نسخة الفيديو النصية
ابحث سلوك د ﺱ يساوي اثنين جتا واحد على ﺱ عندما يقترب ﺱ من صفر.
الجزء الأول من هذا السؤال هو إكمال جدول قيم د ﺱ لقيم ﺱ التي تقترب من صفر. وإذا نظرنا إلى قيم ﺱ المعطاة في الجدول، فسوف نجدها فعلًا تقترب من الصفر أكثر فأكثر. فواحد على ٩٩𝜋 صغير إلى حد ما بالفعل. لكن واحدًا على ١٠٠𝜋 أصغر من ذلك، وأقرب إلى الصفر. ومع الاستمرار نحو الصفر، نجد أن واحدًا على ٩٩٩𝜋 أصغر وأصغر. حسنًا، لنبدأ الآن إكمال جدول القيم هذا.
في الخانة الأولى التي علينا ملؤها، نضع قيمة د لواحد على ٩٩𝜋. لكن ما هذه القيمة؟ يمكننا إيجاد هذه القيمة باستخدام تعريف الدالة د. د ﺱ يساوي اثنين جتا واحد على ﺱ. إذن، د لواحد على ٩٩𝜋 يساوي اثنين جتا واحد على واحد على ٩٩𝜋. واحد على واحد على ٩٩𝜋 يساوي ٩٩𝜋. إذن، يمكننا تبسيط ذلك للحصول على اثنين جتا٩٩𝜋. ما قيمة جتا٩٩𝜋؟ إن الدالة جتا دالة دورية. وطول دورتها—بافتراض أننا نستخدم الراديان، وهو ما نستخدمه هنا—يساوي اثنين 𝜋. توجد طريقة أخرى للتعبير عن ذلك، وهي أن قيمة جتاﺱ زائد اثنين 𝜋 هي نفسها قيمة جتاﺱ. وبتطبيق هذه القاعدة مرتين، نجد أن جتاﺱ زائد أربعة 𝜋 يساوي جتاﺱ زائد اثنين 𝜋، وهو ما يساوي جتاﺱ.
بتكرار هذه العملية، يمكننا ملاحظة أن جتاﺱ زائد اثنين 𝜋ﻥ، لأي عدد طبيعي ﻥ، يساوي جتاﺱ. وفي الواقع، من خلال الحل في الجهة العكسية، يمكننا إثبات أن هذا ينطبق على الأعداد الصحيحة السالبة ﻥ أيضًا. وعليه، فإن النتيجة صحيحة لأي عدد صحيح ﻥ. حسنًا، لكن كيف تساعد هذه النتيجة على تبسيط اثنين جتا٩٩𝜋 ؟ يمكننا كتابة ٩٩𝜋 على صورة 𝜋 زائد اثنين 𝜋 في ٤٩. ومن ثم، وباستخدام هذه القاعدة، نحصل على اثنين جتا𝜋. توجد طريقة أخرى للتفكير في ذلك، وهي أننا إذا واصلنا طرح اثنين 𝜋 من ٩٩𝜋، فسنحصل في النهاية على 𝜋 فقط. وبما أن جتا𝜋 يساوي سالب واحد، فإن اثنين في جتا𝜋 يساوي سالب اثنين. وبذلك نكون قد أوجدنا قيمة د لواحد على ٩٩𝜋.
الآن، علينا إيجاد القيمة التالية في الجدول. والخطوات هي نفسها تقريبًا. نستخدم تعريف الدالة د وحقيقة أن واحدًا على واحد على ١٠٠𝜋 يساوي ١٠٠𝜋. لكن هذه المرة بما أن ١٠٠𝜋 أحد المضاعفات الزوجية لـ 𝜋، فإننا ننتهي إلى الصفر عند مواصلة طرح اثنين 𝜋 منه. ومن ثم، نجد أن د لواحد على ١٠٠𝜋 يساوي اثنين جتا صفر. وبما أن جتا صفر يساوي واحدًا، فإن اثنين جتا صفر يساوي اثنين. نضع هذا العدد اثنين في الجدول وننتقل إلى العنصر التالي.
د لواحد على ٩٩٩𝜋 يساوي اثنين جتا واحد على واحد على ٩٩٩𝜋 وهو ما يساوي اثنين جتا ٩٩٩𝜋. وبما أن ٩٩٩ عدد فردي، فإن قيمة جتا ٩٩٩𝜋 تساوي قيمة جتا𝜋. وكما هي الحال مع د لواحد على ٩٩𝜋، بما أن جتا𝜋 يساوي سالب واحد، فإن د لواحد على ٩٩٩𝜋 يساوي سالب اثنين. وبدلًا من استخدام الطريقة نفسها لملء الفراغات الثلاثة المتبقية في الجدول، فسوف نستخدم النمط الذي توصلنا إليه.
