فيديو الدرس: الزوايا المماسية

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خصائص المماسات لإيجاد قياس الزاوية المماسية أو الزاوية المحيطية المشتركة معها في نفس القوس. في الهندسة، تكون العناصر مماسية عندما تتقابل عند نقطة واحدة فقط. ونسمي هذه النقطة نقطة التماس. عندما ننظر إلى الصورة الثانية، نلاحظ أن الخطوط المستقيمة يمكن أن تكون مماسة لأكثر من دائرة. أما الصورة الأولى، فتوضح أن الدائرة يمكن أن تكون مماسة لدائرة أخرى.

ثمة أمر آخر علينا أن نتذكره قبل أن نبدأ في التعامل مع المماسات والدوائر، وهو أقصر مسافة من نقطة إلى خط مستقيم. إذا كان لدينا الخط ﻝ والنقطة ﺃ، فإن أقصر مسافة بين النقطة ﺃ والخط ﻝ هي الخط الذي يكون زاوية قائمة أو زاوية عمودية بين النقطة والخط. إذا نظرنا إلى هذه المسافة من النقطة ﺃ إلى الخط ﻝ، فسنلاحظ أنها لا تكون زاوية قائمة، كما يتضح أنها أطول من المسافة ﻑ التي حددناها بالفعل. وإذا أضفنا دائرة لهذا الشكل، فسيمكننا توضيح نقطة مهمة. وهي أن خط المماس للدائرة يكون زاوية قائمة بين نصف القطر وخط المماس. هذه هي إحدى الخصائص الأولى للمماسات التي يتعين علينا معرفتها لإيجاد قياس الزوايا المجهولة في الدوائر.

والآن، سنتناول ثلاث خصائص رئيسية أخرى للمماسات. لننظر أولًا إلى مماسين ونقطة خارجية. إذا رسمنا مماسين من نفس النقطة الخارجية، فإن هذين المماسين سيكونان متساويين في الطول. لنقل إن هذه هي النقطة الخارجية ﻉ. وهاتان القطعتان المستقيمتان مماستان، وهو ما يعني أنهما تكونان زاويتين قائمتين مع نصفي القطرين اللذين تتقاطعان معهما. وبناء على هذه الخاصية، يمكننا القول إن هاتين القطعتين المماستين متساويتان في الطول. يمكننا أيضًا القول إن المستقيم المرسوم من مركز الدائرة إلى نقطة خارجية، أي نقطة تقاطع القطعتين، ينصف الزاوية التي تقع بين المماسين. في هذا الشكل، سيعني هذا أن قياس هذه الزاوية يساوي قياس هذه الزاوية.

الخاصية الأخيرة التي سنتناولها تسمى نظرية القطاع المتبادل. وتنص على أن قياس الزاوية المحصورة بين المماس والوتر يساوي قياس الزاوية في القطاع المتبادل. في هذا المثال، هذه هي الزاوية المحصورة بين المماس والوتر. وسيكون قياسها مساويًا لزاوية القطاع المتبادل هذه. وينطبق الأمر نفسه على الزاوية الزرقاء. فهي زاوية محصورة بين مماس ووتر. وقياسها يساوي قياس زاوية القطاع المتبادل. ومن ثم، فنحن مستعدون تقريبًا الآن لتناول بعض الأمثلة.

عند تناول مماسات الدوائر، فإننا غالبًا سنتعامل مع مثلثات. ولذا، علينا أن نتذكر أنه في المثلث المتساوي الساقين، تكون الزاويتان المقابلتان للضلعين المتساويين في الطول متساويتين في القياس. وفي المثلث المتساوي الأضلاع، تكون قياسات الزوايا الثلاثة متساوية. وكل منها سيساوي ٦٠ درجة. لنتناول مثالًا إذن.

أوجد قياس الزاوية ﺏﺃﺟ.

عندما ننظر إلى هذا الشكل، نلاحظ أن الزاوية ﺏﺃﺟ تقع هنا. وأول ما يمكننا فعله هو كتابة المعطيات بناء على ما يوضحه الشكل. إذا كانت النقطة ﻡ هي مركز الدائرة، فيمكننا القول إن القطعة المستقيمة ﻡﺏ هي نصف قطر الدائرة ﻡ. كما يمكننا القول إن ﻡﺃ نصف قطر للدائرة ﻡ أيضًا. وهذا لأن النقطتين ﺃ وﺏ تقعان على المحيط الخارجي للدائرة. يمكننا أيضًا القول: إن الخط ﺃﺟ مماس للدائرة ﻡ عند النقطة ﺃ.

