نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المسائل المتعلقة باتزان جسم على مستوى مائل خشن. سنبدأ باسترجاع بعض التعريفات الأساسية.
في الكثير من مسائل الرياضيات، يفترض أن يكون السطح أملس. وهذا يعني أنه لن تكون هناك قوة احتكاك، ولكن عند التعامل مع سطح خشن، ستكون هناك مقاومة احتكاك. عندما تكون قوة الاحتكاك بأكبر قيمة لها، فهذا يعرف باسم «قوة الاحتكاك النهائي». وإذا ظل الجسم ساكنًا في هذه الحالة، فإنه يكون في حالة اتزان نهائي. هنا، يكون مجموع القوى الموازية للمستوى ومجموع القوى العمودية عليه كلاهما مساويًا لصفر.
يمكن حساب معامل الاحتكاك، الذي يرمز إليه بـ ﻡ، بقسمة قوة الاحتكاك على قوة رد الفعل العمودي. هذا يعني أن قوة الاحتكاك ﺣ تساوي ﻡ مضروبًا في قوة رد الفعل العمودي ﺭ. تكتب قوة رد الفعل العمودي أحيانًا بالصورة: ﺭ أو ﻕﺭ. وتقع قيمة معامل الاحتكاك ﻡ بين صفر وواحد، متضمنًا العددين. سنمثل الآن كيف يبدو ذلك في مخطط جسم حر، وسنحلل القوى إلى مركبات موازية للمستوى ومركبات عمودية عليه.
سننظر إلى جسم مستقر على مستوى مائل كما هو موضح في الشكل. زاوية الميل هي ﻫ. إذا كانت كتلة الجسم هي ﻙ كيلوجرام، فستكون هناك قوة رأسية مؤثرة لأسفل تساوي وزنه. وهذه القوة تساوي الكتلة مضروبة في عجلة الجاذبية. في هذا الفيديو، سنفترض أن ﺩ يساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. وقوة رد الفعل العمودي ﺭ ستكون عمودية على المستوى كما هو موضح في الشكل. إذا كان الجسم في حالة اتزان نهائي وعلى وشك الانزلاق لأسفل المستوى، فستكون هناك قوة احتكاك ﺣ موازية للمستوى ومؤثرة لأعلى. وعندما يكون الجسم في حالة اتزان نهائي، فإن محصلة القوى تساوي صفرًا. إذن، يمكننا تحليل القوى إلى مركبات موازية للمستوى ومركبات عمودية عليه في ضوء معرفتنا بأن مجموع القوى في الاتجاهين سيساوي صفرًا. وقد نرى أحيانًا رمزي اختصار المركبات الموازية والعمودية.
بما أن قوة الوزن تؤثر رأسيًّا لأسفل، علينا أولًا إيجاد المركبات الموازية للمستوى والمركبات العمودية عليه. ونفعل ذلك بالاستعانة بمعرفتنا بحساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. نحن نعرف أن جيب الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وجيب تمام الزاوية 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. وقد أسمينا الضلع المقابل للزاوية ﻫ بـ ﺱ، والضلع المجاور لها بـ ﺹ. إذن، جا ﻫ يساوي ﺱ على ﻙﺩ، وجتا ﻫ يساوي ﺹ على ﻙﺩ. يمكننا بعد ذلك ضرب طرفي هاتين المعادلتين في ﻙﺩ. هذا يعني أن مركبة قوة الوزن الموازية للمستوى تساوي ﻙﺩ جا ﻫ، ومركبة قوة الوزن العمودية على المستوى تساوي ﻙﺩ جتا ﻫ.
