فيديو الدرس: حل المعادلات التربيعية ذات الجذور المركبة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتعلم كيفية حل المعادلات التربيعية التي جذورها أعداد مركبة. وسنبدأ بتعلم طريقة حل المعادلات البسيطة ذات الحلول المركبة، ثم ننظر في تأثير ما استعرضناه من مقدمة حول مجموعة الأعداد المركبة في فهمنا للقانون العام لحل المعادلات التربيعية والمميز. وأخيرًا، سنتعلم كيفية إعادة تكوين معادلة تربيعية بمعلومية جذر مركب.

أثناء دراستنا لمفهوم الأعداد، سنصادف معادلات ليست لها حلول، أو نفترض على الأقل أن لها حلولًا غير حقيقية. وعلى أية حال، فإن المقدمة التي نستعرض فيها مجموعة الأعداد المركبة تفتح أمامنا أفقًا جديدًا تمامًا فيما يتعلق بهذه الأنواع من المعادلات.

فلننظر المعادلة: اثنان ﺱ تربيع يساوي سالب ثمانية. لحل هذه المعادلة، نبدأ بقسمة الطرفين على اثنين. ومن ثم، فإن ﺱ تربيع يساوي سالب أربعة. ثم نوجد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة.

ربما درسنا سابقًا أن هذه المعادلة، التي يمكن حلها بإيجاد الجذر التربيعي لعدد سالب، ليس لها فعليًّا أي حلول حقيقية. وبالتأكيد هذه المعلومة صحيحة تمامًا. لكننا لم نعد نتعامل مع أعداد حقيقية فقط. إذ لدينا الآن مجموعة الأعداد التخيلية. ونتذكر أنها تتمحور حول الحرف المفرد ﺕ؛ حيث يعرف ﺕ بأنه حل المعادلة ﺱ تربيع يساوي سالب واحد. ولكننا عادة نقول فقط: إن ﺕ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد. ويعني ذلك أن بإمكاننا حل المعادلة الآن بإيجاد الجذر التربيعي لسالب أربعة.

لإيجاد الجذر التربيعي لعدد سالب، فإننا نقسمه. على سبيل المثال، الجذر التربيعي لسالب ﺃ هو نفسه الجذر التربيعي لـ ﺃ مضروبًا في سالب واحد، وهو ما يساوي الجذر التربيعي لـ ﺃ مضروبًا في الجذر التربيعي لسالب واحد. وبما أن الجذر التربيعي لسالب واحد هو ﺕ، نلاحظ أن الجذر التربيعي لسالب ﺃ هو نفسه ﺕ جذر ﺃ. إذن، في هذا المثال، ﺱ يساوي موجب أو سالب ﺕ جذر أربعة. وبالطبع، الجذر التربيعي لأربعة هو اثنان. ونلاحظ أن المعادلة: اثنان ﺱ تربيع يساوي سالب ثمانية لها حلان، وهما: اثنان ﺕ، وسالب اثنين ﺕ. هيا نفكر في معادلة أخرى لم نتمكن من حلها سابقًا.

حل المعادلة: خمسة ﺱ تربيع زائد واحد يساوي سالب ٣١٩.

يمكننا أن نبدأ حل هذه المعادلة بنفس طريقة حل أي معادلة أخرى، وذلك بإجراء سلسلة من العمليات العكسية. سنبدأ بطرح واحد من طرفي المعادلة. خمسة ﺱ تربيع زائد واحد ناقص واحد يساوي ببساطة خمسة ﺱ تربيع. وسالب ٣١٩ ناقص واحد يساوي سالب ٣٢٠.

ثم، نقسم الطرفين على خمسة. ونلاحظ أن ﺱ تربيع يساوي سالب ٦٤. الخطوة الأخيرة هي إيجاد الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. الجذر التربيعي لـ ﺱ تربيع يساوي ﺱ. وتذكر أنه يمكننا أخذ الجذرين الموجب والسالب لسالب ٦٤. ونلاحظ أن ﺱ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لسالب ٦٤.

وهنا، يمكننا إعادة كتابة سالب ٦٤ على الصورة ٦٤ في سالب واحد. ونلاحظ أن الجذر التربيعي لسالب ٦٤ هو نفسه الجذر التربيعي لـ ٦٤ مضروبًا في الجذر التربيعي لسالب واحد. ولكن الجذر التربيعي لسالب واحد هو ﺕ، والجذر التربيعي لـ ٦٤ هو ثمانية. وبذلك، نكون قد انتهينا من حل المعادلة. يوجد حلان لـ ﺱ. وهما: ثمانية ﺕ، وسالب ثمانية ﺕ.