ما نريد فعله الآن هو تناول هذه المعطيات الثلاثة والتوصل إلى بعض الاستنتاجات. في البداية، يمكننا القول إن ﻡﺏ وﻡﺃ متساويتان في الطول لأننا نعرف ما هو نصف القطر. فبصرف النظر عن الموضع خارج الدائرة الذي نرسم منه خطًا إلى المركز، فإن هذين الطولين سيكونان متساويين. وهذا يعني أن المثلث ﺏﻡﺃ مثلث متساوي الساقين لأن المثلث المتساوي الساقين له ضلعان متساويان في الطول. ومن ثم، يمكننا القول إن قياس الزاوية ﻡﺏﺃ يساوي قياس الزاوية ﻡﺃﺏ، وهذه إحدى خصائص المثلثات المتساوية الساقين. سنفترض أن قياس الزاوية ﻡﺃﺏ يساوي ﺱ درجة.

إذن، يمكننا القول إن ٩٠ درجة زائد ﺱ درجة زائد ﺱ درجة يجب أن يساوي ١٨٠ درجة لأن هذا هو مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث. يمكننا تبسيط ذلك إلى معادلة تفيد بأن ٩٠ زائد اثنين ﺱ يساوي ١٨٠. وللحل لإيجاد قيمة ﺱ، سنطرح ٩٠ من كلا الطرفين. أي إن اثنين ﺱ يساوي ٩٠. ثم نقسم كلا طرفي المعادلة على اثنين لنحصل على ﺱ يساوي ٤٥. ويمكننا أن نضيف ذلك على الشكل.

يمكننا أيضًا القول إن قياس الزاوية ﻡﺃﺟ يساوي ٩٠ درجة، وهي إحدى خصائص الخط المماس لدائرة. تتكون الزاوية القائمة ﻡﺃﺟ من زاويتين أصغر، وهما الزاوية ﻡﺃﺏ والزاوية ﺏﺃﺟ. الزاوية الأكبر تساوي ٩٠ درجة. وقياس الزاوية ﻡﺃﺏ يساوي ٤٥ درجة. ولأننا نعلم أن ٤٥ زائد ٤٥ يساوي ٩٠، علينا القول إن قياس الزاوية ﺏﺃﺟ يساوي ٤٥ درجة.

إليك مثالًا آخر.

إذا كان قياس الزاوية ﻡﺃﺟ يساوي ٣٦ درجة، فأوجد قياس الزاوية ﺏﺃﻡ وقياس الزاوية ﺃﻡﺟ.

نريد معرفة قياس الزاوية ﺏﺃﻡ وقياس الزاوية ﺃﻡﺟ. لنبدأ بتحديد ما نعرفه من معطيات. نعلم أن قياس الزاوية ﻡﺃﺟ يساوي ٣٦ درجة، ومن ثم يمكننا إضافة ذلك على الشكل. نريد أن نكتب أيضًا المعلومات الأخرى التي يمكننا استنتاجها من الشكل. نعلم أن القطعة المستقيمة ﺃﺟ والقطعة المستقيمة ﺃﺏ مماستان للدائرة ﻡ؛ لأن كل قطعة تقطع الدائرة عند نقطة واحدة فقط. وتتقاطع كل من القطعة المستقيمة ﺃﺟ والقطعة المستقيمة ﺃﺏ عند النقطة ﺃ. ومن ثم، نقول إن القطعة المستقيمة ﻡﺟ والقطعة المستقيمة ﻡﺏ هما نصفا قطري الدائرة ﻡ. ويمكننا الاستعانة بهذه المعطيات الأربعة والتوصل إلى بعض الاستنتاجات.

يمكننا القول إن طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ؛ لأن هذه هي إحدى خصائص المماسات التي تتقاطع عند نقطة خارج الدائرة. واستنادًا إلى خصائص الدائرة، يمكننا القول أيضًا إن القطعة المستقيمة ﻡﺃ تنصف الزاوية ﺏﺃﺟ. وهذه نظرية أخرى من نظريات الدائرة. وبما أن هذا صحيح، فلا بد أن يكون قياس الزاوية ﺏﺃﻡ مساويًا لقياس الزاوية ﻡﺃﺟ. قياس الزاوية ﻡﺃﺟ يساوي ٣٦ درجة، وعليه، فإن قياس الزاوية ﺏﺃﻡ يساوي ٣٦ درجة أيضًا. هذا هو الجزء الأول من السؤال.

ننتقل الآن إلى إيجاد قياس الزاوية ﺃﻡﺟ. ندرك أن النقاط ﺃ وﺟ وﻡ تكون مثلثًا. وبما أن القطعة المستقيمة ﺃﺟ مماسة لهذه الدائرة عند النقطة ﺟ، ستوجد زاوية قائمة هنا. إذن، قياس الزاوية ﻡﺟﺃ يساوي ٩٠ درجة. وبعد أن عرفنا ذلك، يمكننا القول إن ٩٠ درجة زائد ٣٦ درجة زائد قياس الزاوية المجهولة سيساوي حتمًا ١٨٠ درجة؛ لأننا نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ١٨٠ درجة. ‏‏٩٠ زائد ٣٦ يساوي ١٢٦. وبطرح ١٢٦ درجة من كلا الطرفين، نجد أن قياس الزاوية ﺃﻡﺟ يساوي ٥٤ درجة.