عند تحليل القوى في الاتجاه الموازي للمستوى، بحيث يكون الاتجاه لأسفل هو الاتجاه الموجب، نجد أن ﻙﺩ جا ﻫ ناقص ﺣ يساوي صفرًا. وبتحليل القوى في الاتجاه العمودي على المستوى، فإن محصلة القوى تساوي ﺭ ناقص ﻙﺩ جتا ﻫ. وهذا يساوي صفرًا أيضًا. كما نعلم أنه عندما يكون الجسم في حالة اتزان نهائي، فإن قوة الاحتكاك ﺣ تساوي ﻡ مضروبًا في قوة رد الفعل العمودي. سنتناول الآن بعض الأسئلة التي علينا فيها تحليل القوى إلى مركبات موازية للمستوى ومركبات عمودية عليه، بالإضافة إلى استخدام المعادلة: ﺣ يساوي ﻡﺭ؛ لإيجاد القيم المجهولة.
جسم وزنه ٦٠ نيوتن يرتكز على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية جيبها ثلاثة أخماس. سحب الجسم لأعلى عن طريق قوة مقدارها ٦٣ نيوتن تؤثر على الجسم بالتوازي مع خط أكبر ميل. إذا كان الجسم عند النقطة التي يوشك أن يتحرك منها إلى أعلى المستوى، فأوجد معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى.
سنبدأ برسم شكل لتمثيل المسألة. نحن نعلم من المعطيات أن وزن الجسم ٦٠ نيوتن. لذا، ستكون هناك قوة رأسية مؤثرة لأسفل تساوي ٦٠ نيوتن. يميل المستوى على الأفقي بزاوية ﻫ؛ حيث جا ﻫ يساوي ثلاثة أخماس. ونعلم أيضًا أن الجسم قد سحب لأعلى عن طريق قوة مقدارها ٦٣ نيوتن تؤثر على الجسم بالتوازي مع خط أكبر ميل. لذا، ستكون هناك قوة رد فعل عمودي ﺭ تؤثر عموديًّا على المستوى. وبما أن الجسم على وشك الحركة إلى أعلى المستوى، فستكون قوة الاحتكاك موازية للمستوى وتؤثر إلى أسفل.
بما أن الجسم في حالة اتزان نهائي، فإن محصلة القوى تساوي صفرًا. ولا توجد عجلة. علينا إذن تحليل القوى إلى مركبات موازية للمستوى، ومركبات عمودية عليه. لكن قبل القيام بذلك، علينا إيجاد مركبة قوة الوزن الموازية للمستوى والعمودية عليه. وسنفعل ذلك بالاستعانة بمعرفتنا بحساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية. نحن نعرف أن جيب الزاوية يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وجيب تمام الزاوية يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر. هذا يعني أن القوة الموازية للمستوى تساوي ٦٠ جا ﻫ، والقوة العمودية على المستوى تساوي ٦٠ جتا ﻫ.
بالنظر إلى ثلاثية فيثاغورس لمثلث أطوال أضلاعه هي: ثلاثة، أربعة، خمسة؛ نجد أنه إذا كان جا ﻫ يساوي ثلاثة أخماس، فإن جتا ﻫ يساوي أربعة أخماس. وبتحليل القوى إلى مركبات موازية للمستوى، نحصل على المعادلة: ٦٣ ناقص ٦٠ جا ﻫ ناقص قوة الاحتكاك يساوي صفرًا. وبتحليل القوى إلى مركبات عمودية على المستوى، نحصل على المعادلة: ﺭ ناقص ٦٠ جتا ﻫ يساوي صفرًا. يمكننا الآن حل هاتين المعادلتين لحساب قوة الاحتكاك وقوة رد الفعل العمودي. بإضافة ﺣ إلى طرفي المعادلة الأولى والتعويض عن جا ﻫ بثلاثة أخماس، نحصل على: ٦٣ ناقص ٦٠ في ثلاثة أخماس يساوي ﺣ. يبسط الطرف الأيسر من المعادلة إلى ٦٣ ناقص ١٢ في ثلاثة، وهو ما يساوي ٢٧. إذن، قوة الاحتكاك تساوي ٢٧ نيوتن. وبالتعويض بقيمة جتا ﻫ، تصبح المعادلة الثانية هي: ﺭ يساوي ٦٠ في أربعة أخماس. وهذا يعطينا ﺭ يساوي ٤٨. إذن، قوة رد الفعل العمودي تساوي ٤٨ نيوتن.
