فيديو الدرس: مثلث القوى

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيف نحل المسائل المتعلقة باتزان جسيم تحت تأثير ثلاث قوى باستخدام طريقة مثلث القوى. في هذه المرحلة، ستكون غالبًا قد تدربت على أنظمة القوى بقدر من الاستفاضة باستخدام نظرية فيثاغورس وحساب المثلثات القائمة الزاوية لإيجاد مقدار هذه القوى واتجاهها، وأيضًا تقسيمها إلى مركباتها. لعلك تتذكر أن الجسيم يكون في حالة اتزان إذا كان المجموع الاتجاهي لهذه القوى، أي محصلتها، يساوي صفرًا. ما يعنينا الآن هو ما يحدث عندما توجد ثلاث قوى تؤثر على نقطة ما.

النقطة الأساسية التي علينا تذكرها هنا أنه عندما توجد ثلاث قوى مستوية، أي ثلاث قوى تقع في المستوى الثنائي الأبعاد نفسه، تؤثر على نقطة وتكون هذه القوى في حالة اتزان، فإنه يمكن تمثيلها بمقدار واتجاه باستخدام أضلاع المثلث المتجاورة بالترتيب. عند إتمام هذه العملية، يمكننا بعد ذلك استخدام حقائق عن المثلثات كالحقائق المتعلقة بحساب المثلثات والمثلثات المتشابهة لحل المسائل التي تتضمن هذه القوى. على سبيل المثال، لنتخيل أن لدينا ثلاث قوى، وهي ﻕ واحد وﻕ اثنان وﻕ ثلاثة، تؤثر على نقطة كما هو موضح. يمكننا تمثيل هذه القوى بدلًا من ذلك باستخدام مثلث، مع مراعاة ترتيب هذه القوى واتجاه كل منها. نبدأ بإضافة القوة ﻕ واحد باعتبارها الضلع الأول في المثلث.

ننتقل بعد ذلك إلى القوة ﻕ اثنين. تبدأ هذه القوة من نقطة نهاية القوة ﻕ واحد وتتحرك في نفس الاتجاه الموضح في الشكل الأول. وأخيرًا، نكرر هذه العملية مع القوة الثالثة، أي ﻕ ثلاثة. هذه المرة، تبدأ هذه القوة من نقطة نهاية القوة ﻕ اثنين وتتحرك في الاتجاه نفسه كما هو الحال في الشكل الأول. وبذلك، نحصل على مثلث القوى. سنعرف الآن كيف يمكننا حل المسائل باستخدام طريقة مثلث القوى هذا.

تؤثر ثلاث قوى مستوية، ﻕ واحد وﻕ اثنان وﻕ ثلاثة، على جسم في حالة اتزان. يكون مثلث القوى مثلثًا قائم الزاوية كما هو موضح. إذا كانت ﻕ واحد تساوي خمسة نيوتن وﻕ اثنان تساوي ١٣ نيوتن، فأوجد مقدار ﻕ ثلاثة.

تذكر أنه عندما توجد ثلاث قوى مستوية تؤثر على نقطة وتكون هذه القوى في حالة اتزان، يمكن تمثيلها بمقدار واتجاه باستخدام أضلاع المثلث المتجاورة بالترتيب. مرسوم أمامنا بالفعل مثلث القوى، ونحن نعرف مقداري قوتين. ‏ﻕ واحد يساوي خمسة نيوتن وﻕ اثنان يساوي ١٣ نيوتن. يوضح هذا المثلث المقدار النسبي لكلتا القوتين. وبما أنه مثلث قائم الزاوية، يمكننا إيجاد مقدار القوة الثالثة باستخدام نظرية فيثاغورس. وهي تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية، يكون مجموع مربعي طولي الضلعين القصيرين مساويًا لمربع طول الوتر. إذا افترضنا أن طول الوتر يساوي ﺟ، فيمكننا القول إن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع.

