فيديو السؤال: إيجاد معامل الاختلاف لمتغير عشوائي متقطع الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

خضع ١٣ طالبًا لأحد الاختبارات. فحصل ثمانية طلاب على ست درجات، وحصل ثلاثة طلاب على ١٠ درجات، وحصل طالبان على درجتين. إذا كان ﺱ يشير إلى عدد الدرجات التي حصل عليها الطالب، فأوجد معامل اختلاف ﺱ في صورة نسبة مئوية لأقرب جزء من مائة.

معامل اختلاف أي متغير عشوائي متقطع ﺱ هو انحرافه المعياري على صورة نسبة مئوية من قيمته المتوقعة. إذا كان لمتغير عشوائي متقطع ﺱ انحراف معياري، وهو 𝜎ﺱ، ومتوسط لا يساوي صفرًا، وهو ﺩ ﺱ، فإن معامل اختلاف ﺱ يساوي 𝜎ﺱ على ﺩ ﺱ مضروبًا في ١٠٠. إذن، للإجابة عن هذا السؤال، علينا حساب كل من القيمة المتوقعة والانحراف المعياري للمتغير ﺱ. ولكي نفعل ذلك، دعونا أولًا نكتب توزيعه الاحتمالي. يمكننا فعل ذلك باستخدام جدول نكتب في الصف العلوي منه القيم التي يأخذها المتغير العشوائي المتقطع، وتعرف أيضًا بالقيم الموجودة في مدى المتغير العشوائي المتقطع، ثم نكتب في الصف الثاني احتمالات هذه القيم، التي سنشير إليها بـ ﺩ ﺱ لتمثل دالة التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ.

يمثل ﺱ عدد الدرجات التي حصل عليها الطالب. عند النظر جيدًا إلى المعطيات الموجودة في السؤال، نلاحظ أن بعض الطلاب حصلوا على ست درجات، وبعض الطلاب حصلوا على ١٠ درجات، وبعض الطلاب حصلوا على درجتين. إذن، القيم التي تقع في مدى هذا المتغير العشوائي المتقطع هي اثنان وستة و١٠. يمكننا إيجاد احتمالات كل قيمة من هذه القيم باستخدام المعطيات الأخرى المذكورة في السؤال. لدينا ١٣ طالبًا إجمالًا، وحصل ثمانية طلاب منهم على ست درجات. لذا، احتمال أن ﺱ يساوي ستة هو ثمانية على ١٣. حصل ثلاثة طلاب على ١٠ درجات، ومن ثم فإن احتمال أن ﺱ يساوي ١٠ هو ثلاثة على ١٣. وأخيرًا، حصل طالبان على درجتين. لذا، احتمال أن ﺱ يساوي اثنين هو اثنان على ١٣.

مجموع قيم جميع الاحتمالات في دالة التوزيع الاحتمالي يجب أن يساوي واحدًا. ومجموع القيم الثلاث لدينا يساوي واحدًا بالفعل. والآن، بعد أن حصلنا على التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ، يمكننا حساب قيمته المتوقعة وانحرافه المعياري. نتذكر أولًا أن القيمة المتوقعة لـ ﺱ تساوي مجموع كل قيمة من القيم ﺱ مضروبة في قيمة ﺩ ﺱ لها، أو قيمة احتمالها. يمكننا أن نضيف صفًّا آخر إلى الجدول لإيجاد هذه القيم. اثنان مضروبًا في اثنين على ١٣ يعطينا أربعة على ١٣. ستة مضروبًا في ثمانية على ١٣ يعطينا ٤٨ على ١٣. ‏١٠ مضروبًا في ثلاثة على ١٣ يعطينا ٣٠ على ١٣. إذن، القيمة المتوقعة لـ ﺱ هي مجموع هذه القيم الثلاث، وهذا يساوي ٨٢ على ١٣.

علينا بعد ذلك حساب الانحراف المعياري لـ ﺱ، ونتذكر أنه يساوي الجذر التربيعي لتباين ﺱ. وتباين ﺱ يساوي القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع. الفرق في الترميز مهم هنا. فالحد الثاني هو القيمة المتوقعة لـ ﺱ، ونقوم بتربيعها بعد ذلك. هذه هي القيمة التي أوجدناها للتو؛ أي ٨٢ على ١٣، وسوف نقوم بتربيعها في صيغة التباين. أما الحد الأول، فهو القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع. لذا، سنقوم بتربيع القيم ﺱ أولًا ثم سنوجد توقعاتها. الصيغة الصحيحة لحساب ذلك هي مجموع كل قيمة من القيم ﺱ بعد تربيعها وضربها في قيمة ﺩ ﺱ الخاصة بها، التي تؤخذ مباشرة من التوزيع الاحتمالي لـ ﺱ.

نضيف الآن صفًّا آخر إلى الجدول للقيم ﺱ تربيع، وهي أربعة و٣٦ و١٠٠، ثم نضيف صفًّا أخيرًا، نضرب فيه القيم ﺱ تربيع في قيم ﺩ ﺱ. أربعة مضروبًا في اثنين على ١٣ يساوي ثمانية على ١٣. ‏٣٦ مضروبًا في ثمانية على ١٣ يساوي ٢٨٨ على ١٣. ‏١٠٠ مضروبًا في ثلاثة على ١٣ يساوي ٣٠٠ على ١٣. القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع تساوي مجموع هذه القيم الثلاث، وهذا يساوي ٥٩٦ على ١٣.

بعد ذلك، نحسب تباين ﺱ، وهو القيمة المتوقعة لـ ﺱ تربيع؛ أي ٥٩٦ على ١٣، ناقص القيمة المتوقعة لـ ﺱ الكل تربيع؛ أي ناقص ٨٢ على ١٣ تربيع. على صورة كسر، هذا يساوي ١٠٢٤ على ١٦٩. إذن، الانحراف المعياري لـ ﺱ يساوي الجذر التربيعي لهذه القيمة. وبما أن كلًّا من البسط والمقام عدد مربع، يمكن تبسيط ذلك بسهولة إلى ٣٢ على ١٣. بذلك، نكون قد أوجدنا كلًّا من الانحراف المعياري والقيمة المتوقعة لهذا المتغير العشوائي المتقطع ﺱ. ومن ثم، كل ما علينا فعله الآن هو التعويض بهاتين الكميتين في صيغة حساب معامل الاختلاف. نقسم الانحراف المعياري لـ ﺱ؛ أي ٣٢ على ١٣، على القيمة المتوقعة لـ ﺱ؛ أي ٨٢ على ١٣، ثم نضرب في ١٠٠.

القسمة على ٨٢ على ١٣ تكافئ الضرب في مقلوب هذا الكسر، وهو ١٣ على ٨٢. نحذف بعد ذلك العامل المشترك ١٣، وفي الوقت نفسه، نحذف العامل المشترك اثنين. بهذا، يصبح لدينا ١٦ على واحد مضروبًا في واحد على ٤١ الكل مضروب في ١٠٠. هذا يساوي ١٦ على ٤١ مضروبًا في ١٠٠، وهذا يعطينا العدد العشري ٣٩٫٠٢٤٣ وهكذا مع توالي الأرقام. مطلوب منا في السؤال تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة؛ لذا سنقرب هذا لأسفل لنحصل على ٣٩٫٠٢ بالمائة. إذن، الانحراف المعياري لهذا المتغير العشوائي المتقطع ﺱ يساوي ٣٩ بالمائة تقريبًا من قيمته المتوقعة.