المطلوب منا هنا هو إيجاد معامل الاحتكاك. ونحن نعرف أن قوة الاحتكاك تساوي ﻡ، وهو معامل الاحتكاك، مضروبًا في قوة رد الفعل العمودي. بالتعويض بالقيمتين اللتين لدينا، نحصل على: ٢٧ يساوي ﻡ في ٤٨. وبقسمة طرفي هذه المعادلة على ٤٨، نحصل على ﻡ: يساوي ٢٧ على ٤٨. وبما أن كلًّا من البسط والمقام يقبل القسمة على ثلاثة، يمكن تبسيط ذلك إلى تسعة على ١٦ أو تسعة من ١٦. وهذا هو معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى.
في السؤال التالي، علينا حساب الشد في خيط مربوط بجسم على مستوى مائل.
وضع جسم وزنه ٥٦ نيوتن على مستوى خشن يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٣٠ درجة. معامل الاحتكاك بين الجسم والمستوى يساوي جذر ثلاثة على ستة. سحب الجسم لأعلى بخيط فصنع زاوية قياسها ٣٠ درجة مع خط أكبر ميل للمستوى. أوجد أقل شد لازم في الخيط ليصبح الجسم على وشك الحركة في اتجاه أعلى المستوى.
سنبدأ برسم مخطط جسم حر. قياس زاوية ميل المستوى ٣٠ درجة، ووزن الجسم ٥٦ نيوتن. إذن، تؤثر هذه القوة رأسيًّا لأسفل. ستكون هناك قوة رد فعل عمودي ﺭ تؤثر عموديًّا على المستوى، وقوة احتكاك ﺣ تؤثر بالتوازي مع المستوى في اتجاه لأسفل؛ حيث يصبح الجسم على وشك الحركة في اتجاه أعلى المستوى. نحن نعلم أيضًا أن الجسم قد سحب لأعلى بخيط فصنع زاوية قياسها ٣٠ درجة مع خط أكبر ميل. وبما أن الجسم على وشك الحركة، فإننا نعلم أن محصلة القوى تساوي صفرًا. لا توجد أي عجلة، وسيكون علينا تحليل القوى إلى مركبات موازية للمستوى ومركبات عمودية عليه.
سيكون لكل من قوة الشد وقوة الوزن مركبات في هذين الاتجاهين. لذا، علينا الاستعانة بمعرفتنا بحساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لحساب ذلك. بما أن جيب الزاوية يساوي طول الضلع المقابل على طول الوتر، وجيب تمام الزاوية يساوي طول الضلع المجاور على طول الوتر، فإن القوى الأربع ستكون كما هو موضح. لدينا ثلاث قوى موازية للمستوى. إذا اعتبرنا أن الاتجاه لأعلى المستوى هو الاتجاه الموجب، فإننا نحصل على المعادلة: ﺵ جتا ٣٠ ناقص ٥٦ جا ٣٠ ناقص ﺣ يساوي صفرًا. هناك أيضًا ثلاث قوى تؤثر عموديًّا على المستوى، وهو ما يعطينا المعادلة: ﺭ زائد ﺵ جا ٣٠ ناقص ٥٦ جتا ٣٠ يساوي صفرًا.
