فيديو السؤال: حل المعادلات المثلثية التي تتضمن زوايا خاصة الرياضيات

إذا كانت 𝜃 ∈ [٠°‎، ١٨٠°[، جا 𝜃 + جتا 𝜃 = ١، فأوجد قيم 𝜃 المحتملة.

٠٣:١١

‏نسخة الفيديو النصية

إذا كانت 𝜃 قياسها يقع بين صفر درجة و١٨٠ درجة، متضمنا الصفر وليس متضمنًا ١٨٠، وجا 𝜃 زائد جتا 𝜃 يساوي واحدًا، فأوجد قيم 𝜃 المحتملة.

إذا نظرنا إلى المعادلة جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 يساوي واحدًا، نجد أنه يمكننا حلها لإيجاد قيم 𝜃. الخطوة الأولى التي سنتخذها هي تربيع كلا طرفي المعادلة. هذا يعطينا جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 الكل تربيع يساوي واحد تربيع. ولتربيع جا 𝜃 زائد جتا 𝜃، علينا أن نضرب التعبير جا 𝜃 زائد جتا 𝜃 في نفسه. وواحد تربيع يساوي واحدًا.

يمكننا فك الأقواس باستخدام طريقة ضرب حدي القوس الأول في حدي القوس الثاني. في البداية، سنضرب جا 𝜃 في جا 𝜃. وهذا يعطينا جا تربيع 𝜃. بعد ذلك، سنضرب جا 𝜃 في جتا 𝜃. وهذا يساوي جا 𝜃 جتا 𝜃. خطوتنا التالية هي ضرب الوسطين؛ أي جتا 𝜃 وجا 𝜃. وهذا يعطينا جا 𝜃 جتا 𝜃 أيضًا. وأخيرًا، سنضرب الحدين الأخيرين لنحصل على جتا تربيع 𝜃؛ لأن جتا 𝜃 مضروبًا في جتا 𝜃 يساوي جتا تربيع 𝜃.

يتبقى لدينا الآن جا تربيع 𝜃 زائد جا 𝜃 جتا 𝜃 زائد جا 𝜃 جتا 𝜃 أيضًا زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. يمكننا تبسيط ذلك إلى جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 زائد اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃 يساوي واحدًا. وخطوتنا التالية هي استخدام متطابقتين من المتطابقات المثلثية. بداية، جا تربيع 𝜃 زائد جتا تربيع 𝜃 يساوي واحدًا. وهذا يعطينا واحدًا زائد اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃 يساوي واحدًا. يمكننا طرح واحد من كلا طرفي هذه المعادلة. ومن ثم، هذا يعطينا اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃 يساوي صفرًا. تنص إحدى صيغ ضعف الزاوية على أن جا اثنين 𝜃 يساوي اثنين جا 𝜃 جتا 𝜃. وهذا يعني أنه يمكن تبسيط هذه المعادلة إلى جا اثنين 𝜃 يساوي صفرًا.

سنحاول الآن حل المعادلة لإيجاد القيم التي تقع بين صفر و١٨٠ درجة. يتضح من التمثيل البياني لمنحنى جا 𝜃 أو جا اثنين 𝜃 أن القيمة العظمى التي يصل إليها تساوي واحدًا والقيمة الصغرى التي يصل إليها تساوي سالب واحد. والقيمة العظمى لمنحنى جا اثنين 𝜃 تكون عند 𝜃 تساوي ٤٥ درجة، أما القيمة الصغرى له تكون عند 𝜃 تساوي ١٣٥ درجة. نحن نريد القيم التي عندها جا اثنين 𝜃 يساوي صفرًا. ويتضح لنا من التمثيل البياني أن هذا يحدث عند ثلاث نقاط؛ وهي عند 𝜃 تساوي صفر درجة و٩٠ درجة و١٨٠ درجة. لقد طلب منا السؤال إيجاد قيم أكبر من أو تساوي صفرًا، وأصغر من ١٨٠ درجة. هذا يعني أن قيمتي 𝜃 المحتملتين اللتين تحققان المعادلة في هذا المدى هما 𝜃 تساوي صفر درجة و٩٠ درجة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.