يمكننا الآن تطبيق الطرق المعتادة لحل المعادلات كي تساعدنا على حل أي معادلة لها جذور غير حقيقية. في حالة المعادلة التربيعية، قد نواجه صعوبة في تحليل مقدار تربيعي. لكن يمكننا تطبيق الطريقتين الأخريين اللتين نثق بهما. وهما القانون العام لحل المعادلات التربيعية وإكمال المربع. ولكل منهما مزاياه وعيوبه.

يمكن أن يكون استخدام القانون العام أفضل قليلًا عندما يكون معامل ﺱ تربيع لا يساوي واحدًا. وسنرى بعد قليل أن بإمكاننا استخدام جزء من القانون لمساعدتنا على إيجاد طبيعة جذور المعادلة وعددها. ولكن يمكن أن تكون طريقة إكمال المربع ناجحة إلى حد ما عندما يساوي معامل ﺱ تربيع واحدًا.

واختيار إحدى الطريقتين دون الأخرى هو مسألة تفضيل شخصي بالأساس. لكننا سنستخدم القانون العام بشكل أساسي في هذا الفيديو. ثم سنلقي نظرة على كلتا الطريقتين في المثال التالي. هيا نتذكر معًا القانون العام والمميز. في المعادلة التربيعية على الصورة ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، حيث ﺃ لا يساوي صفرًا، يمكننا الحصول على الجذور بالتعويض في الصيغة ﺱ يساوي سالب ﺏ موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل على اثنين ﺃ. ونستخدم المميز لإيجاد طبيعة جذور المعادلة. والمميز هو ذلك الجزء من الصيغة الموجود داخل الجذر التربيعي: ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ.

ومن المنطقي أن المميز إذا كان أكبر من صفر، فسيكون الجذر التربيعي للمميز عددًا حقيقيًّا. ويعني ذلك أن ثمة جذرين حقيقيين للمعادلة. وإذا كان المميز يساوي صفرًا، فسيوجد حل واحد فقط. ويعرف هذا بالجذر المتكرر. ويحدث ذلك إذا لامست نقطة انقلاب المنحنى المحور ﺱ مرة واحدة فقط. لكن ماذا إذا قلت القيمة عن صفر؟ سبق أن لاحظنا أن الجذر التربيعي لأي عدد سالب ليس عددًا حقيقيًّا. وبالتالي، لا توجد أي جذور حقيقية. ويعني ذلك أن المنحنى لا يتقاطع في واقع الأمر مع المحور ﺱ. لنلق نظرة على مثال على معادلة تربيعية لها جذور غير حقيقية.

حل المعادلة التربيعية: ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ثمانية يساوي صفرًا. قبل حل هذه المعادلة، يمكننا أن نتحقق من طبيعة جذور المعادلة، إن أردنا ذلك، بإيجاد قيمة المميز. تذكر أنه لإيجاد مميز أي معادلة على الصورة: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، فإننا نستخدم الصيغة: ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ. وأحيانًا يرمز له بهذا المثلث الصغير.

في هذه المعادلة، ﺃ هو معامل ﺱ تربيع. وقيمته واحد. وﺏ هو معامل ﺱ. وقيمته سالب أربعة. وﺟ هو الثابت. وقيمته ثمانية. بالتالي، فإن مميز المعادلة هو سالب أربعة تربيع ناقص أربعة مضروبًا في واحد مضروبًا في ثمانية، أي سالب ١٦.

نعلم أنه إذا كان المميز أكبر من صفر، فالمعادلة لها جذران حقيقيان. وإذا كان يساوي صفرًا، فإنه يوجد جذر حقيقي واحد فقط. وإذا كان أصغر من صفر، فالمعادلة ليس لها أي جذور حقيقية. المميز هنا أصغر من صفر. إذن، المعادلة التربيعية: ﺱ تربيع ناقص أربعة ﺱ زائد ثمانية يساوي صفرًا ليس لها جذور حقيقية.

ومع الأخذ في الاعتبار أننا سنحصل على جذرين مركبين، دعونا نحل هذه المعادلة باستخدام القانون العام أولًا. نتوصل إلى حلي المعادلة باستخدام الصيغة: سالب ﺏ موجب أو سالب الجذر التربيعي لـ ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ الكل على اثنين ﺃ.

لقد رأينا في مثال سابق أن ﺏ تربيع ناقص أربعة ﺃﺟ يساوي سالب ١٦. إذن، حلا المعادلة التربيعية هما سالب سالب أربعة موجب أو سالب الجذر التربيعي لسالب ١٦ الكل على اثنين في واحد. ويبسط ذلك إلى أربعة موجب أو سالب الجذر التربيعي لسالب ١٦ الكل على اثنين.