يمكننا الآن تبسيط هاتين المعادلتين بالاستعانة بحقيقة أن جا ٣٠ درجة يساوي نصفًا، وجتا ٣٠ درجة يساوي جذر ثلاثة على اثنين. تصبح المعادلة الأولى جذر ثلاثة على اثنين ﺵ ناقص ٢٨ ناقص ﺣ يساوي صفرًا. وتصبح المعادلة الثانية ﺭ زائد نصف ﺵ ناقص ٢٨ جذر ثلاثة يساوي صفرًا. نحن نعرف أيضًا أن قوة الاحتكاك ﺣ تساوي ﻡ، أي معامل الاحتكاك مضروبًا في قوة رد الفعل العمودي ﺭ. وبما أن معامل الاحتكاك هو جذر ثلاثة على ستة، فإن ﺣ يساوي جذر ثلاثة على ستة مضروبًا في ﺭ. سنفرغ الآن بعض المساحة حتى نتمكن من حل المعادلتين لإيجاد أقل شد ﺵ.
يمكننا إعادة ترتيب المعادلة الثانية بحيث تصبح ﺭ يساوي ٢٨ جذر ثلاثة ناقص نصف ﺵ. قوة الاحتكاك في المعادلة الأولى تساوي جذر ثلاثة على ستة في ذلك. وهذا يعطينا المعادلة: جذر ثلاثة على اثنين ﺵ ناقص ٢٨ ناقص جذر ثلاثة على ستة في ٢٨ جذر ثلاثة ناقص نصف ﺵ يساوي صفرًا. وبفك القوس، نحصل على سالب ١٤ زائد جذر ثلاثة على ١٢ ﺵ. يمكننا بعد ذلك تجميع الحدود المتشابهة. وهذا يعطينا سبعة جذر ثلاثة على ١٢ ﺵ ناقص ٤٢ يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك إضافة ٤٢ إلى طرفي هذه المعادلة. وأخيرًا، يمكننا قسمة كلا الطرفين على سبعة جذر ثلاثة على ١٢، وبذلك نجد أن ﺵ يساوي ٢٤ جذر ثلاثة. إذن، أقل شد لازم في الخيط ليصبح الجسم على وشك الحركة في اتجاه أعلى المستوى هو ٢٤ جذر ثلاثة نيوتن.
في السؤال الأخير، سنحسب أكبر قوة لازمة للمحافظة على حالة الاتزان.
يرتكز جسم وزنه ٧٥ نيوتن على مستوى خشن مائل بزاوية قياسها ٤٥ درجة على الأفقي تحت تأثير قوة أفقية. أقل قوة أفقية مطلوبة للمحافظة على الجسم في حالة اتزان هي ٤٥ نيوتن. أوجد أكبر قوة أفقية تحافظ أيضًا على حالة الاتزان.
في هذا السؤال، سنتناول سيناريوهين مختلفين؛ عندما تكون القوة بأقل قيمة لها وأكبر قيمة لها. وفي كلتا الحالتين، يكون الجسم في حالة اتزان. إذن، محصلة القوى يجب أن تساوي صفرًا. لدينا هنا قوة رأسية مؤثرة لأسفل مقدارها ٧٥ نيوتن، وهي مساوية للوزن. يميل المستوى بزاوية قياسها ٤٥ درجة. عندما تكون أقل قوة أفقية لدينا هي ٤٥ نيوتن، يكون الجسم على وشك الانزلاق لأسفل المستوى. وهذا يعني أن قوة الاحتكاك ستؤثر لأعلى المستوى.
سنحلل القوى إلى مركبات موازية للمستوى ومركبات عمودية عليه. لكن قبل القيام بذلك، علينا إيجاد مركبات القوتين ٧٥ و٤٥ نيوتن في هذين الاتجاهين. وسنفعل ذلك بالاستعانة بحساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لنحصل على القوى الأربع الموضحة. هناك ثلاث قوى موازية للمستوى. وبما أن الجسم على وشك الانزلاق لأسفل المستوى، سنستخدم هذا الاتجاه على أنه الاتجاه الموجب. وهذا يعطينا المعادلة: ٧٥ جا ٤٥ ناقص ٤٥ جتا ٤٥ ناقص ﺣ يساوي صفرًا. جا ٤٥ وجتا ٤٥ يساويان جذر اثنين على اثنين. وبإضافة قوة الاحتكاك إلى طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺣ يساوي ١٥ جذر اثنين.
