فيديو: الزوايا المماسية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خصائص المماسات لإيجاد قياس الزاوية المماسية أو الزاوية المحيطية المشتركة معها في نفس القوس.

١٦:١٤

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم خصائص المماسات لإيجاد قياس الزاوية المماسية أو الزاوية المحيطية المشتركة معها في نفس القوس. في الهندسة، تكون العناصر مماسية عندما تتقابل عند نقطة واحدة فقط. ونسمي هذه النقطة نقطة التماس. عندما ننظر إلى الصورة الثانية، نلاحظ أن الخطوط المستقيمة يمكن أن تكون مماسة لأكثر من دائرة. أما الصورة الأولى، فتوضح أن الدائرة يمكن أن تكون مماسة لدائرة أخرى.

ثمة أمر آخر علينا أن نتذكره قبل أن نبدأ في التعامل مع المماسات والدوائر، وهو أقصر مسافة من نقطة إلى خط مستقيم. إذا كان لدينا الخط ‪𝑙‬‏ والنقطة ‪𝐴‬‏، فإن أقصر مسافة بين النقطة ‪𝐴‬‏ والخط ‪𝑙‬‏ هي الخط الذي يكون زاوية قائمة أو زاوية عمودية بين النقطة والخط. إذا نظرنا إلى هذه المسافة من النقطة ‪𝐴‬‏ إلى الخط ‪𝑙‬‏، فسنلاحظ أنها لا تكون زاوية قائمة، كما يتضح أنها أطول من المسافة ‪𝑑‬‏ التي حددناها بالفعل. وإذا أضفنا دائرة لهذا الشكل، فسيمكننا توضيح نقطة مهمة. وهي أن خط المماس للدائرة يكون زاوية قائمة بين نصف القطر وخط المماس. هذه هي إحدى الخصائص الأولى للمماسات التي يتعين علينا معرفتها لإيجاد قياس الزوايا المجهولة في الدوائر.

والآن، سنتناول ثلاث خصائص رئيسية أخرى للمماسات. لننظر أولًا إلى مماسين ونقطة خارجية. إذا رسمنا مماسين من نفس النقطة الخارجية، فإن هذين المماسين سيكونان متساويين في الطول. لنقل إن هذه هي النقطة الخارجية ‪𝑃‬‏. وهاتان القطعتان المستقيمتان مماستان، وهو ما يعني أنهما تكونان زاويتين قائمتين مع نصفي القطرين اللذين تتقاطعان معهما. وبناء على هذه الخاصية، يمكننا القول إن هاتين القطعتين المماستين متساويتان في الطول. يمكننا أيضًا القول إن المستقيم المرسوم من مركز الدائرة إلى نقطة خارجية، أي نقطة تقاطع القطعتين، ينصف الزاوية التي تقع بين المماسين. في هذا الشكل، سيعني هذا أن قياس هذه الزاوية يساوي قياس هذه الزاوية.

الخاصية الأخيرة التي سنتناولها تسمى نظرية القطاع المتبادل. وتنص على أن قياس الزاوية المحصورة بين المماس والوتر يساوي قياس الزاوية في القطاع المتبادل. في هذا المثال، هذه هي الزاوية المحصورة بين المماس والوتر. وسيكون قياسها مساويًا لزاوية القطاع المتبادل هذه. وينطبق الأمر نفسه على الزاوية الزرقاء. فهي زاوية محصورة بين مماس ووتر. وقياسها يساوي قياس زاوية القطاع المتبادل. ومن ثم، فنحن مستعدون تقريبًا الآن لتناول بعض الأمثلة.

عند تناول مماسات الدوائر، فإننا غالبًا سنتعامل مع مثلثات. ولذا، علينا أن نتذكر أنه في المثلث المتساوي الساقين، تكون الزاويتان المقابلتان للضلعين المتساويين في الطول متساويتين في القياس. وفي المثلث المتساوي الأضلاع، تكون قياسات الزوايا الثلاثة متساوية. وكل منها سيساوي ‪60‬‏ درجة. لنتناول مثالًا إذن.

أوجد قياس الزاوية ‪𝐵𝐴𝐶‬‏.