وعند هذه المرحلة، سنعيد كتابة الجذر التربيعي لسالب ١٦ على الصورة: الجذر التربيعي لـ ١٦ مضروبًا في الجذر التربيعي لسالب واحد. وهذا أمر مفيد؛ لأننا نعلم أن الجذر التربيعي لـ ١٦ هو أربعة، وأن الجذر التربيعي لسالب واحد هو ﺕ. إذن، ﺱ يساوي أربعة موجب أو سالب أربعة ﺕ الكل على اثنين. ويمكننا التبسيط. نلاحظ أن حلي المعادلة التربيعية هما: ﺱ يساوي اثنين زائد اثنين ﺕ، وﺱ يساوي اثنين ناقص اثنين ﺕ.

في الحقيقة، هذه ليست الطريقة الوحيدة لحل هذه المعادلة. إذ كان من الممكن أيضًا استخدام طريقة إكمال المربع. وهذه مسألة تفضيل شخصي بالأساس في هذا النوع من الأمثلة. لنر كيف كان سيبدو ذلك.

أول ما نفعله هو قسمة معامل ﺱ على اثنين. نصف سالب أربعة يساوي سالب اثنين. ومن ثم، نكتب ﺱ ناقص اثنين الكل تربيع. سالب اثنين تربيع يساوي أربعة. نطرح هذه الأربعة ثم نضيف ثمانية. وبالطبع، هذا كله يساوي صفرًا.

يمكننا تبسيط المعادلة نوعًا ما، ونحصل بذلك على ﺱ ناقص اثنين الكل تربيع زائد أربعة يساوي صفرًا. سنحل هذه المعادلة بطرح أربعة من كلا الطرفين. فنحصل بذلك على ﺱ ناقص اثنين الكل تربيع يساوي سالب أربعة. ويلي ذلك إيجاد الجذر التربيعي لكلا طرفي المعادلة. الجذر التربيعي لـ ﺱ ناقص اثنين الكل تربيع هو سالب اثنين. وتذكر أنه يمكننا أخذ الجذرين الموجب والسالب لسالب أربعة. وبذلك، نجد أن ﺱ ناقص اثنين يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لسالب أربعة.

والآن باستخدام نفس الطريقة السابقة، يمكننا أن نلاحظ أن الجذر التربيعي لسالب أربعة هو نفسه اثنان ﺕ. ويمكننا إكمال هذا الحل بإضافة اثنين إلى كلا طرفي المعادلة. ومرة أخرى، نجد أن حلي المعادلة هما: اثنان زائد اثنين ﺕ، واثنان ناقص اثنين ﺕ.

في الحقيقة، ليست مصادفة أن يكون كل من جذري المعادلة مرافقًا مركبًا للآخر. فمن المنطقي جدًّا أن ينطبق ذلك على أي معادلة تربيعية ذات جذور مركبة، لا سيما مع طريقة الحل الثانية.

إذن، يمكننا القول: إن الجذور غير الحقيقية لأي معادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية تكون عبارة عن أزواج من المترافقات المركبة. ويوجد إثبات مناسب وبسيط لذلك. لنفترض أن لدينا معادلة تربيعية على الصورة: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ. سنفترض أن ن أحد حلول هذه المعادلة. ونقول: إن ن شرطة هو مرافق العدد المركب ن.

سنعوض بهذا المرافق المركب في المعادلة لدينا. بعد التعويض، نحصل على أ مضروبًا في ن شرطة الكل تربيع زائد ب مضروبًا في ن شرطة زائد ﺟ. ويمكننا أن نتذكر هنا حقيقة أنه لأي عددين مركبين، يتساوى مرافق حاصل ضربهما مع حاصل ضرب مرافقيهما. ويعني ذلك أن مربع مرافق حل المعادلة يساوي مرافق المربع.

نلاحظ أن الجزء الأول يصبح أ مضروبًا في ن تربيع شرطة. ونظرًا لأن ﺃ‏، وﺏ، و‏ﺟ‏ أعداد حقيقية — تذكر أن المعادلة التربيعية لها معاملات حقيقية، وأن مرافق العدد الحقيقي هو هذا العدد فقط — فإنه يمكن إعادة كتابة ذلك على النحو الموضح. وأخيرًا، نتذكر حقيقة أن مرافق مجموع العددين المركبين ﻉ واحد وﻉ اثنين يساوي مجموع مرافقيهما. ككما نلاحظ أن د ن شرطة يساوي أ مضروبًا في ن تربيع زائد ب مضروبًا في ن زائد ﺟ شرطة.