هناك أيضًا ثلاث قوى تؤثر عموديًّا على المستوى. وهذا يعطينا المعادلة: ﺭ ناقص ٧٥ جتا ٤٥ ناقص ٤٥ جا ٤٥ يساوي صفرًا. يمكننا تبسيط ذلك إلى ﺭ ناقص ٦٠ جذر اثنين يساوي صفرًا، وهو ما يعني أن ﺭ يساوي ٦٠ جذر اثنين. لدينا الآن قوة الاحتكاك وقوة رد الفعل العمودي بوحدة النيوتن. ونحن نعلم أن ﺣ يساوي ﻡ، وهو معامل الاحتكاك، مضروبًا في ﺭ. ﻡ يساوي ١٥ جذر اثنين على ٦٠ جذر اثنين. وهو ما يبسط إلى ربع.
علينا الآن التفكير في الحالة التي تكون فيها القوة الأفقية بأكبر قيمة لها. في هذه الحالة، تظل معظم القوى كما هي. لكن يصبح الجسم على وشك الحركة لأعلى المستوى، لذا تؤثر قوة الاحتكاك لأسفل. علينا إيجاد القوة المجهولة ﻕ. بتحليل القوى إلى مركبات موازية للمستوى، يصبح لدينا ﻕ جتا ٤٥ ناقص ٧٥ جا ٤٥ ناقص ﺣ يساوي صفرًا. وبتبسيط ذلك والاستعانة بحقيقة أن ﻡ يساوي ربعًا، نحصل على جذر اثنين على اثنين ﻕ ناقص ٧٥ جذر اثنين على اثنين ناقص ربع ﺭ يساوي صفرًا. في الاتجاه العمودي على المستوى، لدينا ﺭ ناقص ٧٥ جتا ٤٥ ناقص ﻕ جا ٤٥ يساوي صفرًا. وبتبسيط ذلك، يصبح لدينا ﺭ يساوي ٧٥ جذر اثنين على اثنين زائد جذر اثنين على اثنين ﻕ.
لدينا الآن معادلتان آنيتان يمكننا حلهما لإيجاد قيمة ﻕ. سنعوض في المعادلة الأولى بقيمة ﺭ الموجودة في المعادلة الثانية. يمكننا بعد ذلك قسمة طرفي المعادلة على جذر اثنين على اثنين. وبفك القوسين، نحصل على ﻕ ناقص ٧٥ ناقص ٧٥ على أربعة ناقص ربع ﻕ يساوي صفرًا. ومن ثم، يمكننا تبسيط ذلك إلى ثلاثة أرباع ﻕ يساوي ٣٧٥ على أربعة. بقسمة طرفي المعادلة على ثلاثة أرباع، نحصل على ﻕ يساوي ١٢٥. إذن، أكبر قوة تساوي ١٢٥ نيوتن. وهذا يعني أنه إذا كانت القوة تتراوح بين ٤٥ و١٢٥ نيوتن، متضمنة العددين، فسيبقى الجسم في حالة اتزان.
سنلخص الآن النقاط الأساسية لهذا الفيديو. لاحظنا في الأسئلة الثلاثة التي تناولناها أنه عندما يكون الجسم في حالة اتزان نهائي، فإن مجموع القوى الموازية للمستوى والعمودية عليه يساوي صفرًا. يمكننا تحليل القوى إلى مركبات موازية للمستوى ومركبات عمودية عليه، وكذلك استخدام المعادلة: ﺣ يساوي ﻡﺭ؛ لإيجاد أي قيم مجهولة. ﻡ هو معامل الاحتكاك، ويقع بين العددين صفر وواحد، متضمنًا العددين. يمكننا أيضًا الاستعانة بحساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية لحساب المركبات ذات الصلة.