عندما ننظر إلى هذا الشكل، نلاحظ أن الزاوية ‪𝐵𝐴𝐶‬‏ تقع هنا. وأول ما يمكننا فعله هو كتابة المعطيات بناء على ما يوضحه الشكل. إذا كانت النقطة ‪𝑀‬‏ هي مركز الدائرة، فيمكننا القول إن القطعة المستقيمة ‪𝑀𝐵‬‏ هي نصف قطر الدائرة ‪𝑀‬‏. كما يمكننا القول إن ‪𝑀𝐴‬‏ نصف قطر للدائرة ‪𝑀‬‏ أيضًا. وهذا لأن النقطتين ‪𝐴‬‏ و‪𝐵‬‏ تقعان على المحيط الخارجي للدائرة. يمكننا أيضًا القول: إن الخط ‪𝐴𝐶‬‏ مماس للدائرة ‪𝑀‬‏ عند النقطة ‪𝐴‬‏.

ما نريد فعله الآن هو تناول هذه المعطيات الثلاثة والتوصل إلى بعض الاستنتاجات. في البداية، يمكننا القول إن ‪𝑀𝐵‬‏ و‪𝑀𝐴‬‏ متساويتان في الطول لأننا نعرف ما هو نصف القطر. فبصرف النظر عن الموضع خارج الدائرة الذي نرسم منه خطًا إلى المركز، فإن هذين الطولين سيكونان متساويين. وهذا يعني أن المثلث ‪𝐵𝑀𝐴‬‏ مثلث متساوي الساقين لأن المثلث المتساوي الساقين له ضلعان متساويان في الطول. ومن ثم، يمكننا القول إن قياس الزاوية ‪𝑀𝐵𝐴‬‏ يساوي قياس الزاوية ‪𝑀𝐴𝐵‬‏، وهذه إحدى خصائص المثلثات المتساوية الساقين. سنفترض أن قياس الزاوية ‪𝑀𝐴𝐵‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ درجة.

إذن، يمكننا القول إن ‪90‬‏ درجة زائد ‪𝑥‬‏ درجة زائد ‪𝑥‬‏ درجة يجب أن يساوي ‪180‬‏ درجة لأن هذا هو مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث. يمكننا تبسيط ذلك إلى معادلة تفيد بأن ‪90‬‏ زائد اثنين ‪𝑥‬‏ يساوي ‪180‬‏. وللحل لإيجاد قيمة ‪𝑥‬‏، سنطرح ‪90‬‏ من كلا الطرفين. أي إن اثنين ‪𝑥‬‏ يساوي ‪90‬‏. ثم نقسم كلا طرفي المعادلة على اثنين لنحصل على ‪𝑥‬‏ يساوي ‪45‬‏. ويمكننا أن نضيف ذلك على الشكل.

يمكننا أيضًا القول إن قياس الزاوية ‪𝑀𝐴𝐶‬‏ يساوي ‪90‬‏ درجة، وهي إحدى خصائص الخط المماس لدائرة. تتكون الزاوية القائمة ‪𝑀𝐴𝐶‬‏ من زاويتين أصغر، وهما الزاوية ‪𝑀𝐴𝐵‬‏ والزاوية ‪𝐵𝐴𝐶‬‏. الزاوية الأكبر تساوي ‪90‬‏ درجة. وقياس الزاوية ‪𝑀𝐴𝐵‬‏ يساوي ‪45‬‏ درجة. ولأننا نعلم أن ‪45‬‏ زائد ‪45‬‏ يساوي ‪90‬‏، علينا القول إن قياس الزاوية ‪𝐵𝐴𝐶‬‏ يساوي ‪45‬‏ درجة.

إليك مثالًا آخر.

إذا كان قياس الزاوية ‪𝑀𝐴𝐶‬‏ يساوي ‪36‬‏ درجة، فأوجد قياس الزاوية ‪𝐵𝐴𝑀‬‏ وقياس الزاوية ‪𝐴𝑀𝐶‬‏.

نريد معرفة قياس الزاوية ‪𝐵𝐴𝑀‬‏ وقياس الزاوية ‪𝐴𝑀𝐶‬‏. لنبدأ بتحديد ما نعرفه من معطيات. نعلم أن قياس الزاوية ‪𝑀𝐴𝐶‬‏ يساوي ‪36‬‏ درجة، ومن ثم يمكننا إضافة ذلك على الشكل. نريد أن نكتب أيضًا المعلومات الأخرى التي يمكننا استنتاجها من الشكل. نعلم أن القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐶‬‏ والقطعة المستقيمة ‪𝐴𝐵‬‏ مماستان للدائرة ‪𝑀‬‏؛ لأن كل قطعة تقطع الدائرة عند نقطة واحدة فقط. وتتقاطع كل من القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐶‬‏ والقطعة المستقيمة ‪𝐴𝐵‬‏ عند النقطة ‪𝐴‬‏. ومن ثم، نقول إن القطعة المستقيمة ‪𝑀𝐶‬‏ والقطعة المستقيمة ‪𝑀𝐵‬‏ هما نصفا قطري الدائرة ‪𝑀‬‏. ويمكننا الاستعانة بهذه المعطيات الأربعة والتوصل إلى بعض الاستنتاجات.