في هذا السؤال، أطول ضلع في المثلث هو الضلع الممثل بالقوة التي مقدارها ١٣ نيوتن. إذن، باستخدام المقدارين المعطيين وافتراض أن مقدار ﻕ ثلاثة يساوي ﺏ نيوتن، يمكننا القول إن خمسة تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ١٣ تربيع. ما يعني أن ٢٥ زائد ﺏ تربيع يساوي ١٦٩. بطرح ٢٥ من طرفي هذه المعادلة، نجد أن ﺏ تربيع يساوي ١٤٤. ولإيجاد قيمة ﺏ، علينا ببساطة إيجاد الجذر التربيعي لطرفي هذه المعادلة. نحن نوجد عادة الجذر التربيعي الموجب والسالب للعدد ١٤٤. لكن بما أنه يمثل مقدارًا، فإننا نعرف أن القيمة لا بد أن تكون موجبة. إذن، ﺏ يساوي الجذر التربيعي للعدد ١٤٤، وهو ما يساوي ١٢. وبما أن ﻕ واحد يساوي خمسة نيوتن، وﻕ اثنين يساوي ١٣ نيوتن، إذن يمكننا القول إن مقدار ﻕ ثلاثة يساوي ١٢ نيوتن.

في المثال التالي، سنتناول كيفية استخدام ثلاث قوى مستوية تؤثر على نقطة لتكوين مثلث قوى.

في الشكل التالي، ثلاث قوى مقاديرها ﻕ واحد وﻕ اثنان وﻕ ثلاثة نيوتن متلاقية في نقطة. خطوط عمل القوى موازية لأضلاع المثلث القائم. إذا كان النظام في حالة اتزان، فأوجد نسبة ﻕ واحد إلى ﻕ اثنين إلى ﻕ ثلاثة.

نحن نعلم أنه عندما توجد ثلاث قوى مستوية تؤثر على نقطة وتكون هذه القوى في حالة اتزان، يمكن تمثيلها بمقدار واتجاه باستخدام أضلاع المثلث المتجاورة بالترتيب. لذا، سنبدأ بتمثيل القوى الثلاث في السؤال باستخدام مثلث. سنمثل هذه القوى بالترتيب، فلنبدأ إذن بالقوة ﻕ واحد. لدينا بعد ذلك القوة ﻕ اثنان متعامدة على ﻕ واحد. لذا، يمكننا إضافة هذه القوة إلى الشكل، مع ملاحظة أنه علينا البدء من نقطة نهاية ﻕ واحد. نضيف بعد ذلك ﻕ ثلاثة بدءًا من نقطة نهاية ﻕ اثنين لإكمال المثلث. هذا مثلث قائم الزاوية لأننا ذكرنا أن القوتين ﻕ واحد وﻕ اثنين متعامدتان على بعضهما.

قد نلاحظ أيضًا أن القوة ﻕ واحد موازية للضلع الذي طوله ٨٧ سنتيمترًا في المثلث الأصلي. والقوة ﻕ اثنان تقع على استقامة واحدة مع الضلع الذي طوله ٢٠٨٫٨ سنتيمترات. ويوجد ضلع مشترك تمثله القوة ﻕ ثلاثة. بالنظر إلى هذه المعطيات، يمكننا القول إن المثلثين، أي مثلث القوى والمثلث الذي نعرف أبعاده، لا بد أن يكونا متشابهين. فهما متناسبان معًا. لذا يمكننا القول إن مقادير القوى في مثلث القوى ستتناسب طرديًّا مع أطوال الأضلاع المناظرة لها في المثلث الأصلي.

ومن ثم، لإيجاد نسبة ﻕ واحد إلى ﻕ اثنين إلى ﻕ ثلاثة، سنوجد النسبة بين أطوال أضلاع هذا المثلث. إذن، هيا نوجد طول الضلع الثالث. سنرمز إليه بـ ﺱ سنتيمتر. وبما أن هذا المثلث قائم الزاوية، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول ﺱ. بالنسبة لأي مثلث قائم الزاوية طول ضلعه الأطول هو ﺟ من الوحدات، فإن نظرية فيثاغورس تنص على أن ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع يساوي ﺟ تربيع. طول الوتر هنا يساوي ﺱ سنتيمتر. ووفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن ٨٧ تربيع زائد ٢٠٨٫٨ تربيع يساوي ﺱ تربيع. بحساب قيمة الطرف الأيمن من هذه المعادلة، نجد أنه يساوي ٥١١٦٦٫٤٤. ولإيجاد قيمة ﺱ، علينا إيجاد الجذر التربيعي لكلا الطرفين. الجذر التربيعي لـ ٥١١٦٦٫٤٤ يساوي ٢٢٦٫٢. إذن، طول الضلع الثالث في هذا المثلث يساوي ٢٢٦٫٢ سنتيمترًا.

