نسخة الفيديو النصية
في أي ربع تقع 𝜃 إذا كان جا 𝜃 أكبر من صفر وجتا 𝜃 أكبر من صفر؟
لنفترض أن لدينا دائرة الوحدة. تذكر أن نصف قطر هذه الدائرة يساوي واحدًا. ويمكننا إضافة قيم 𝜃 التالية إلى التمثيل البياني بالتحرك عكس اتجاه دوران عقارب الساعة. نبدأ من صفر. هذه النقطة هي 𝜋 على اثنين راديان أو ٩٠ درجة، تليها النقطة 𝜋 راديان، ثم ثلاثة 𝜋 على اثنين، ونعود أخيرًا إلى اثنين 𝜋، أو ٣٦٠ درجة. يطلب منا السؤال تحديد قيمة 𝜃 إذا كانت قيمة كل من جا 𝜃 وجتا 𝜃 موجبة.
تذكر أن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. دعونا نبدأ باختيار قيمة 𝜃 التي تقع في الربع الأول. إذن، هذا يعني أن قيمة 𝜃 هذه يجب أن تكون بين صفر و𝜋 على اثنين.
يمكننا أن نسمي هذا الزوج المرتب ﺃ، ﺏ؛ حيث ﺃ وﺏ عددان حقيقيان موجبان. إذن، يمكننا إنشاء مثلث قائم الزاوية حيث الضلع المجاور لـ 𝜃 هو ﺃ والضلع المقابل لـ 𝜃 هو ﺏ.
بما أن هذه هي دائرة الوحدة، فإننا نعرف أيضًا أن طول الوتر يساوي واحدًا. دعونا نعوض بالقيم المناظرة في معادلة كل من جا 𝜃 وجتا 𝜃. إن جا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر. في هذه الحالة، يكون ﺏ على واحد، وهو ما يعطينا ﺏ.
ذكرنا أن قيمة ﺏ يجب أن تكون عددًا حقيقيًّا موجبًا. وعليه، فإن قيمة جا 𝜃 في هذا الربع أكبر من صفر. أي إنها قيمة موجبة. وجتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. طول الضلع المجاور في هذا المثلث القائم الزاوية هو ﺃ وطول الوتر يساوي واحدًا. إذن، جتا 𝜃 هو ﺃ على واحد، أو ﺃ.
بما أن ﺃ يقع في الربع الأول، فيجب أن يكون عددًا حقيقيًّا موجبًا. إذن، جتا 𝜃 أكبر من صفر. هذا يعني أن قيمته موجبة أيضًا. ومن ثم، إذا كانت قيمة كل من جا 𝜃 وجتا 𝜃 أكبر من صفر، فإن 𝜃 تقع في الربع الأول.