ذكرنا سابقًا أن ن هي أحد حلول المعادلة. وهذا يعني أن أن تربيع زائد ب ن زائد ﺟ شرطة يجب أن يساوي صفرًا. كما نعلم بالتأكيد أن مرافق صفر يساوي صفرًا. وسبق أن لاحظنا أنه نظرًا لأن د ن شرطة يساوي صفرًا، فلا بد أيضًا أن تكون ن شرطة حلًّا لهذه المعادلة. وفي الحقيقة، يعبر ذلك عن نظرية الجذور المترافقة المركبة، ويمكن أن يمتد تطبيقها إلى حل كثيرات الحدود. هيا نلق نظرة على عدد من الأمثلة التي يمكن فيها استخدام هذه النظرية لحل المسائل التي تتضمن كثيرات حدود من الدرجة الثانية.

‏ﺃ زائد ﺏﺕ وﺟ زائد ﺩﺕ عددان مركبان، حيث ﺃ، وﺏ، وﺟ، وﺩ أعداد حقيقية، وهذان العددان المركبان هما جذران لمعادلة تربيعية كثيرة الحدود لها معاملات حقيقية.

إذا كان ﺏ لا يساوي صفرًا، فما الشروط التي يجب أن تحققها الأعداد ﺃ، وﺏ، وﺟ، وﺩ، إن وجدت؟

في هذه المسألة، نعلم من المعطيات أن ﺃ زائد ﺏﺕ وﺟ زائد ﺩﺕ جذرا المعادلة التربيعية المعطاة التي لها معاملات حقيقية. عادة، تكون هذه المعادلة على الصورة: ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ يساوي صفرًا، مع مراعاة عدم الخلط بين ﺃ، وﺏ‏، وﺟ والحروف ﺃ، وﺏ‏، وﺟ في الأعداد المركبة. سنعيد كتابة ذلك على الصورة: ﻝﺱ تربيع زائد ﻡﺱ زائد ﺭ يساوي صفرًا.

نعلم الآن أن الجذور غير الحقيقية لأي معادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية تكون عبارة عن أزواج من المترافقات المركبة. تذكر أننا لإيجاد المرافق، نغير إشارة الجزء التخيلي. إذن، المرافق لـ ﺃ زائد ﺏﺕ يساوي ﺃ ناقص ﺏﺕ. ويجب أن يكون ﺃ زائد ﺏﺕ وﺟ زائد ﺩﺕ مرافقين مركبين أحدهما للآخر حسب هذه النظرية. يعني ذلك أن مرافق العدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ يجب أن يساوي ﺟ زائد ﺩﺕ. لذا، نقول: إن ﺃ ناقص ﺏﺕ يساوي ﺟ زائد ﺩﺕ.

ولكي يتساوى عددان مركبان، يجب أن يكون جزآهما الحقيقيان متساويين. إذن، نساوي هنا ﺃ مع ﺟ. ولكن، يجب أيضًا أن يتساوى جزآهما التخيليان. لذا، سنساوي الجزأين التخيليين. ونلاحظ أن سالب ﺏ يساوي ﺩ. إذن، الشروط التي يجب أن يحققها ﺃ،‏ وﺏ‏، وﺟ، ‏وﺩ هنا أن ﺃ يجب أن يساوي ﺟ، وسالب ﺏ يجب أن يساوي ﺩ. سنستخدم هذه المرة معرفتنا بطبيعة الجذور المركبة للمعادلات التربيعية في إعادة تكوين معادلة بمعلومية أحد جذورها.

أوجد المعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية التي أحد جذورها خمسة زائد ﺕ.

نعلم من المعطيات أن خمسة زائد ﺕ هو أحد جذور المعادلة التربيعية. تذكر ما نعلمه عن أن الجذور غير الحقيقية لمعادلة تربيعية ذات معاملات حقيقية تكون أزواجًا مترافقة مركبة. لإيجاد المرافق المركب، نغير إشارة الجزء التخيلي. ومن ثم، نجد أن جذري المعادلة هما خمسة زائد ﺕ وخمسة ناقص ﺕ. ويعني ذلك أن المعادلة التربيعية على الصورة ﺱ ناقص خمسة زائد ﺕ مضروبًا في ﺱ ناقص خمسة ناقص ﺕ يساوي صفرًا. وينبع هذا من حقيقة أننا عندما نحل معادلة تربيعية باستخدام التحليل، فإننا نساوي كل مقدار داخل القوس بالصفر.