لكن تذكر أننا نريد إيجاد نسبة القوى ﻕ واحد إلى ﻕ اثنين إلى ﻕ ثلاثة. وقد قلنا إن هذه النسبة ستساوي النسبة بين أطوال الأضلاع المناظرة. عند كتابة هذه الأطوال بترتيب التناظر نجد أن نسبة ﻕ واحد إلى ﻕ اثنين إلى ﻕ ثلاثة تكافئ ٨٧ إلى ٢٠٨٫٨ إلى ٢٢٦٫٢. بقسمة كل عدد من هذه الأعداد على عامل مشترك غير شائع إلى حد ما، وهو ١٧٫٤، نحصل على النسبة خمسة إلى ١٢ إلى ١٣. وبدلًا من ذلك، إذا حسبنا قيمة ٨٧ مقسومًا على ٢٢٦٫٢، و٢٠٨٫٨ مقسومًا على ٢٢٦٫٢، نحصل على خمسة على ١٣ و١٢ على ١٣، على الترتيب. إذن نسبة ﻕ واحد إلى ﻕ اثنين إلى ﻕ ثلاثة هي خمسة إلى ١٢ إلى ١٣.

في هذا المثال، كان لدينا شكل نستخدمه. وفي المثال التالي، علينا رسم مثلث القوى بالكامل.

يقع جسم تحت تأثير ثلاث قوى مقاديرها ﻕ واحد وﻕ اثنان و٣٦ نيوتن، وهي تؤثر على الجسم في اتجاه القطع المستقيمة ﺃﺏ وﺏﺟ وﺃﺟ، على الترتيب؛ حيث المثلث ﺃﺏﺟ مثلث فيه ﺃﺏ يساوي أربعة سنتيمترات، وﺏﺟ يساوي ستة سنتيمترات، وﺃﺟ يساوي ستة سنتيمترات. إذا كان النظام في حالة اتزان، فأوجد ﻕ واحدًا وﻕ اثنين.

نحن نعلم أنه عندما توجد ثلاث قوى مستوية تؤثر على نقطة وتكون هذه القوى في حالة اتزان، يمكن تمثيلها بمقدار واتجاه باستخدام أضلاع المثلث المتجاورة بالترتيب. إذن، سنمثل القوى الثلاث المعطاة باستخدام مثلث. لكننا علمنا أنها تؤثر في اتجاهات الأضلاع المختلفة للمثلث ﺃﺏﺟ. لذا، سنرسم المثلث ﺃﺏﺟ أولًا. يبدو المثلث ﺃﺏﺟ بهذا الشكل تقريبًا، ونلاحظ أن طول كل من الضلعين ﺃﺟ وﺏﺟ يساوي ستة سنتيمترات. إذن، فهو مثلث متساوي الساقين.

سنستخدم الآن هذا المثلث لنرسم مثلث قوى يمثل القوى ﻕ واحدًا وﻕ اثنين و٣٦ نيوتن. القوة التي مقدارها ﻕ واحد نيوتن تؤثر في اتجاه القطعة المستقيمة ﺃﺏ. والقوة التي مقدارها ﻕ اثنان تؤثر في اتجاه القطعة المستقيمة ﺏﺟ. لاحظ أن القوة التي مقدارها ﻕ اثنان تبدأ من نقطة نهاية القوة السابقة. لذا علينا أن نبدأ القوة الثالثة من نقطة نهاية ﻕ اثنين. لكننا علمنا من المعطيات أن هذه القوة التي مقدارها ٣٦ نيوتن تؤثر في اتجاه القطعة المستقيمة ﺃﺟ، وليس القطعة المستقيمة ﺟﺃ. وبما أننا نعرف أن مقدار هذه القوة يساوي ٣٦ نيوتن، يمكننا كتابة ذلك كما هو موضح. إذا نظرنا إلى اتجاه القوة، فعلينا مراعاة أن هذا هو الاتجاه السالب للقوة الأصلية. ولكن عند التعامل مع مقادير تمثل أطوالًا فقط، لن يسبب هذا أي مشكلة على الإطلاق.

