فيديو: تقدير النهايات للدوال عند ما لا نهاية بيانيًّا

سوزان فائق

يوضِّح الفيديو مفاهيم: النهايات للدوال وخطوط التقارب الرأسية والأفقية والسلوك المتذبذب للدوال، ويتناول كيفية تقدير نهايات الدوال عند اللانهاية بيانيًّا.

٠٧:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم في الفيديو ده عن تقدير النهايات للدوال عند المالانهاية بيانيًّا. هنشوف إزّاي نعرف قيمة النهاية للدالة عند المالانهاية، من التمثيل البياني. تُستخدم النهايات لوصف سلوك د س، عندما تقترب قيم س من عدد ثابت ك. وتُستخدم النهايات أيضًا لوصف سلوك طرفَي التمثيل البياني للدالة. وهو سلوك الدالة عند ازدياد، أو نقصان قيم س بشكل غير محدّد. والشكل غير المحدّد ده، اللي إحنا بنقصد بيه لغاية المالانهاية، أو للسالب ما لا نهاية.

النهايات عند المالانهاية، إذا اقتربت قيم د س، من عدد وحيد ل واحد. عند ازدياد قيم س بشكل غير محدود. يعني الـ س بتئول للمالانهاية للـ د س، هتساوي ل واحد. وإذا اقتربت قيم د س، من عدد وحيد ل اتنين. عند نقصان قيم س بشكل غير محدود. فإن نهاية د س لمّا الـ س بتئول للسالب ما لا نهاية، هتبقى هي قيمة الـ ل اتنين. يعني هنا هنشوف لمّا الـ س تروح للمالانهاية، أو الـ س تروح للسالب ما لا نهاية؛ قيمة نهاية الدالة هيبقى شكلها إيه. هتبقى مثلًا قيمة ل واحد، أو ل اتنين. ده غير لمّا تكون النهاية لِـ د س، لمّا الـ س بتئول لعدد معيّن، بتساوي ما لا نهاية، أو تساوي سالب ما لا نهاية. نقلب الصفحة، ونشوف إزّاي.

إذا اقتربت قيم الدالة من ما لا نهاية، أو سالب ما لا نهاية، عند اقتراب قيم س من عدد ثابت. فإن ذلك يعني وجود خط تقارب رأسي للدالة. وإذا اقتربت قيم الدالة من عدد حقيقي، عند اقتراب قيم س من ما لا نهاية، أو سالب ما لا نهاية. فإن ذلك يعني وجود خط تقارب أفقي للدالة. يعني في الأولانية، بنتكلم على قيم الدالة، هي اللي رايحة للمالانهاية والسالب ما لا نهاية. لكن في التانية، بنتكلم على قيم الـ س، هي اللي بتروح للمالانهاية، أو السالب ما لا نهاية. في الحالة الأولانية، بيبقى فيه خط تقارب رأسي. في الحالة التانية، بيبقى فيه خط تقارب أفقي.

بمعنى إن الـ س هيساوي الـ ك، هيبقى خط تقارب رأسي للدالة س. إذا كانت نهاية د س بتروح لموجب أو سالب ما لا نهاية، لمّا س بتقترب من الـ ك، من ناحية اليسار. أو نهاية د س لمّا الـ س بتقترب من الـ ك، من ناحية اليمين. بتساوي موجب أو سالب ما لا نهاية، أو كليهما. يبقى الـ س هتساوي ك، ده هيبقى خط تقارب رأسي للدالة. ولكن المستقيم ص هو اللي يساوي الـ ك. هو خط تقارب أفقي للدالة د س. إذا كانت نهاية الـ د س، لمّا الـ س بتئول للمالانهاية، أو الـ س بتئول للسالب ما لا نهاية، هيساوي الـ ك. نقلب الصفحة، وناخد مثال.

قدّر إن أمكن كل نهاية مما يأتي، باستخدام التمثيل البياني للدالة. لمّا واحد على س، عايزين نجيب النهاية بتاعتها، لمّا الـ س بتئول للمالانهاية. وعايزين نجيب سالب تلاتة على س تربيع زائد اتنين، النهاية بتاعتها، لمّا الـ س بتئول للسالب ما لا نهاية.