في هذه الحالة، سيكون لدينا ﺱ ناقص خمسة زائد ﺕ يساوي صفرًا، وﺱ ناقص خمسة ناقص ﺕ يساوي صفرًا. سنحل هذه المعادلة الأولى بإضافة خمسة زائد ﺕ إلى كلا الطرفين. فنجد أن ﺱ يساوي خمسة زائد ﺕ. ونحل المعادلة الثانية بإضافة خمسة ناقص ﺕ إلى كلا الطرفين. لنحصل على الجذر الثاني ﺱ يساوي خمسة ناقص ﺕ.

سيكون علينا ضرب هذين القوسين. لنستخدم طريقة الشبكة هنا؛ حيث توجد أعداد ورموز متنوعة قد توقعنا في الخطأ. ‏ﺱ مضروبًا في ﺱ يساوي ﺱ تربيع. وﺱ مضروبًا في سالب خمسة زائد ﺕ يساوي سالب ﺱ خمسة زائد ﺕ. بالمثل، نحصل على سالب ﺱ مضروبًا في خمسة ناقص ﺕ. وسالب خمسة زائد ﺕ مضروبًا في سالب خمسة ناقص ﺕ يعطينا موجب خمسة ناقص ﺕ مضروبًا في خمسة زائد ﺕ. ووسنضرب القوسين بطريقة توزيع حدي القوس الأول على حدي القوس الثاني.

بضرب الحد الأول داخل القوس الأول في الحد الأول داخل القوس الثاني، نحصل على ٢٥. ثم، نضرب الطرفين فنحصل على خمسة ﺕ، والوسطين فنحصل على سالب خمسة ﺕ. وخمسة ﺕ ناقص خمسة ﺕ يساوي صفرًا. إذن، يلغي أحدهما الآخر. ثم، نضرب الحدين الأخيرين. سالب ﺕ في ﺕ يساوي سالب ﺕ تربيع. وبما أن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، نجد أن ناتج توزيع القوسين يكون ٢٥ ناقص سالب واحد، وهو ما يساوي ٢٦. وبالتالي، تصبح المعادلة التربيعية الآن على الصورة ﺱ تربيع ناقص ﺱ مضروبًا في خمسة زائد ﺕ ناقص ﺱ مضروبًا في خمسة ناقص ﺕ زائد ٢٦.

نجمع الحدود المتشابهة معًا. فنحصل بذلك على ﺱ تربيع ناقص خمسة زائد ﺕ زائد خمسة ناقص ﺕ مضروبًا في ﺱ زائد ٢٦. وﺕ ناقص ﺕ يساوي صفرًا. وبذلك، يتبقى لدينا ﺱ تربيع ناقص ١٠ﺱ زائد ٢٦ يساوي صفرًا.

في الواقع، توجد صيغة يمكننا استخدامها وستوفر لنا بعض الوقت. إذا كان لدينا معادلة تربيعية ذات جذور حقيقية وأحد حلولها المركبة ﺃ زائد ﺏﺕ، فستكون صيغتها ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺃﺱ زائد ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي صفرًا. حيث ﺃ هو الجزء الحقيقي من حل المعادلة. وقيمته هنا خمسة. وﺏ هو الجزء التخيلي. وقيمته في حل المعادلة واحد.

يمكننا التعويض في الصيغة بما لدينا عن العدد المركب. فنحصل بذلك على ﺱ تربيع ناقص اثنين في خمسة في ﺱ زائد خمسة تربيع زائد واحد تربيع. اثنان في خمسة يساوي ١٠ وخمسة تربيع زائد واحد تربيع يساوي ٢٦. ونلاحظ مجددًا أن لدينا نفس المعادلة التربيعية. ولعلنا أدركنا الآن لماذا توفر هذه الطريقة بعض الوقت.

في هذا الفيديو، تعلمنا أنه يمكننا استخدام القانون العام لحل المعادلات التربيعية أو إكمال المربع لحل المعادلات التي ليس لها جذور حقيقية، وذلك بأن تكون الحلول أعدادًا مركبة. وقد وجدنا أيضًا أن هذه الحلول تكون أزواجًا مترافقة مركبة. كما تعلمنا أنه يمكننا إعادة تكوين معادلة تربيعية بمعلومية إحدى حلولها المركبة. إذا كان الحل ﺃ زائد ﺏﺕ، فإن المعادلة التربيعية ستكون: ﺱ تربيع ناقص اثنين ﺃﺱ زائد ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي صفرًا.