فيديو السؤال: إيجاد المساحة المحددة بدالتين خطيتين ودالة مقلوب، ويتضمن ذلك تقسيم منطقة التكامل الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

منطقة في الربع الأول محددة بالمنحنيات ﺹ يساوي أربعة على ﺱ، وﺹ يساوي ﺱ، وﺹ يساوي ﺱ على أربعة. أوجد مساحة هذه المنطقة.

في هذا السؤال، علينا إيجاد مساحة منطقة محددة بثلاثة منحنيات معطاة، وهي المنحنى ﺹ يساوي أربعة على ﺱ، والمستقيمان ﺹ يساوي ﺱ وﺹ يساوي ﺱ على أربعة. عندما يطلب منا إيجاد مساحة منطقة محددة بمنحنيات، يحبذ دائمًا رسم المنحنيات المعطاة. هذا سيسمح لنا بتحديد المنطقة المطلوب إيجاد مساحتها. دعونا نبدأ برسم الخطين المستقيمين ﺹ يساوي ﺱ، وﺹ يساوي ﺱ على أربعة. هذان المستقيمان معطيان على صورة الميل والمقطع، ويمكننا ملاحظة أن أجزاءهما المقطوعة من المحور ﺹ تساوي صفرًا. وميل ﺹ يساوي ﺱ يساوي واحدًا، وميل ﺹ يساوي ﺱ على أربعة يساوي ربعًا. ومن ثم، يمكننا رسم الخطين المستقيمين كما هو موضح.

والآن، علينا رسم المنحنى ﺹ يساوي أربعة على ﺱ على محور الإحداثيات نفسه. ويمكننا ملاحظة أن هذا المنحنى يمثل دالة المقلوب واحد على ﺱ مضروبًا في أربعة. لذا، سيبدو على شكل منحنى مقلوب. وبإضافة ذلك إلى الرسم، سنحصل على هذا الشكل. وتذكر أن مساحة المنطقة التي علينا إيجادها تقع في الربع الأول فقط. لذا، يمكننا إضافة هذه المنطقة إلى الشكل كما هو موضح.

لنتمكن من إيجاد قيمة هذا التكامل، علينا تذكر إحدى نتائج التكامل. إذا كانت لدينا دالتان قابلتان للتكامل، ﺩﺱ وﺭﺱ؛ حيث ﺩﺱ أكبر من أو تساوي ﺭﺱ على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فإن مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين ﺹ يساوي ﺩﺱ وﺹ يساوي ﺭﺱ، والخطين الرأسيين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ تعطى بالتكامل من ﺃ إلى ﺏ لـ ﺩﺱ ناقص ﺭﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

نريد تطبيق هذه النتيجة لإيجاد مساحة المنطقة في الشكل. لكن ثمة مشكلة صغيرة. نلاحظ أن لدينا ثلاث دوال؛ لذا علينا تقسيم المنطقة إلى جزأين. يمكننا تقسيم المنطقة إلى جزأين: أحدهما حده العلوي ﺹ يساوي ﺱ، والآخر حده العلوي ﺹ يساوي أربعة على ﺱ. يمكننا بعد ذلك إيجاد مساحة جزأي هذه المنطقة باستخدام نتيجة التكامل، وتجدر الإشارة هنا إلى أننا نعرف أن جميع الدوال قابلة للتكامل في الربع الأول. هذا يعني أن ﺱ أكبر من صفر؛ لأن الدوال الثلاث كلها متصلة عند قيم ﺱ الموجبة.

لذا، دعونا نوجد مساحة كل منطقة على حدة. دعونا نبدأ بالجزء الأيمن من المنطقة. الجزء العلوي من هذه المنطقة هو المستقيم ﺹ يساوي ﺱ، والجزء السفلي من هذه المنطقة هو ﺹ يساوي ﺱ على أربعة. هذان سيمثلان الدالتين ﺩﺱ وﺭﺱ. بعد ذلك، لتطبيق هذه النتيجة، علينا إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ. يمكننا استنتاج قيمة ﺃ مباشرة من الشكل. يتقاطع الخطان عند ﺱ يساوي صفرًا عند نقطة الأصل؛ لذا فإن قيمة ﺃ تساوي صفرًا. لكن لإيجاد قيمة ﺏ، علينا إيجاد الإحداثي ﺱ لنقطة التقاطع بين المستقيم ﺹ يساوي ﺱ والمنحنى ﺹ يساوي أربعة على ﺱ. ويمكننا فعل ذلك بمساواة الدالتين إحداهما بالأخرى. وعلينا أن نحل المعادلة ﺱ يساوي أربعة على ﺱ.