ناخد المثال الأولاني. هنمثّل الدالة واحد على س بيانيًّا. من الرسم اللي قدامنا، لمّا الـ س بتئول للمالانهاية، يبقى قيمة الدالة هتساوي صفر. يبقى يوضّح التمثيل البياني للدالة د س تساوي واحد على س، أن نهاية الدالة واحد على س، لمّا الـ س بتئول للمالانهاية، يساوي صفر. فكلما زادت قيم س، اقتربت قيم د س من العدد صفر. وهنا يوجد خط تقارب أفقي، لمّا الـ ص تساوي صفر.

عشان نتأكد من الحل بتاعنا، باستخدام جدول القيم، هنعوّض بقيم س تساوي عشرة، ومية، وألف، ومية ألف. هنشوف قيم دالة س هتبقى عامله إزّاي. هتبقى واحد من عشرة، واحد من مية، وهكذا … لغاية ما الرقم هيفضل ينزل ينزل ينزل، لغاية ما يوصل للصفر. يبقى معنى كده إن التحليل البياني بتاعنا صحيح. إن كلما زادت قيم س، اقتربت قيم دالة س من العدد صفر.

نرسم الدالة التانية، اللي في السؤال التاني. اللي هي نهاية سالب تلاتة على س تربيع زائد اتنين، لمّا الـ س بتئول للسالب ما لا نهاية. التمثيل البياني اللي قدامنا بيوضّح د س تساوي سالب تلاتة على س تربيع زائد اتنين. لمّا الـ س بتئول للسالب ما لا نهاية، هنلاقي إن الدالة قيمتها بتقرّب من ص تساوي اتنين. يعني د س تساوي اتنين. وخط التقارب الأفقي هو ص يساوي اتنين. يبقى التحليل البياني … يوضّح التمثيل البياني للدالة د س تساوي سالب تلاتة على س تربيع زائد اتنين … أن نهاية س لمّا تئول للسالب ما لا نهاية للدالة سالب تلاتة على س تربيع زائد اتنين، هيساوي اتنين. فكلما قلّت قيم س، اقتربت قيم دالة س من العدد اتنين.

وتدعيم الحل باستخدام جدول القيم. هنلاقي إن الـ س كل ما تصغر عشان توصل للسالب ما لا نهاية، دالة س هتقترب من القيمة اتنين. يبقى هنا خط التقارب الأفقي، هو ص يساوي اتنين. وفي المثال الأولاني، خط التقارب الأفقي، هو ص يساوي صفر. نقلب الصفحة، وناخد مثال كمان هيوضّح لنا خاصية من خواص الدوال.

لو عندنا دالة هـ أُس س مضروبة في الـ جا تلاتة 𝜋 س. وعايزين نجيب النهاية لها لمّا الـ س تئول للسالب ما لا نهاية، ولمّا الـ س تئول للمالانهاية. نستخدم الآلة الحاسبة، ونرسم الدالة دي. الرسم اللي قدامنا ده بيوضّح دالة س هـ أُس س مضروبة في الـ جا تلاتة 𝜋 س. من الرسم هنلاحظ إن لمّا الـ س بتئول للسالب ما لا نهاية، الدالة قيمتها بتقرّب من الصفر. لكن نهاية الـ س لمّا تئول للمالانهاية، بتتراوح ما بين قيمتين.

يبقى معنى كده إن لمّا الـ س بتئول للسالب ما لا نهاية، قيمة النهاية هتبقى صفر. فكلما قلّت قيمة س، تذبذبت قيم دالة س، مقتربة من العدد صفر. ولكن نهاية الدالة لمّا الـ س بتئول للمالانهاية، غير موجودة. فكلما زادت قيم س، تذبذبت قيم دالة س، متباعدة. يبقى فيه قيمة للنهاية في الحالة س بتئول للسالب ما لا نهاية. والنهاية غير موجودة في حالة الـ س بتئول للمالانهاية.

يبقى نلاحظ إن التذبذب اللانهائى للدالة، لا يعني بالضرورة عدم وجود نهاية. عندما تقترب س من ما لا نهاية، أو السالب ما لا نهاية. فإذا كان التذبذب بين قيمتين مختلفتين، فالنهاية غير موجودة. لكن لو كان التذبذب متقارب نحو عدد معيّن، فالنهاية موجودة.

اتكلمنا في الفيديو ده عن تقدير النهايات للدوال عند المالانهاية بيانيًّا. وعرفنا يعني إيه خط التقارب الرأسي، وخط التقارب الأفقي، وعرفنا الفرق ما بينهم. وعرفنا إيه السلوك المتذبذب. إمتى بيكون فيه نهاية، وإمتى ما بيكونش فيه نهاية، في حالة وجود تذبذُب في الدالة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.