نحن الآن مستعدون للمقارنة بين هذين المثلثين. بما أن كل قوة من القوى تؤثر في نفس اتجاه كل ضلع في المثلث ﺃﺏﺟ، فلا بد أن يكون المثلثان متشابهين. لذا يمكننا القول إن مقدار كل قوة من القوى يجب أن يتناسب طرديًّا مع أطوال أضلاع المثلث ﺃﺏﺟ. إذن، يمكننا إيجاد القوة ﻕ اثنين بسهولة. نحن نعرف أن الضلعين ﺃﺟ وﺏﺟ متساويان في الطول. ومن ثم، يجب أن تكون هذه القوة وهذه القوة متساويتين في المقدار. وعليه، فإن ﻕ اثنين يساوي ٣٦ نيوتن. لدينا بعد ذلك طريقتان مختلفتان لحساب مقدار ﻕ واحد.

تتمثل إحدى الطريقتين في القول إن نسبة القطعة المستقيمة ﺃﺏ إلى نسبة القطعة المستقيمة ﺃﺟ ستساوي نسبة المقدار ﻕ واحد إلى المقدار ٣٦ نيوتن. بعبارة أخرى، أربعة مقسومًا على ستة سيعطينا الناتج نفسه لـ ﻕ واحد على ٣٦. ورغم أنه يمكننا تبسيط الكسر أربعة أسداس، فليس من المنطقي أن نفعل ذلك؛ لأننا سنضرب كلا طرفي المعادلة في ٣٦. نلاحظ بعد ذلك أن هناك عاملًا مشتركًا بين العددين ٣٦ وستة، وهو ستة. إذن، ﻕ واحد يساوي ستة في أربعة على واحد، وهو ما يساوي ببساطة ٢٤. ومن ثم، ﻕ واحد يساوي ٢٤ نيوتن. تجدر الإشارة هنا إلى أنه كان بإمكاننا استخدام معامل التشابه لحساب قيمة ﻕ واحد.

بما أن المثلثين متشابهان، يمكننا استنتاج أن أحدهما يمثل تكبيرًا أو تمددًا للآخر. وعليه، فإن معامل قياس التكبير يساوي ٣٦، وهو أحد أبعاد مثلث القوى، مقسومًا على ستة، أي البعد المناظر له في المثلث ‏ﺃﺏﺟ‏. ٣٦ مقسومًا على ستة يساوي ستة. وهكذا، يمكننا تحويل أي قياس في المثلث ﺃﺏﺟ إلى أبعاد مثلث القوى عن طريق الضرب في العدد ستة. هذا يعني أن ﻕ واحدًا يساوي أربعة في ستة، وهو ما يساوي ٢٤ أيضًا. إذن، ﻕ واحد يساوي ٢٤ نيوتن، وﻕ اثنان يساوي ٣٦ نيوتن.

في المثال الأخير، سنتناول كيفية استخدام طريقة مشابهة لحل مسألة تتضمن شدًّا.

قضيب منتظم طوله ٥٠ سنتيمترًا ووزنه ١٤٣ نيوتن معلق تعليقًا حرًّا من طرفيه في السقف بخيطين متعامدين متصلين بالنقطة نفسها في السقف. إذا كان طول أحد الخيطين ٣٠ سنتيمترًا، فأوجد الشد في كلا الخيطين.

سنبدأ برسم مخطط جسم حر لهذا السؤال. دعونا نسمي طرفي القضيب بـ ﺃ وﺏ. لدينا قضيب معلق من خيطين متعامدين، أحدهما طوله ٣٠ سنتيمترًا. ويمكننا إيجاد طول الخيط الثاني. وهو يساوي ٤٠ سنتيمترًا. يمكننا حساب ذلك باستخدام نظرية فيثاغورس أو بإدراك أن لدينا إحدى ثلاثيات فيثاغورس، وهي ثلاثة، أربعة، خمسة. وبما أن القضيب منتظم، يمكننا القول إن قوة وزنه المتجهة لأسفل تؤثر على نقطة تقع في منتصف القضيب تمامًا. ولأن القضيب يؤثر بقوة لأسفل على الخيطين، فهذا يعني وجود قوة رد فعل عكسي لقوة الشد. لنفترض أن ﺵﺃ هو قوة الشد في الخيط الأول، وﺵﺏ هو قوة الشد في الخيط الثاني.