يمكننا القول إن طول القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐶‬‏ يساوي طول القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐵‬‏؛ لأن هذه هي إحدى خصائص المماسات التي تتقاطع عند نقطة خارج الدائرة. واستنادًا إلى خصائص الدائرة، يمكننا القول أيضًا إن القطعة المستقيمة ‪𝑀𝐴‬‏ تنصف الزاوية ‪𝐵𝐴𝐶‬‏. وهذه نظرية أخرى من نظريات الدائرة. وبما أن هذا صحيح، فلا بد أن يكون قياس الزاوية ‪𝐵𝐴𝑀‬‏ مساويًا لقياس الزاوية ‪𝑀𝐴𝐶‬‏. قياس الزاوية ‪𝑀𝐴𝐶‬‏ يساوي ‪36‬‏ درجة، وعليه، فإن قياس الزاوية ‪𝐵𝐴𝑀‬‏ يساوي ‪36‬‏ درجة أيضًا. هذا هو الجزء الأول من السؤال.

ننتقل الآن إلى إيجاد قياس الزاوية ‪𝐴𝑀𝐶‬‏. ندرك أن النقاط ‪𝐴‬‏ و‪𝐶‬‏ و‪𝑀‬‏ تكون مثلثًا. وبما أن القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐶‬‏ مماسة لهذه الدائرة عند النقطة ‪𝐶‬‏، ستوجد زاوية قائمة هنا. إذن، قياس الزاوية ‪𝑀𝐶𝐴‬‏ يساوي ‪90‬‏ درجة. وبعد أن عرفنا ذلك، يمكننا القول إن ‪90‬‏ درجة زائد ‪36‬‏ درجة زائد قياس الزاوية المجهولة سيساوي حتمًا ‪180‬‏ درجة؛ لأننا نعلم أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث يساوي ‪180‬‏ درجة. ‏‏‪90‬‏ زائد ‪36‬‏ يساوي ‪126‬‏. وبطرح ‪126‬‏ درجة من كلا الطرفين، نجد أن قياس الزاوية ‪𝐴𝑀𝐶‬‏ يساوي ‪54‬‏ درجة.

إليك مثالًا آخر، لكن هذه المرة لدينا مثلث متساوي الأضلاع في المنتصف.

أوجد قياس الزاوية ‪𝐶𝐴𝐵‬‏.

أولًا، نريد أن نسرد المعطيات الموجودة لدينا في هذا الشكل. يمكننا القول إن طول القطعة المستقيمة ‪𝐷𝐶‬‏ يساوي طول القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐶‬‏، والذي يساوي طول القطعة المستقيمة ‪𝐷𝐴‬‏. بعد ذلك، يمكننا القول إن المستقيم ‪𝐴𝐵‬‏ مماس للدائرة عند النقطة ‪𝐴‬‏. وباستخدام هذه المعطيات، نريد معرفة قياس الزاوية ‪𝐶𝐴𝐵‬‏. من أول معطيين، يمكننا التوصل إلى بعض الاستنتاجات. أولًا، يمكننا القول إن المثلث ‪𝐴𝐶𝐷‬‏ متساوي الأضلاع. وبمعرفة أن هذا المثلث متساوي الأضلاع، يمكننا القول إن قياس كل من زواياه الداخلية الثلاث يساوي ‪60‬‏ درجة. ولكن لمتابعة الشرح، علينا أن نتذكر نظرية القطاع المتبادل.

تنص نظرية القطاع المتبادل على أن قياس الزاوية المحصورة بين المماس والوتر يساوي قياس زاوية القطاع المتبادل. الزاوية ‪𝐶𝐴𝐵‬‏ لدينا هي الزاوية المحصورة بين مماس ووتر. وقياسها يساوي قياس زاوية القطاع المتبادل هذه. وبذلك يمكننا القول إن قياس الزاوية ‪𝐶𝐴𝐵‬‏ يساوي ‪60‬‏ درجة وفقًا لنظرية القطاع المتبادل.

للوهلة الأولى قد يبدو المثال التالي أكثر تعقيدًا، لكننا سنتبع العملية نفسها لإيجاد قياسات بعض الزوايا المجهولة.