فعندما يكون ﺱ هو كسر وحدة مقامه هو أحد مضاعفات 𝜋 الفردية، تكون قيمة د ﺱ هي سالب اثنين. ويمكننا إثبات ذلك إذا أردنا. يمكن التعبير عن أي عدد فردي على صورة اثنين ﻙ زائد واحد؛ حيث ﻙ عدد طبيعي. وباتباع الخطوات التي توصلنا إليها، نجد أن د لواحد على اثنين ﻙ زائد واحد 𝜋 يساوي سالب اثنين. أوقف الفيديو مؤقتًا إذا أردت مزيدًا من التأمل لذلك.
وعلى وجه التحديد، بما أن ٩٩٩٩ عدد فردي، فعند ﺱ يساوي واحدًا على ٩٩٩٩𝜋، فإن د ﺱ يساوي سالب اثنين.
ومن ثم، يغطي ذلك الحالة التي يكون فيها مقام كسر الوحدة مضاعفًا فرديًّا لـ 𝜋. لكن ماذا عن المضاعفات الزوجية لـ 𝜋؟ بكتابة الصورة العامة للعدد الزوجي على صورة اثنين في ﻙ، نجد أنه عند ﺱ يساوي واحدًا على المضاعف الزوجي لـ 𝜋، فإن د ﺱ يساوي اثنين. وبذلك، فإن كلًّا من د لواحد على ١٠٠٠𝜋 ود لواحد على ١٠٠٠٠𝜋 يساوي اثنين. وربما نود أيضًا تلخيص الأمرين اللذين توصلنا إليهما، وهما أن د لواحد على اثنين ﻙ𝜋 يساوي اثنين، وأن د لواحد على اثنين ﻙ زائد واحد 𝜋 يساوي سالب اثنين، لأي عدد طبيعي ﻙ.
لننتقل الآن إلى الجزء التالي من السؤال. إلى ماذا يشير ذلك بالنسبة إلى منحنى د بالقرب من الصفر؟ حسنًا، رأينا لبعض قيم ﺱ الصغيرة جدًّا في الجدول أن د ﺱ يمكن أن تكون سالب اثنين أو اثنين. ورأينا مما توصلنا إليه أن د لواحد على اثنين ﻙ𝜋 يساوي اثنين، ود لواحد على اثنين ﻙ زائد واحد 𝜋 يساوي سالب اثنين. ورأينا كذلك أنه كلما اقتربنا من الصفر، أمكننا إيجاد قيمة أصغر لـ ﺱ يكون عندها د ﺱ يساوي اثنين أو د ﺱ يساوي سالب اثنين. إذن، ما الذي يشير إليه ذلك بالنسبة إلى منحنى د بالقرب من الصفر؟ إنه يشير إلى أن المنحنى يتذبذب بين سالب اثنين واثنين.
وقد نود التحقق من أن هذا منطقي، وذلك إذا تأملنا تعريف الدالة د، وهو د ﺱ يساوي اثنين جتا واحد على ﺱ. أيًّا كانت قيمة ﺱ، فإن واحدًا على ﺱ يساوي عددًا ما. إذن، فقيمة د ﺱ يساوي اثنين في جتا أي عدد تكون محصورة بين سالب اثنين واثنين، وتشملهما. لذا، فمن المؤكد أن الدالة لا يمكن أن تتذبذب بقيمة أكبر من القيمة المطلقة لهاتين القيمتين. وأيضًا بالنظر إلى الجدول، ربما تظن أن د ﺱ لا تأخذ سوى قيمتين محتملتين، هما سالب اثنين أو اثنين. لكن في الواقع، تأخذ الدالة قيمًا بين سالب اثنين واثنين كذلك. وهذا يعني أن قيم ﺱ في الجدول قد اختيرت للحصول على هذه القيم القصوى. وربما تود التفكير في كيفية إيجاد قيم ﺱ التي تكون عندها د ﺱ تساوي صفرًا أو واحدًا أو سالب ١٫٥.
ننتقل إلى الجزء الثالث والأخير من السؤال «بناء على ذلك، أوجد قيمة نهاية د ﺱ عندما يقترب ﺱ من صفر». حسنًا، لقد رأينا أنه عندما يقترب ﺱ من، أو يئول إلى صفر، تتذبذب د ﺱ بين سالب اثنين واثنين. وعليه، فإن قيمة د ﺱ لا تقترب من عدد حقيقي معين. ومن ثم، فلا يمكن أن تكون نهاية د ﺱ عندما يقترب ﺱ من الصفر مساوية لأي عدد حقيقي. وبما أن د دالة محصورة بين قيمتين، بحيث تأخذ قيمًا تتراوح بين سالب اثنين واثنين، فلا يمكن أيضًا أن تكون النهايات غير محدودة. والاستنتاج الوحيد الذي يمكننا التوصل إليه هو أن النهاية غير موجودة.
والآن، الغرض من هذا السؤال هو حل كل ذلك دون الاعتماد على المنحنى. لكن الآن بعد أن توصلنا إلى الحل، يمكنك استخدام آلة حاسبة بيانية أو برنامج بياني لاستعراض منحنى د. وكما ترى من المنحنى المصغر الذي أعرضه على الشاشة، فإن شيئًا غريبًا جدًّا يحدث بالقرب من نقطة الأصل.
