فيديو السؤال: استخدام العزوم لإيجاد بعد نقطة عن مركز ثقل قضيب منتظم ذي كتل نقطية مضافة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

‏ﺃﺏ قضيب منتظم طوله ٢٧ سنتيمترًا وكتلته كيلوجرامان. ‏ﺟ وﺩ نقطتان عليه تقسمانه إلى ثلاثة أجزاء متساوية؛ حيث النقطة ﺟ أقرب للطرف ﺃ، والنقطة ﺩ أقرب للطرف ﺏ. إذا وضعت كتل مقاديرها ثمانية وأربعة وثلاثة وسبعة كيلوجرامات عند ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ على الترتيب، فأوجد المسافة من مركز ثقل النظام إلى النقطة ﺃ.

حسنًا، دعونا نبدأ برسم شكل يوضح هذه الحالة. لدينا قضيب منتظم ﺃﺏ طوله ٢٧ سنتيمترًا وكتلته كيلوجرامان. هذا القضيب تقسمه النقطتان ﺟ وﺩ إلى ثلاثة أجزاء. إذن المسافة بين ﺃ وﺟ تساوي ثلث ٢٧ سنتيمترًا؛ أي تسعة سنتيمترات. والمسافة بين ﺃ وﺩ تساوي ثلثي ٢٧ سنتيمترًا؛ أي ١٨ سنتيمترًا. وأخيرًا: لدينا كتل نقطية مقاديرها ثمانية وأربعة وثلاثة وسبعة كيلوجرامات موضوعة عند ﺃ وﺏ وﺟ وﺩ على الترتيب. تذكر أنه إذا كان لدينا نظام من الجسيمات، فإن المسافة بين مركز الثقل ومحور معين، وليكن المحور ﺱ، تساوي مجموع حواصل ضرب كل كتلة؛ ﻙﻥ، في المسافة بينها وبين المحور؛ ﺱﻥ، الكل مقسومًا على الكتلة الكلية.

في هذا السيناريو، لدينا أربعة جسيمات في النظام، لكن لدينا أيضًا قضيب منتظم. ولحسن الحظ، يمكننا أن نتعامل مع القضيب المنتظم على أنه جسيم عن طريق إيجاد مركز ثقله أولًا. تذكر أن مركز ثقل القضيب المنتظم يقع عند مركزه تمامًا. إذن إذا كان طول القضيب ﻝ، فإن مركز ثقله يقع على بعد ﻝ على اثنين من كلا طرفيه. ولإيجاد مركز ثقل النظام كله، يمكننا أن نتعامل مع القضيب المنتظم على أنه جسيم له كتلة نقطية تساوي كيلوجرامين عند مركزه تمامًا. وبما أن طول القضيب يساوي ٢٧ سنتيمترًا، فإن المسافة بين هذه النقطة والنقطة ﺃ تساوي ٢٧ على اثنين أو ١٣٫٥ سنتيمترًا.

حسنًا، لدينا الآن كل ما نحتاجه لاستخدام الصيغة لدينا لإيجاد مركز ثقل النظام. وعلينا أن نتعامل مع كل كتلة نقطية على حدة، ونضرب كل كتلة في المسافة بينها وبين النقطة ﺃ، ثم نجمعها كلها معًا، ونقسم الناتج على الكتلة الكلية. بدءًا من الكتلة التي تقع عند النقطة ﺃ، لدينا كتلة مقدارها ثمانية كيلوجرامات تبعد مسافة مقدارها صفر عن ﺃ. وعند النقطة ﺏ، لدينا كتلة مقدارها أربعة كيلوجرامات تبعد ٢٧ سنتيمترًا عن ﺃ. وعند ﺟ، لدينا كتلة مقدارها ثلاثة كيلوجرامات تبعد تسعة سنتيمترات عن ﺃ. وعند ﺩ، لدينا كتلة مقدارها سبعة كيلوجرامات تبعد ١٨ سنتيمترًا عن ﺃ. وأخيرًا: لدينا القضيب المنتظم الذي كتلته كيلوجرامان، ومركز ثقله يبعد ١٣٫٥ سنتيمترًا عن ﺃ.

علينا الآن القسمة على الكتلة الكلية، وتساوي ثمانية زائد أربعة زائد ثلاثة زائد سبعة زائد اثنين كيلوجرام. بجمع حدود البسط، نحصل على ٢٨٨. وبجمع حدود المقام، نحصل على ٢٤. وبتبسيط ذلك، نحصل على الإجابة النهائية: يبعد مركز الثقل مسافة مقدارها ١٢ سنتيمترًا عن النقطة ﺃ.