يمكننا حل هذه المعادلة بضرب الطرفين في ﺱ أولًا. ونحصل على ﺱ تربيع يساوي أربعة. بعد ذلك، سنحسب الجذر التربيعي لطرفي المعادلة؛ حيث نلاحظ أننا سنحصل على جذر موجب وآخر سالب. إذن ﺱ يساوي اثنين أو سالب اثنين. ويمكننا أن نلاحظ على الشكل ما يمثله كل حل من هذين الحلين. ‏ﺱ يساوي سالب اثنين يمثل نقطة التقاطع في أقصى اليسار بين المستقيم والمنحنى. وﺱ يساوي موجب اثنين يمثل نقطة التقاطع أقصى اليمين. بما أننا نتناول الربع الأول فقط، فما يعنينا هو القيمة في أقصى اليمين. إذن، قيمة ﺏ تساوي اثنين.

يمكننا الآن التعويض بما حصلنا عليه في نتيجة التكامل لإيجاد مساحة الجزء في المنطقة أقصى اليسار. وهي تساوي التكامل من صفر إلى اثنين لـ ﺱ ناقص ﺱ على أربعة بالنسبة إلى ﺱ. يمكننا الآن إيجاد قيمة هذا التعبير. ولكن يجب علينا أيضًا إضافة مساحة المنطقة الثانية. إذن، دعونا نوجد تعبيرًا يعبر عن هذه المساحة. هذه المرة، المنطقة محددة من الأعلى بالمنحنى ﺹ يساوي أربعة على ﺱ ومن الأسفل بالمستقيم ﺹ يساوي ﺱ على أربعة. أوجدنا قيمة ﺃ بالفعل. في هذه الحالة، قيمة ﺃ تساوي اثنين. علينا الآن إيجاد قيمة ﺏ، وهذه ستكون نقطة التقاطع بين المنحنى ﺹ يساوي أربعة على ﺱ والمستقيم ﺹ يساوي ﺱ على أربعة. ويمكننا إيجاد هذه القيمة بالطريقة نفسها التي استخدمناها سابقًا. علينا مساواة المعادلتين وحل ذلك. علينا حل المعادلة ﺱ على أربعة يساوي أربعة على ﺱ.

أولًا: سنضرب طرفي المعادلة في أربعة ﺱ. وهذا سيعطينا ﺱ تربيع يساوي ١٦. وبعد ذلك نحسب الجذر التربيعي لكلا الطرفين، وسنحصل على جذر موجب وآخر سالب. ‏ﺱ يساوي أربعة أو سالب أربعة. إذن، توجد نقطتا تقاطع بين هذا المستقيم والمنحنى: إحداهما عند ﺱ يساوي سالب أربعة، والأخرى عند ﺱ يساوي موجب أربعة. وبما أننا نركز على الربع الأول، فإن قيم ﺱ موجبة. وهكذا، فإن قيمة ﺏ تساوي أربعة. يمكننا الآن التعويض بما حصلنا عليه في نتيجة التكامل لإيجاد مساحة الجزء في أقصى يمين المنطقة. وهي تساوي التكامل من اثنين إلى أربعة لأربعة على ﺱ ناقص ﺱ على أربعة بالنسبة إلى ﺱ. ومجموع هاتين المساحتين سيساوي مساحة المنطقة المطلوب منا إيجادها.