إذا كان قياس الزاوية ‪𝐵𝐸𝐶‬‏ يساوي ‪31‬‏ درجة، فأوجد قياس الزاوية ‪𝐶‬‏ وقياس الزاوية ‪𝐵𝐷𝐴‬‏.

نحن نعلم أن قياس الزاوية ‪𝐵𝐸𝐶‬‏ يساوي ‪31‬‏ درجة. وهذا هو أول معطى لدينا. هيا نكمل ونكتب المعطيات الأخرى التي نعرفها استنادًا إلى الشكل. يمكننا القول إن القطعة المستقيمة ‪𝑁𝐹‬‏ والقطعة المستقيمة ‪𝑁𝐴‬‏ والقطعة المستقيمة ‪𝑁𝐸‬‏ والقطعة المستقيمة ‪𝑁𝐵‬‏ كلها أنصاف أقطار للدائرة ‪𝑁‬‏. ويمكننا القول أيضًا إن الشعاع ‪𝐶𝐵‬‏ مماس لهذه الدائرة عند النقطة ‪𝐵‬‏. نريد معرفة قياس الزاوية ‪𝐶‬‏، الموجودة هنا، وقياس الزاوية ‪𝐵𝐷𝐴‬‏ الموجودة هنا.

علينا استخدام المعطيات، ثم التوصل إلى بعض الاستنتاجات. أولًا، يمكننا القول إن جميع أنصاف الأقطار متساوية الطول؛ لأننا نعرف ما هو نصف القطر. ويمكننا القول أيضًا إن المثلث ‪𝐴𝑁𝐹‬‏ والمثلث ‪𝑁𝐸𝐵‬‏ مثلثان متساويا الساقين؛ لأن لكل منهما ضلعان متساويان في الطول. يمكننا القول أيضًا إن قياس الزاوية ‪𝐴𝑁𝐹‬‏ سيساوي قياس الزاوية ‪𝐵𝑁𝐸‬‏ لأنهما زاويتان متقابلتان بالرأس. وهذا يعني أنه يمكننا القول إن المثلث ‪𝐵𝑁𝐸‬‏ يطابق المثلث ‪𝐴𝑁𝐹‬‏؛ لأن بينهما ضلعًا وزاوية محصورة وضلعًا متطابقين‪‎‬‏. وبما أن هذين المثلثين متطابقان، فإن كل هذه الزوايا ستكون متساوية في القياس. وستكون زوايا متطابقة، قياس كل منها ‪31‬‏ درجة.

ثمة شيء آخر يمكننا تحديده، وهو أن قياس الزاوية ‪𝐴𝐵𝐶‬‏ يساوي ‪90‬‏ درجة، وذلك استنادًا إلى خصائص خط المماس. لقد حددنا حتى الآن العديد من قياسات الزوايا، لكن ليس من بينها الزاويتان المطلوب إيجاد قياسهما. علينا الآن التركيز على المثلث المكون من النقاط ‪𝐸‬‏ و‪𝐶‬‏ و‪𝐵‬‏. تتكون الزاوية ‪𝐶𝐵𝐸‬‏ من زاوية قياسها ‪90‬‏ درجة، وزاوية قياسها ‪31‬‏ درجة. وهذا يعني أن قياس الزاوية ‪𝐶𝐵𝐸‬‏ يساوي ‪121‬‏ درجة. إذن، قياس الزاوية ‪𝐶‬‏ زائد ‪121‬‏ درجة زائد ‪31‬‏ درجة لا بد أن يساوي ‪180‬‏ درجة. ‏‏‪121‬‏ زائد ‪31‬‏ يساوي ‪152‬‏. نطرح هذه القيمة من طرفي المعادلة. وبذلك، نجد أن قياس الزاوية ‪𝐶‬‏ يساوي ‪28‬‏ درجة.

لإيجاد قياس الزاوية ‪𝐵𝐷𝐴‬‏، علينا اتباع طريقة مشابهة تمامًا. سنركز على المثلث ‪𝐴𝐵𝐷‬‏، الذي له زاوية قائمة وزاوية قياسها ‪31‬‏ درجة. في هذه الحالة، قياس الزاوية ‪𝐵𝐷𝐴‬‏ زائد ‪90‬‏ درجة زائد ‪31‬‏ درجة يساوي ‪180‬‏ درجة. ‏‏‪90‬‏ زائد ‪31‬‏ يساوي ‪121‬‏. إذن، نطرح ‪121‬‏ من طرفي المعادلة، وهو ما يعني أن قياس الزاوية ‪𝐵𝐷𝐴‬‏ يساوي ‪59‬‏ درجة. وقد توصلنا إلى كلا الناتجين من خلال معرفة أن مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث يساوي ‪180‬‏ درجة.

