فيديو السؤال: تحديد فترة تكون فيها دالتان تربيعيتان بالإشارة نفسها الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد الفترة التي تكون فيها إشارتا الدالتين ﺩﺱ تساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ ناقص ٣٠، وﺭﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص ١٠ سالبتين في مجموعة الأعداد الحقيقية.

يمكننا البدء بالنظر إلى الدالة ﺩﺱ، التي تساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ ناقص ٣٠. وبما أننا نريد أن تكون إشارة هذه الدالة سالبة، فهذا يعني أننا نريد أن تكون قيمتها أصغر من صفر. لحل هذه المتباينة، اثنان ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ ناقص ٣٠ أصغر من صفر، علينا أولًا إيجاد القيمتين اللتين عندهما تكون قيمة الدالة مساوية لصفر. يمكننا فعل ذلك بتحليل الطرف الأيمن إلى مجموعتين من الأقواس. الحدان الأوليان في كل من القوسين هما اثنان ﺱ وﺱ؛ لأن اثنين ﺱ مضروبًا في ﺱ يساوي اثنين ﺱ تربيع. أما حاصل ضرب الحدين الثانيين فلا بد أن يساوي سالب ٣٠. خمسة مضروبًا في سالب ستة يعطينا سالب ٣٠.

إذا أردنا فك القوسين، فسنحصل على اثنين ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ زائد خمسة ﺱ ناقص ٣٠، ما يمكن تبسيطه إلى اثنين ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ ناقص ٣٠. ويمكننا الآن حل ذلك بمساواة ما بداخل كل قوسين بصفر. وبطرح خمسة من كلا طرفي المعادلة الأولى، نحصل على اثنين ﺱ يساوي سالب خمسة. ثم بقسمة كلا طرفي هذه المعادلة على اثنين، نحصل على ﺱ يساوي سالب خمسة على اثنين أو سالب اثنين ونصف. وبإضافة ستة إلى كلا طرفي المعادلة الثانية، نحصل على ﺱ يساوي ستة. إذن حلا المعادلة التربيعية اثنان ﺱ تربيع ناقص سبعة ﺱ ناقص ٣٠ يساوي صفرًا هما ﺱ يساوي سالب خمسة على اثنين وﺱ يساوي ستة.

يمكننا توضيح ذلك من خلال تمثيل بياني. تتقاطع الدالة التربيعية ﺩﺱ مع محور ﺱ عند سالب خمسة على اثنين وستة. ومن ثم يمكننا ملاحظة أن إشارة الدالة سالبة، أي قيمتها أقل من صفر، بين سالب خمسة على اثنين وستة. ويمكن كتابة ذلك باستخدام علامات المتباينة؛ حيث ﺱ أكبر من سالب خمسة على اثنين وأصغر من ستة. وبدلًا من ذلك، يمكننا استخدام ترميز الفترة ويكون لدينا الفترة المفتوحة من سالب خمسة على اثنين إلى ستة. لننظر الآن إلى الدالة الثانية ﺭﺱ التي تساوي ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ ناقص ١٠. ومرة أخرى، نريد أن تكون إشارة هذه الدالة سالبة أو قيمتها أصغر من صفر. مرة أخرى نساوي الدالة التربيعية بصفر، ويمكننا التحليل لنحصل على ﺱ ناقص خمسة مضروبًا في ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. هذا يعني أن ﺱ ناقص خمسة يساوي صفرًا أو ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا.

بإضافة خمسة إلى كلا طرفي المعادلة الأولى، نحصل على ﺱ يساوي خمسة. وبطرح اثنين من كلا طرفي المعادلة الثانية، نحصل على ﺱ يساوي سالب اثنين. وهذا يعطينا أيضًا القيمتين اللتين تكون عندهما قيمة الدالة تساوي صفرًا. عند رسم الدالة مرة أخرى، نجد أن ﺭﺱ إشارتها سالبة بين سالب اثنين وخمسة. ويمكننا أيضًا كتابة ذلك باستخدام علامات المتباينة أو ترميز الفترة. فتكون إشارة الدالة ﺭﺱ سالبة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب اثنين وأصغر من خمسة.

نريد تحديد الفترة التي تكون فيها إشارتا الدالتين سالبتين. دعونا نفترض وجود خط أعداد عليه القيم الرئيسية الأربع وهي سالب خمسة على اثنين، وسالب اثنين، وخمسة، وستة. نعلم أن إشارة ﺩﺱ سالبة في الفترة المفتوحة من سالب خمسة على اثنين إلى ستة. وإشارة ﺭﺱ سالبة في الفترة المفتوحة من سالب اثنين إلى خمسة. وبما أننا نريد أن تكون إشارتا الدالتين سالبتين، فيمكن ملاحظة أن هذا يتحقق بين سالب اثنين وخمسة. وتكون الإجابة الصحيحة هي الفترة المفتوحة من سالب اثنين إلى خمسة.