لدينا مخطط جسم حر، لكن هناك الكثير من الأمور التي يجب مراعاتها هنا. كيف يمكننا إذن تبسيطها بقدر أكبر؟ حسنًا، نحن نعلم أنه عندما توجد ثلاث قوى مستوية تؤثر على نقطة وتكون هذه القوى في حالة اتزان، يمكن تمثيلها بمقدار واتجاه باستخدام أضلاع المثلث المتجاورة بالترتيب؛ لأن الأنظمة التي تكون في حالة الاتزان تضع متجهات القوى معًا بحيث تتلاقى الأطراف لكي تكون مثلثًا. ‏ﺵﺃ وﺵﺏ متعامدان على بعضهما؛ لأن الخيطين اللذين يمتدان بطولهما متعامدان أيضًا. لكن عندما ننظر جيدًا، نلاحظ أن هذين المثلثين متشابهان. سنحدد قياس الزاوية المحصورة بين القضيب والخيط الذي يبلغ طوله ٣٠ سنتيمترًا على أنه يساوي ﺱ درجة. وهو ما يساوي قياس الزاوية المحصورة بين القوة التي مقدارها ١٤٣ نيوتن وقوة الشد عند ﺏ.

هذا الاستنتاج ليس بديهيًّا بدرجة كبيرة، لكن يمكننا إقناع أنفسنا بصحته بإضافة خط مستقيم مواز للقوة التي مقدارها ١٤٣ نيوتن في الشكل الأول والاستفادة من حقيقة أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي ١٨٠. بما أن قياسات زوايا كل من مثلث القوى والمثلث الممثل بأطوال كل عنصر متساوية، فإننا نعرف أن هذين المثلثين متشابهان. لذا، يمكننا استخدام معامل التشابه أو النسب لإيجاد مقداري ﺵﺃ وﺵﺏ. دعونا نفكر في نسبة ﺵﺃ إلى ١٤٣. هذه النسبة يجب أن تساوي نسبة الطول الذي يبلغ ٤٠ سنتيمترًا إلى الطول الذي يبلغ ٥٠ سنتيمترًا. وقد اخترنا هذين الضلعين في كلا الشكلين؛ لأن ما يعنينا هو الضلعان المجاوران للزاوية التي قياسها ٩٠ ناقص ﺱ درجة.

بضرب طرفي هذه المعادلة في ١٤٣، نجد أن ﺵﺃ يساوي ٤٠ على ٥٠ أو أربعة أخماس في ١٤٣، وهو ما يساوي ١١٤٫٤. إذن، مقدار ﺵﺃ يساوي ١١٤٫٤ نيوتن. وبالمثل، نسبة ﺵﺏ إلى ١٤٣ نيوتن تساوي النسبة بين الطول الذي يبلغ ٣٠ سنتيمترًا والطول الذي يبلغ ٥٠ سنتيمترًا. ولإيجاد قيمة ﺵﺏ، نضرب أيضًا في ١٤٣، ما يعطينا ٨٥٫٨ أو ٨٥٫٨ نيوتن. إذن، قوتا الشد في كلا الخيطين تساويان ٨٥٫٨ نيوتن و١١٤٫٤ نيوتن.

سنراجع الآن النقاط الأساسية التي تناولناها في هذا الدرس. لقد عرفنا أنه عندما توجد ثلاث قوى مستوية تؤثر على نقطة وتكون هذه القوى في حالة اتزان، يمكن تمثيلها بمقدار واتجاه باستخدام أضلاع المثلث المتجاورة بالترتيب. بمجرد أن يصبح لدينا مثلث القوى هذا، يمكننا حل المسائل باستخدام التشابه ونظرية فيثاغورس وحساب المثلثات أيضًا.