إليك مثالًا آخر، لكن هذه المرة لدينا مثلث متساوي الأضلاع في المنتصف.

أوجد قياس الزاوية ﺟﺃﺏ.

أولًا، نريد أن نسرد المعطيات الموجودة لدينا في هذا الشكل. يمكننا القول إن طول القطعة المستقيمة ﺩﺟ يساوي طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ، والذي يساوي طول القطعة المستقيمة ﺩﺃ. بعد ذلك، يمكننا القول إن المستقيم ﺃﺏ مماس للدائرة عند النقطة ﺃ. وباستخدام هذه المعطيات، نريد معرفة قياس الزاوية ﺟﺃﺏ. من أول معطيين، يمكننا التوصل إلى بعض الاستنتاجات. أولًا، يمكننا القول إن المثلث ﺃﺟﺩ متساوي الأضلاع. وبمعرفة أن هذا المثلث متساوي الأضلاع، يمكننا القول إن قياس كل من زواياه الداخلية الثلاث يساوي ٦٠ درجة. ولكن لمتابعة الشرح، علينا أن نتذكر نظرية القطاع المتبادل.

تنص نظرية القطاع المتبادل على أن قياس الزاوية المحصورة بين المماس والوتر يساوي قياس زاوية القطاع المتبادل. الزاوية ﺟﺃﺏ لدينا هي الزاوية المحصورة بين مماس ووتر. وقياسها يساوي قياس زاوية القطاع المتبادل هذه. وبذلك يمكننا القول إن قياس الزاوية ﺟﺃﺏ يساوي ٦٠ درجة وفقًا لنظرية القطاع المتبادل.

للوهلة الأولى قد يبدو المثال التالي أكثر تعقيدًا، لكننا سنتبع العملية نفسها لإيجاد قياسات بعض الزوايا المجهولة.

إذا كان قياس الزاوية ﺏﻫﺟ يساوي ٣١ درجة، فأوجد قياس الزاوية ﺟ وقياس الزاوية ﺏﺩﺃ.

نحن نعلم أن قياس الزاوية ﺏﻫﺟ يساوي ٣١ درجة. وهذا هو أول معطى لدينا. هيا نكمل ونكتب المعطيات الأخرى التي نعرفها استنادًا إلى الشكل. يمكننا القول إن القطعة المستقيمة ﻥﻑ والقطعة المستقيمة ﻥﺃ والقطعة المستقيمة ﻥﻫ والقطعة المستقيمة ﻥﺏ كلها أنصاف أقطار للدائرة ﻥ. ويمكننا القول أيضًا إن الشعاع ﺟﺏ مماس لهذه الدائرة عند النقطة ﺏ. نريد معرفة قياس الزاوية ﺟ، الموجودة هنا، وقياس الزاوية ﺏﺩﺃ الموجودة هنا.

علينا استخدام المعطيات، ثم التوصل إلى بعض الاستنتاجات. أولًا، يمكننا القول إن جميع أنصاف الأقطار متساوية الطول؛ لأننا نعرف ما هو نصف القطر. ويمكننا القول أيضًا إن المثلث ﺃﻥﻑ والمثلث ﻥﻫﺏ مثلثان متساويا الساقين؛ لأن لكل منهما ضلعان متساويان في الطول. يمكننا القول أيضًا إن قياس الزاوية ﺃﻥﻑ سيساوي قياس الزاوية ﺏﻥﻫ لأنهما زاويتان متقابلتان بالرأس. وهذا يعني أنه يمكننا القول إن المثلث ﺏﻥﻫ يطابق المثلث ﺃﻥﻑ؛ لأن بينهما ضلعًا وزاوية محصورة وضلعًا متطابقين‎. وبما أن هذين المثلثين متطابقان، فإن كل هذه الزوايا ستكون متساوية في القياس. وستكون زوايا متطابقة، قياس كل منها ٣١ درجة.

ثمة شيء آخر يمكننا تحديده، وهو أن قياس الزاوية ﺃﺏﺟ يساوي ٩٠ درجة، وذلك استنادًا إلى خصائص خط المماس. لقد حددنا حتى الآن العديد من قياسات الزوايا، لكن ليس من بينها الزاويتان المطلوب إيجاد قياسهما. علينا الآن التركيز على المثلث المكون من النقاط ﻫ وﺟ وﺏ. تتكون الزاوية ﺟﺏﻫ من زاوية قياسها ٩٠ درجة، وزاوية قياسها ٣١ درجة. وهذا يعني أن قياس الزاوية ﺟﺏﻫ يساوي ١٢١ درجة. إذن، قياس الزاوية ﺟ زائد ١٢١ درجة زائد ٣١ درجة لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. ‏‏١٢١ زائد ٣١ يساوي ١٥٢. نطرح هذه القيمة من طرفي المعادلة. وبذلك، نجد أن قياس الزاوية ﺟ يساوي ٢٨ درجة.

