وهذه هي المعادلة الثانية.

يمكننا تعميم ما فعلناه في الأمثلة التي تتضمن معادلتين في متغيرين في نص النظرية التالية. إن النظام الذي يحتوي على المعادلات الخطية التي عددها ﻡ في المتغيرات من ﺱ واحد إلى ﺱﻥ، والمعاملات ﺃﺹﻉ، والثوابت ﺏﺹ، حيث يأخذ ﺹ القيم الصحيحة من واحد إلى ﻡ، ويأخذ ﻉ القيم الصحيحة من واحد إلى ﻥ، يمكن كتابته بما يكافئه على صورة معادلة مصفوفية، حيث تكون رتبة مصفوفة المعاملات هي ﻡ في ﻥ، ورتبة مصفوفة المتغيرات ﻥ في واحد، ورتبة مصفوفة الثوابت في الطرف الأيسر ﻡ في واحد. من المهم عند تحويل نظام من المعادلات عددها ﻡ في متغيرات عددها ﻥ أن تتبع رتب المعادلة المصفوفية هذا النمط. لنر الآن كيف ينطبق ذلك على مجموعة من ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل. ثم نجرب بعدها إجراء العملية بطريقة عكسية.

عبر عن المعادلات الآنية الآتية في صورة معادلة مصفوفية. سبعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ زائد ستة ﻉ يساوي خمسة. خمسة ﺱ ناقص اثنين ﺹ زائد اثنين ﻉ يساوي ١١. اثنان ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ زائد ثمانية ﻉ يساوي ١٠.

بما أن لدينا مجموعة من ثلاث معادلات تحتوي على ثلاثة متغيرات ﺱ وﺹ وﻉ، لكي نعبر عنها في صورة مصفوفة سيكون لدينا مصفوفة معاملات ثلاثة في ثلاثة. ستكون المعادلة المصفوفية بالصورة الموضحة، حيث تكون المصفوفة في الطرف الأيمن هي مصفوفة المعاملات. وستكون مضروبة في مصفوفة عمود المتغيرات. وفي الطرف الأيسر، لدينا مصفوفة عمود الثوابت. وإذا استخدمنا عملية ضرب المصفوفات في الطرف الأيمن، فسنحصل مجددًا على مجموعة المعادلات الأصلية.

أول ما يمكننا فعله هو التأكد من تنظيم المتغيرات في نظام المعادلات بشكل رأسي. وهذا سيمكننا من معرفة المعاملات بسهولة. في هذه الحالة، المتغيرات ﺱ وﺹ وﻉ منظمة بشكل رأسي في المعادلات الثلاث، وكذلك الثوابت في الطرف الأيسر. فلنبدأ إذن.

في المعادلة الأولى، المعادلة رقم واحد، معاملات ﺱ وﺹ وﻉ — وهي سبعة، وسالب ثلاثة، وستة – تمثل الصف الأول من مصفوفة المعاملات. والعدد خمسة المقابل لها في الطرف الأيسر هو العنصر الأول في عمود الثوابت. وبالمثل، معاملات ﺱ وﺹ وﻉ في المعادلة الثانية؛ المعادلة رقم اثنين، وهي خمسة، وسالب اثنين، واثنين، تمثل الصف الثاني من مصفوفة المعاملات. والثابت في الطرف الأيسر ١١ يمثل العنصر الثاني في مصفوفة العمود في الطرف الأيسر. وأخيرًا، معاملات ﺱ وﺹ وﻉ في المعادلة الثالثة؛ المعادلة رقم ثلاثة، وهي اثنان وسالب ثلاثة وثمانية، تمثل الصف الثالث في مصفوفة المعاملات. والثابت الأخير في الطرف الأيسر ١٠ هو العنصر الثالث في مصفوفة العمود في الطرف الأيسر.

هذا تمثيل كامل بالمصفوفات لنظام المعادلات الخطية: سبعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ زائد ستة ﻉ يساوي خمسة، وخمسة ﺱ ناقص اثنين ﺹ زائد اثنين ﻉ يساوي 11، واثنان ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ زائد ثمانية ﻉ يساوي ١٠. لاحظ رتب المصفوفات؛ حيث لدينا مصفوفة ثلاثة في ثلاثة مضروبة في مصفوفة ثلاثة في واحد تساوي مصفوفة ثلاثة في واحد. من المهم أن تكون الرتب صحيحة؛ لأنه — كما ذكرنا — يمكننا إجراء عملية ضرب المصفوفات إذا كان لدينا مصفوفة ﻡ في ﻥ مضروبة في مصفوفة ﻥ في ﻝ تساوي مصفوفة ﻡ في ﻝ. ويجب أن يكون عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية. ورتبة المصفوفة الناتجة هو عدد صفوف المصفوفة الأولى مضروبًا في عدد أعمدة المصفوفة الثانية.

في الحالة لدينا، ﻡ يساوي ثلاثة، وﻥ يساوي ثلاثة، وﻝ يساوي واحدًا. وإذا أجرينا عملية ضرب المصفوفات في الطرف الأيمن، فسنحصل على مجموعة المعادلات الأصلية.

