فيديو السؤال: دراسة اتزان جسم على مستوى أملس مائل مثبت بخيط مائل الرياضيات

جسم يزن ٨٥ نيوتن وضع على مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٤٥°. ظل الجسم في حالة اتزان بفعل خيط غير مرن مثبت في نقطة على حائط رأسي عند قمة المستوى. إذا كان مقدار الشد في الخيط ٦٢ نيوتن، فأوجد قياس الزاوية 𝜃 التي يصنعها الخيط مع الأفقي لأقرب دقيقة، ومقدار رد الفعل ﺭ للمستوى على الجسم لأقرب منزلتين عشريتين.

٠٦:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

جسم يزن ٨٥ نيوتن وضع على مستوى أملس يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٤٥ درجة. ظل الجسم في حالة اتزان بفعل خيط غير مرن مثبت في نقطة على حائط رأسي عند قمة المستوى. إذا كان مقدار الشد في الخيط ٦٢ نيوتن، فأوجد قياس الزاوية 𝜃 التي يصنعها الخيط مع الأفقي لأقرب دقيقة، ومقدار رد الفعل ﺭ للمستوى على الجسم لأقرب منزلتين عشريتين.

يمكننا أن نلاحظ من الشكل أن لدينا جسمًا يزن ٨٥ نيوتن وضع على مستوى يميل على الأفقي بزاوية قياسها ٤٥ درجة. وظل الجسم في حالة اتزان بفعل خيط مثبت بقوة شد مقدارها ٦٢ نيوتن. ونعرف من المعطيات أن هذا الخيط يصنع زاوية قياسها 𝜃 درجة مع الأفقي. وتؤثر قوة رد الفعل ﺭ في اتجاه عمودي على المستوى.

إذن، لدينا ثلاث قوى تؤثر على نقطة. ويمكننا حساب القيم المجهولة باستخدام نظرية لامي أولًا. وتنص هذه النظرية على أنه في حالة وجود ثلاث قوى تؤثر على نقطة ما في حالة اتزان، فإن كل قوة تتناسب مع جيب الزاوية المحصورة بين القوتين الأخريين. فإذا كان لدينا القوى الثلاث ﻕ واحد وﻕ اثنين وﻕ ثلاثة، فإن ﻕ واحد على جا 𝛼 يساوي ﻕ اثنين على جا 𝛽، يساوي ﻕ ثلاثة على جا 𝛾؛ حيث 𝛼 هي الزاوية المحصورة بين القوتين ﻕ اثنين وﻕ ثلاثة. و𝛽 هي الزاوية المحصورة بين القوتين ﻕ واحد وﻕ ثلاثة. و𝛾 هي الزاوية المحصورة بين القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين. وفي هذا السؤال، سنحدد الزوايا 𝛼 و𝛽 و𝛾 كما هو موضح.

وبتذكر أن المطلوب منا في هذا السؤال هو حساب قياس الزاوية 𝜃 وقوة رد الفعل ﺭ، سنفرغ الآن بعض المساحة لإجراء عملياتنا الحسابية. الزاوية 𝛽 المحصورة بين قوة رد الفعل والقوة التي مقدارها ٨٥ نيوتن تساوي ٩٠ درجة زائد ٤٥ درجة. وهذا يساوي ١٣٥ درجة. وبإضافة ذلك إلى الشكل لدينا، يمكننا الآن التعويض بقياس هذه الزاوية والقوى الثلاث لدينا في نظرية لامي. لدينا ﺭ على جا 𝛼 يساوي ٦٢ على جا ١٣٥ درجة يساوي ٨٥ على جا 𝛾. التعبير الأول به مجهولان. وعليه، سنستخدم التعبيرين الثاني والثالث لحساب قياس الزاوية 𝛾.

وبأخذ مقلوب هذين الكسرين، يصبح لدينا جا 𝛾 على ٨٥ يساوي جا ١٣٥ درجة على ٦٢. ويمكننا بعد ذلك ضرب الطرفين في ٨٥. لنجد أن جا 𝛾 يساوي ٠٫٩٦٩٤ وهكذا مع توالي الأرقام. بعد ذلك، نأخذ الدالة العكسية للجيب لكلا طرفي المعادلة. وهذا يعطينا 𝛾 يساوي ٧٥٫٧٩ وهكذا مع توالي الأرقام درجة. ولتوخي الدقة، فإننا لن نقرب الإجابة التي حصلنا عليها في هذه المرحلة. وبما أن مجموع 𝛼 و𝛽 و𝛾 يساوي ٣٦٠ درجة، فيمكننا استخدام ذلك لحساب قياس الزاوية 𝛼. نطرح ١٣٥ درجة و٧٥٫٧٩ درجة من ٣٦٠ درجة. وهذا يعطينا 𝛼 يساوي ١٤٩٫٢٠ وهكذا مع توالي الأرقام درجة.

أصبحنا الآن قادرين على حساب قياس الزاوية 𝜃. ولعلنا نتذكر أن هذه هي الزاوية التي يصنعها الخيط مع الأفقي. وعليه، فإن قياس 𝜃 يساوي ١٤٩٫٢٠ وهكذا مع توالي الأرقام ناقص ٩٠ درجة. وباستخدام الإجابة الأكثر دقة من الآلة الحاسبة لدينا، نجد أن قياس 𝜃 يساوي ٥٩٫٢٠٥٧٨ وهكذا مع توالي الأرقام درجة. ومطلوب منا إعطاء الإجابة بالدرجات والدقائق. ويمكننا فعل ذلك إما بضرب الجزء العشري من إجابتنا في ٦٠ أو باستخدام زر الدرجات والدقائق والثواني في الآلة الحاسبة لدينا. وفي كلتا الحالتين، سنحصل على الإجابة ٥٩ درجة و١٢ دقيقة لأقرب دقيقة. إذن، قياس الزاوية التي يصنعها الخيط مع الأفقي هو ٥٩ درجة و١٢ دقيقة.

وبما أننا الآن نعلم قياس الزاوية 𝛼، فيمكننا الرجوع إلى نظرية لامي لحساب قوة رد الفعل ﺭ. ومرة أخرى، سنستخدم الإجابة الدقيقة. لدينا ﺭ على جا ١٤٩٫٢٠ وهكذا مع توالي الأرقام درجة، يساوي ٦٢ على جا ١٣٥ درجة. وبضرب الطرفين في جا الزاوية 𝛼، نحصل على ﺭ يساوي ٤٤٫٨٨٨٩ وهكذا مع توالي الأرقام. ومطلوب منا تقريب هذه القيمة لأقرب منزلتين عشريتين. من ثم، فهي تساوي ٤٤٫٨٩. إذن، مقدار رد الفعل ﺭ للمستوى على الجسم يساوي ٤٤٫٨٩ نيوتن.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.