في المثال الأخير، ليس لدينا شكل معطى. لكن، لدينا معطيات عن الشكل.

دائرة مركزها ‪𝑀‬‏، وقطرها القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐵‬‏. إذا كان المستقيمان ‪𝐴𝐶‬‏ و‪𝐵𝐷‬‏ مماسين للدائرة، فكيف نصف العلاقة بينهما؟

لحل هذه المعادلة، دعونا نرسم دائرة. هذه هي الدائرة ‪𝑀‬‏، وقطرها ‪𝐴𝐵‬‏. نحن نعلم أن القطعة المستقيمة ‪𝐴𝐵‬‏ لا بد أن تمر بالمركز ‪𝑀‬‏؛ لأنها قطر. لدينا بعد ذلك المستقيم ‪𝐴𝐶‬‏. ونعلم أننا نسمي المستقيم باسم النقطتين الواقعتين عليه. ونظرًا لأن ‪𝐴𝐶‬‏ مماس لهذه الدائرة، فإنه لن يقطع الدائرة إلا عند النقطة ‪𝐴‬‏ فقط. يمكننا بعد ذلك رسم مستقيم بهذا الشكل ليمثل ‪𝐴𝐶‬‏. يلتقي المستقيم ‪𝐴𝐶‬‏ مع قطر الدائرة مكونًا زاوية قائمة. وينطبق الأمر نفسه على القطعة المستقيمة ‪𝐵𝐷‬‏. نسمي المستقيم باسم النقطتين الواقعتين عليه. ونظرًا لأننا نعرف أنه مماس للدائرة، فإنه لن يقطع الدائرة إلا عند النقطة ‪𝐵‬‏ فقط. وبهذا يصبح لدينا المستقيم ‪𝐵𝐷‬‏. ويكون هذا المستقيم أيضًا زاوية قائمة مع القطر.

ما نراه في هذا الشكل هو أن المستقيم ‪𝐴𝐶‬‏ والمستقيم ‪𝐵𝐷‬‏ متوازيان. كما أن الشكل يبين أن المستقيمين ‪𝐴𝐶‬‏ و‪𝐵𝐷‬‏ رأسيان، وأن القطر ‪𝐴𝐵‬‏ أفقي. لكن هذه ليست الطريقة الوحيدة التي يمكننا بها رسم الشكل. لنفترض أن القطر مرسوم بهذه الطريقة. لا يزال ‪𝐴𝐶‬‏ يكون زاوية قائمة مع القطر، والأمر نفسه ينطبق على ‪𝐵𝐷‬‏. ومرة أخرى، سنرى أن المستقيمين متوازيان. فهما لن يتقاطعا أبدًا. وإذا لم تقتنع بهذين الشكلين بعد، فسنقدم لك إثباتًا مختصرًا.

إذا كان هذين المستقيمين غير متوازيين، فإنهما سيتقاطعان عند نقطة ما. يمكننا أن نسمي هذه النقطة ‪𝑃‬‏. وإذا تقاطعا عند نقطة على مسافة بعيدة جدًا، فسيكونان مثلثًا. هذا المثلث هو ‪𝐴𝑃𝐵‬‏. المشكلة هي أن مجموع قياسات زوايا المثلث لا بد أن يساوي ‪180‬‏ درجة. ولكن قياس الزاوية ‪𝐴‬‏ يساوي ‪90‬‏ درجة وقياس الزاوية ‪𝐵‬‏ يساوي ‪90‬‏ درجة أيضًا، أي إنهما معًا يساويان ‪180‬‏ درجة. وهو ما يؤكد أن هذين المستقيمين يستحيل أن يتقاطعا. أي لا يمكنهما تكوين مثلث، ومن ثم فإنهما متوازيان. إذن المستقيمان ‪𝐴𝐶‬‏ و‪𝐵𝐷‬‏ متوازيان.

دعونا نلخص سريعًا ما تعلمناه. يكون خط المماس لدائرة زاوية قائمة محصورة بين نصف القطر وخط المماس. وإذا رسمنا مماسين من نفس النقطة الخارجية، فإن هذين المماسين سيكونان متساويين في الطول، ويمثل هذين المماسين القطعتان المستقيمتان الواصلتان بين النقطة الخارجية ونقطة التماس.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.