رأينا، حتى الآن، كيفية التعبير عن مجموعات من المعادلات الخطية على صورة معادلة مصفوفية. المصفوفة التي تهمنا أكثر هي مصفوفة المعاملات، فبناء عليها، يمكننا تحديد ما إذا كانت هناك حلول للنظام أم لا، وعدد تلك الحلول إن وجدت، وغير ذلك من أمور أخرى. في المثال التالي، سنسير بطريقة عكسية، سنبدأ بمعادلة مصفوفية ونحولها إلى نظام معادلات خطية.

اكتب مجموعة المعادلات الآنية التي يمكن حلها باستخدام المعادلة المصفوفية المعطاة: مصفوفة ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها هي واحد، سالب اثنين، سالب أربعة، وواحد، صفر، واحد، وثلاثة، أربعة، سالب ثمانية، مضروبة في مصفوفة العمود ﺱ، ﺹ، ﻉ تساوي مصفوفة العمود، ١١، ستة، ١٠.

لدينا معادلة مصفوفية تحتوي على مصفوفة معاملات ثلاثة في ثلاثة، ومصفوفة عمود للمتغيرات ثلاثة في واحد في الطرف الأيمن، ومصفوفة عمود للثوابت ثلاثة في واحد في الطرف الأيسر. حقيقة أن مصفوفة المعاملات تحتوي على ثلاثة صفوف تعني أن لدينا ثلاث معادلات في نظام المعادلات. وبما أن مصفوفة المعاملات تحتوي أيضًا على ثلاثة أعمدة، فإن هذا يؤكد أن النظام يحتوي على ثلاثة متغيرات، وهو ما يمكننا رؤيته في مصفوفة عمود المتغيرات التي تتضمن المتغيرات ﺱ وﺹ وﻉ.

في الواقع، العناصر الموجودة في كل صف من مصفوفة المعاملات هي المعاملات الخاصة بالمتغيرات ﺱ وﺹ وﻉ في إحدى المعادلات لدينا. وكل ما علينا فعله لتكوين المعادلة الأولى هو إجراء عملية ضرب المصفوفات بضرب الصف الأول في العمود، أي واحد في ﺱ زائد سالب ﺹ في اثنين زائد سالب أربعة في ﻉ. وهذا يساوي الثابت ١١ في الصف الأول من المصفوفة بالطرف الأيسر. إذن، المعادلة الأولى هي ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص أربعة ﻉ يساوي ١١.

في المعادلة الثانية، دعونا نفعل الشيء نفسه في الصف الثاني من مصفوفة المعاملات. في هذه الحالة، لدينا واحد في ﺱ زائد صفر في ﺹ زائد واحد في ﻉ يساوي ستة. وهو ما يعني أن ﺱ زائد ﻉ يساوي ستة. وأخيرًا، في الصف الثالث من مصفوفة المعاملات، لدينا ثلاثة في ﺱ زائد أربعة في ﺹ زائد سالب ثمانية في ﻉ يساوي ١٠ في الطرف الأيسر. وهو ما يعني أن ثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ ناقص ثمانية ﻉ يساوي ١٠.

وباستخدام هذه المعادلات الثلاث، يمكننا كتابة مجموعة المعادلات الآنية التي يمكن حلها باستخدام المصفوفة المعطاة. وهي ﺱ ناقص اثنين ﺹ ناقص أربعة ﻉ يساوي ١١، وﺱ زائد ﻉ يساوي ستة، وثلاثة ﺱ زائد أربعة ﺹ ناقص ثمانية ﻉ يساوي ١٠. يمكننا التحقق من صحة نظام المعادلات الذي حصلنا عليه من خلال مقارنة معاملات المتغيرات في كل معادلة بالصف ذي الصلة في المصفوفة الأصلية. على سبيل المثال، في المعادلة الأولى، معاملات ﺱ وﺹ وﻉ هي واحد وسالب اثنين وسالب أربعة على الترتيب، وهي تناظر العناصر الموجودة في الصف الأول من مصفوفة المعاملات وأيضًا الثابت ١١ في الطرف الأيسر. ويمكننا فعل الأمر نفسه مع المعادلتين الأخريين.

سنختتم الآن فيديو أنظمة المعادلات الخطية بالتأكيد على بعض النقاط الرئيسية. عند التعامل مع نظام معادلات خطية، يجب أن نكتب المعادلات مع الحرص على تنظيم المتغيرات في أعمدة. وتكون معاملات ﺃﺹﻉ للمتغيرات في كل معادلة صفًّا من مصفوفة المعاملات. وبهذا، تكون المعادلة المصفوفية بالصورة الموضحة، حيث تكون المعاملات مصفوفة ﻡ في ﻥ مضروبة في مصفوفة ﻥ في واحد للمتغيرات، وتساوي مصفوفة ﻡ في واحد للثوابت.

يمكن معرفة معلومات مثل عدد حلول النظام من مصفوفة المعاملات وحدها. وإذا أجرينا عملية ضرب المصفوفات في الطرف الأيمن من المعادلة المصفوفية، فإننا نسترجع نظام المعادلات الخطية الأصلي.