لإيجاد قياس الزاوية ﺏﺩﺃ، علينا اتباع طريقة مشابهة تمامًا. سنركز على المثلث ﺃﺏﺩ، الذي له زاوية قائمة وزاوية قياسها ٣١ درجة. في هذه الحالة، قياس الزاوية ﺏﺩﺃ زائد ٩٠ درجة زائد ٣١ درجة يساوي ١٨٠ درجة. ‏‏٩٠ زائد ٣١ يساوي ١٢١. إذن، نطرح ١٢١ من طرفي المعادلة، وهو ما يعني أن قياس الزاوية ﺏﺩﺃ يساوي ٥٩ درجة. وقد توصلنا إلى كلا الناتجين من خلال معرفة أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث يساوي ١٨٠ درجة.

في المثال الأخير، ليس لدينا شكل معطى. لكن، لدينا معطيات عن الشكل.

دائرة مركزها ﻡ، وقطرها القطعة المستقيمة ﺃﺏ. إذا كان المستقيمان ﺃﺟ وﺏﺩ مماسين للدائرة، فكيف نصف العلاقة بينهما؟

لحل هذه المعادلة، دعونا نرسم دائرة. هذه هي الدائرة ﻡ، وقطرها ﺃﺏ. نحن نعلم أن القطعة المستقيمة ﺃﺏ لا بد أن تمر بالمركز ﻡ؛ لأنها قطر. لدينا بعد ذلك المستقيم ﺃﺟ. ونعلم أننا نسمي المستقيم باسم النقطتين الواقعتين عليه. ونظرًا لأن ﺃﺟ مماس لهذه الدائرة، فإنه لن يقطع الدائرة إلا عند النقطة ﺃ فقط. يمكننا بعد ذلك رسم مستقيم بهذا الشكل ليمثل ﺃﺟ. يلتقي المستقيم ﺃﺟ مع قطر الدائرة مكونًا زاوية قائمة. وينطبق الأمر نفسه على القطعة المستقيمة ﺏﺩ. نسمي المستقيم باسم النقطتين الواقعتين عليه. ونظرًا لأننا نعرف أنه مماس للدائرة، فإنه لن يقطع الدائرة إلا عند النقطة ﺏ فقط. وبهذا يصبح لدينا المستقيم ﺏﺩ. ويكون هذا المستقيم أيضًا زاوية قائمة مع القطر.

ما نراه في هذا الشكل هو أن المستقيم ﺃﺟ والمستقيم ﺏﺩ متوازيان. كما أن الشكل يبين أن المستقيمين ﺃﺟ وﺏﺩ رأسيان، وأن القطر ﺃﺏ أفقي. لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا بها رسم الشكل. لنفترض أن القطر مرسوم بهذه الطريقة. لا يزال ﺃﺟ يكون زاوية قائمة مع القطر، والأمر نفسه ينطبق على ﺏﺩ. ومرة أخرى، سنرى أن المستقيمين متوازيان. فهما لن يتقاطعا أبدًا. وإذا لم تقتنع بهذين الشكلين بعد، فسنقدم لك إثباتًا مختصرًا.

إذا كان هذين المستقيمين غير متوازيين، فإنهما سيتقاطعان عند نقطة ما. يمكننا أن نسمي هذه النقطة ﻉ. وإذا تقاطعا عند نقطة على مسافة بعيدة جدًا، فسيكونان مثلثًا. هذا المثلث هو ﺃﻉﺏ. المشكلة هي أن مجموع قياسات زوايا المثلث لا بد أن يساوي ١٨٠ درجة. ولكن قياس الزاوية ﺃ يساوي ٩٠ درجة وقياس الزاوية ﺏ يساوي ٩٠ درجة أيضًا، أي إنهما معًا يساويان ١٨٠ درجة. وهو ما يؤكد أن هذين المستقيمين يستحيل أن يتقاطعا. أي لا يمكنهما تكوين مثلث، ومن ثم فإنهما متوازيان. إذن المستقيمان ﺃﺟ وﺏﺩ متوازيان.

دعونا نلخص سريعًا ما تعلمناه. يكون خط المماس لدائرة زاوية قائمة محصورة بين نصف القطر وخط المماس. وإذا رسمنا مماسين من نفس النقطة الخارجية، فإن هذين المماسين سيكونان متساويين في الطول، ويمثل هذين المماسين القطعتان المستقيمتان الواصلتان بين النقطة الخارجية ونقطة التماس.