نسخة الفيديو النصية
تحتوي حقيبة على تسع كرات بنفسجية وست كرات زرقاء. إذا سحبت كرتان واحدة بعد الأخرى دون إحلال، فأوجد احتمال أن تكون إحداهما زرقاء والأخرى بنفسجية.
إحدى طرق الإجابة عن سؤال من هذا النوع هي رسم مخطط شجرة بيانية. نحن نعلم أنه تم اختيار كرتين، وكل كرة يمكن أن تكون بنفسجية أو زرقاء. هذا يعني أن هناك أربع نواتج مختلفة. يمكننا اختيار كرتين بنفسجيتين كما هو موضح في المسار العلوي. أو يمكننا سحب كرة بنفسجية ثم كرة زرقاء أو كرة زرقاء ثم كرة بنفسجية. وأخيرًا، يمكن سحب كرتين زرقاوين من الحقيبة. وبما أننا نريد إيجاد احتمال أن تكون إحدى الكرتين زرقاء والأخرى بنفسجية، فسنركز على المسارين الأوسطين؛ كرة بنفسجية وكرة زرقاء أو كرة زرقاء وكرة بنفسجية.
يمكننا الآن كتابة الاحتمالات على فروع مخطط الشجرة البيانية. هناك تسع كرات بنفسجية، و١٥ كرة إجمالًا. وعليه، فإن احتمال أن تكون الكرة الأولى بنفسجية هو تسعة من ١٥. وبما أن هناك ست كرات زرقاء، فإن احتمال أن تكون الكرة الأولى زرقاء هو ستة من ١٥. يجب أن يكون هذان الكسران مكملين أحدهما للآخر؛ أي مجموعهما يساوي واحدًا.
وبما أن الكرة لم تتم إعادتها، فإن الاحتمالات عند سحب الكرة الثانية ستكون من عينة مكونة من ١٤ كرة. إذا كانت الكرة المسحوبة أولًا بنفسجية، فسيتبقى ثماني كرات بنفسجية في الحقيبة. ومن ثم، فإن احتمال أن تكون الكرة الثانية بنفسجية هو ثمانية على ١٤. واحتمال أن تكون الكرة الثانية زرقاء إذا كانت الكرة الأولى بنفسجية هو ستة على ١٤؛ إذ لا تزال هناك ست كرات زرقاء في الحقيبة. لكن إذا كانت الكرة المسحوبة أولًا زرقاء، فسيكون احتمال أن تكون الكرة الثانية بنفسجية هو تسعة من ١٤. واحتمال أن تكون زرقاء هو خمسة من ١٤.
إننا نتذكر أنه عند التحرك على امتداد فروع مخططات الشجرة البيانية، علينا ضرب الاحتمالات. وهذا لأننا نستخدم قاعدة «التقاطع». لحساب احتمال أن تكون الكرة الأولى بنفسجية والثانية زرقاء، علينا ضرب تسعة على ١٥ في ستة على ١٤. سنختصر هذين الكسرين، وبذلك يكون لدينا ثلاثة على خمسة مضروبًا في ثلاثة على سبعة. ضرب البسطين يعطينا تسعة، وضرب المقامين يعطينا ٣٥. وعليه، فإن احتمال سحب كرة بنفسجية ثم كرة زرقاء هو تسعة من ٣٥.
يمكننا تكرار هذه العملية مع الكرة الزرقاء ثم الكرة البنفسجية. هذه المرة، سنضرب ستة على ١٥ في تسعة على ١٤. يختصر ستة على ١٥ إلى اثنين على خمسة. يمكننا أيضًا التبسيط أو إجراء الاختزال التبادلي، وبذلك يتبقى لدينا واحد على خمسة مضروبًا في تسعة على سبعة. مرة أخرى، هذا يعطينا الإجابة تسعة على ٣٥.
بما أن هناك طريقتين مختلفتين للحصول على كرة زرقاء وكرة بنفسجية، فإننا نحصل إما على كرة بنفسجية وكرة زرقاء وإما على كرة زرقاء وكرة بنفسجية. نحن نتذكر أن قاعدة «الاتحاد» في الاحتمال تعني الجمع. إذن، علينا جمع تسعة على ٣٥ وتسعة على ٣٥. وبما أن المقامين متساويان، فسنجمع البسطين فقط، وهو ما يعطينا ١٨ على ٣٥. إذن، احتمال سحب كرتين إحداهما زرقاء والأخرى بنفسجية هو ١٨ على ٣٥ أو ١٨ من ٣٥.