علينا بعد ذلك إيجاد قيمة هذين التكاملين. أولًا: يمكننا تبسيط الدالة التي سيجري عليها التكامل بالجانب الأيمن؛ لنحصل على ثلاثة ﺱ على أربعة. يمكننا الآن إيجاد قيمة هذين التكاملين بتذكر نتيجتين من نتائج التكامل. أولًا: قاعدة القوة للتكامل تنص على أنه لأي ثابتين ﺃ وﻥ، حيث ﻥ لا يساوي سالب واحد، فإن تكامل ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في ﺱ أس ﻥ زائد واحد مقسومًا على ﻥ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. نضيف واحدًا إلى أس ﺱ، ثم نقسم على هذا الأس الجديد. ثانيًا: يمكننا أيضًا تذكر أنه لأي ثابت حقيقي ﺃ، فإن تكامل ﺃ على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺃ في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.

يمكننا استخدام هاتين النتيجتين لإيجاد قيمة هذين التكاملين. دعونا نبدأ بالتكامل الأول. علينا أن نضيف واحدًا إلى أس ﺱ ونقسم على الأس الجديد. بإضافة واحد إلى أس ﺱ، نحصل على الأس اثنين. ثم نقسم على اثنين لنحصل على ثلاثة ﺱ تربيع على أربعة في اثنين، وهو ما يساوي ثمانية. وفي التكامل الثاني، نحسب تكامل أربعة على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ لنحصل على أربعة في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ. ولكي نحسب تكامل سالب ﺱ على أربعة، نضيف واحدًا إلى أس ﺱ لنحصل على ﺱ تربيع، ونقسم على هذا الأس الجديد. فنحصل على سالب ﺱ تربيع على ثمانية.

بعد ذلك، علينا إيجاد قيمة المشتقتين العكسيتين عند حدود التكامل. في المشتقة العكسية الأولى، نلاحظ أن الحد السفلي للتكامل يساوي صفرًا. وعندما نعوض بذلك في المشتقة العكسية، نحصل على صفر. ولذا، علينا فقط التعويض بالحد العلوي للتكامل. فنحصل على ثلاثة في اثنين تربيع على ثمانية. لكن هذا لا ينطبق على الحالة الثانية. علينا التعويض بالحد العلوي للتكامل في المشتقة العكسية. ونطرح من ذلك الحد السفلي للتكامل الذي عوضنا به في المشتقة العكسية. وهذا يعطينا المقدار التالي للمساحة.

والآن، لم يتبق لدينا سوى إيجاد قيمة هذا المقدار. أولًا: ثلاثة في اثنين تربيع على ثمانية يساوي ١٢ على ثمانية. بعد ذلك، سالب أربعة تربيع على ثمانية يساوي سالب ١٦ على ثمانية. وأخيرًا، سالب اثنين تربيع على ثمانية يساوي سالب أربعة على ثمانية. لكن تذكر أننا نطرح هذا الحد؛ لذا علينا إضافة أربعة على ثمانية. يمكننا ملاحظة أن ١٢ على ثمانية ناقص ١٦ على ثمانية زائد أربعة على ثمانية يساوي صفرًا. إذن يصبح لدينا الحدان أربعة في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لأربعة ناقص أربعة في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لاثنين. ويمكننا تبسيط ذلك أكثر. فنحن نعلم أن القيمة المطلقة لأي عدد موجب لا تغير قيمته، وأن كلًّا من العددين أربعة واثنين موجبان. ولذا، يمكننا حذف علامة القيمة المطلقة.

بعد ذلك، سنعيد كتابة اللوغاريتم الطبيعي لأربعة باستخدام قاعدة القوة للوغاريتمات. لفعل ذلك، علينا إعادة كتابة أربعة على صورة اثنين تربيع. وهذا سيسمح لنا بأخذ الأس للخارج وضربه في اللوغاريتم باستخدام قاعدة اللوغاريتمات السابقة الذكر. وهذا يعطينا ثمانية في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ناقص أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين، وهو ما يبسط إلى أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين، وهو الإجابة النهائية.

وبذلك، نكون قد أثبتنا أن مساحة المنطقة في الربع الأول المحددة بالمنحنيات ﺹ يساوي أربعة على ﺱ، وﺹ يساوي ﺱ، وﺹ يساوي ﺱ على أربعة تساوي أربعة في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين.