فيديو الدرس: المقارنة بين الكسور التي لها البسط نفسه أو المقام نفسه

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو سنقارن بين الكسور التي لها البسط نفسه أو المقام نفسه. وسنستخدم العلامات أصغر من، وأكبر من، ويساوي للتعبير عن الفروق. وسنذكر أنفسنا أيضًا بأنه لا يمكننا إجراء مقارنة منطقية بين الكسور إلا إذا كان كل منها يمثل جزءًا من الشيء نفسه. على سبيل المثال، نصف الفأر لا يساوي نصف الفيل.

دعونا أولًا نذكر أنفسنا سريعًا بما يعنيه البسط والمقام. البسط هو ما نطلق عليه: «العدد العلوي» في الكسر، والمقام هو ما نطلق عليه: «العدد السفلي» في الكسر.

دعونا الآن نحضر كعكة شوكولاتة تبدو لذيذة. هذه كعكة كاملة. إذا اعتبرنا أنه يمكننا تقسيمها إلى قطعة واحدة وأكلنا هذه القطعة، سنكون بذلك قد أكلنا الكعكة كلها وحدنا. إنها لذيذة، لكنها دسمة! إذن، العدد واحد يمثل الكعكة كلها. وبذلك نكون قد أكلنا واحدًا من واحد، أو واحدًا على واحد، أو واحدًا من إجمالي واحد؛ من تلك الكعكة.

لنحضر الآن كعكة أخرى مماثلة تمامًا للكعكة السابقة. لكن هذه المرة سنقسمها إلى قطعتين متساويتين، لنتمكن بذلك من تقسيم الكعكة بين شخصين. كل شخص سيحصل على نصف؛ واحد على اثنين؛ أي نصف الكعكة. نحضر كعكة أخرى مماثلة، ونقسمها إلى أربع قطع؛ لتقسيمها بين أربعة أشخاص. سيحصل بذلك كل شخص على قطعة واحدة من القطع الأربع؛ هذا يمثل ربع الكعكة. لدينا الآن كعكة ثالثة، وسنقسمها إلى ست قطع متساوية. وكل شخص يحصل على قطعة من هذه الكعكة سيحصل على قطعة واحدة من ست قطع؛ وهو ما يساوي سدس كعكة.

إذن، إذا قسمنا كعكة بين شخصين، سيحصل كل شخص على حصة من الكعكة أكبر من التي سيحصل عليها إذا قسمناها بين أربعة أشخاص. وإذا قسمنا كعكة بين أربعة أشخاص، سيحصل كل شخص على حصة من الكعكة أكبر من التي سيحصل عليها إذا قسمناها بين ستة أشخاص.

وعليه، يمكننا استخدام هذه العلامة هنا لتوضيح الكمية الأكبر، أو الكسر الأكبر. فالنصف أكبر من الربع. والربع أكبر من السدس. قد تبدو هذه العلامة محيرة بعض الشيء في البداية. ولكن ما عليك تذكره هو أن العلامة لها طرف كبير وطرف صغير. والطرف الكبير يقابل العدد الكبير، والطرف الصغير يقابل العدد الصغير. وبالمثل هنا الربع هو الأكبر، إذن الطرف الكبير للعلامة يقابل الربع. والسدس هو الأصغر، لذا فالطرف الصغير للعلامة يقابل السدس.

وهناك علامة أخرى مقابلة لهذه العلامة وهي علامة أصغر من. وبما أننا نعلم أن الربع أصغر من النصف، بالتالي فالطرف الصغير للعلامة يقابل العدد الأصغر. والطرف الكبير للعلامة يقابل العدد الأكبر. السدس أصغر من الربع، إذن الطرف الصغير للعلامة يقابل العدد الأصغر، والطرف الأكبر يقابل العدد الأكبر.

الآن بعضكم قد يفكر: يا للعجب، انتظر لحظة! إنك تقول إن النصف أكبر من الربع، لكن اثنين أصغر من أربعة. ولكن عليك أن تتذكر أن المقام يخبرنا بعدد الأشخاص الذين تم تقسيم الكعكة بينهم. وإذا قسمنا الكعكة بين عدد أكبر من الأشخاص، فسنحصل على كمية أقل لكل شخص. من ثم، إذا حصلنا على قطعة واحدة من الكعكة التي قسمناها بين أربعة أشخاص، فستكون أصغر من القطعة التي كنا سنحصل عليها إذا قسمنا الكعكة بين شخصين. تذكر أن هذا الربع أصغر من هذا النصف من الكعكة نفسها.

إذن لتلخيص ذلك، عند التعامل مع الكسور، إذا كان البسطان متساويين، فالكسر الذي يحتوي على المقام الأكبر يمثل الكمية الأصغر. يمكننا ملاحظة أن جميع هذه الكسور تحتوي على واحد في البسط. السدس يمثل كمية أصغر من النصف. فهو يحتوي على مقام أكبر من مقام النصف، لكنه يمثل قطعة أصغر من الكعكة التي نقسمها بين عدد أكبر من الأشخاص.

الآن دعونا نقارن بين بعض القطع الأخرى التي تنتمي إلى كعكات متماثلة. هذه المرة قسمنا الكعكات إلى أنصاف وأرباع وأثمان. وبالاستعانة بما تعلمناه قبل قليل، نلاحظ أن جميع الكسور التي تناولناها بسطها هو العدد واحد، ولذلك فكلما زاد المقام أصبحت قطع الكعك أصغر. لذا، نصف أكبر من ربع، وربع أكبر من ثمن. ولكن ماذا إذا أخذت أكثر من قطعة واحدة من بعض الكعكات؟ إذا أخذت ربعين أو أربعة أثمان، فسأحصل على كمية متساوية من الكعك في الحالتين. ونستخدم بالتأكيد علامة يساوي لتمثيل الحالة التي نحصل فيها على كميتين متساويتين من الكعك. وبذلك نجد أن النصف يساوي ربعين، وأن الربعين يساويان أربعة أثمان. وفي الحقيقة، في هذه الحالة يمكننا أن نستخدم هذه الصور الثلاث كلها. ويمكننا القول أيضًا إن النصف يساوي أربعة أثمان.

في كل الأمثلة التي تناولناها حتى الآن في هذا الفيديو، جميع الكعكات التي قسمناها كان لها الحجم نفسه، لذلك تمكنا من المقارنة بين الكسور مباشرة. لكن من المهم أن تتذكر أنه عليك الانتباه عند المقارنة بين الكسور. إذا كانت هناك كسور تمثل أجزاء من أشياء مختلفة، لن تتمكن من المقارنة بينها بسهولة. فربع كعكة صغيرة لا يساوي ربع كعكة كبيرة.

حسنًا، نعود للتحدث عن كعكتين لهما الحجم نفسه. وقد قسمنا هاتين الكعكتين المتساويتين في الحجم إلى ثماني قطع متساوية في الحجم. الكعكة التي على اليمين، حددنا منها ثمنًا من تلك الأثمان، أما الكعكة التي على اليسار فحددنا منها ثلاثة أثمان. أصبح لدينا الآن كسران لهما المقام نفسه. إذا كانت الكعكتان متساويتين في الحجم وقسمناهما إلى عدد متساو من القطع، وليكن ثمانية، فكلما زاد عدد قطع الكعك التي نحصل عليها، زادت كمية الكعك التي لدينا.

فثلاثة أثمان ستكون أكبر من ثمن. ويمكننا رسم العلامة بوضع الطرف الكبير منها مقابل الثلاثة أثمان، ووضع الطرف الصغير منها مقابل الثمن. أو يمكننا كتابة الكسرين بالعكس، وكتابة العلامة بالعكس أيضًا. فثلاثة أثمان أكبر من ثمن.

إذن في الكسور التي لها المقام نفسه، البسط الأكبر يمثل كمية أكبر. وإذا حصلنا على قطع أكثر من كعكة لها الحجم نفسه، فسنحصل إذن على كمية أكبر من تلك الكعكة ذات الحجم نفسه.

وبتنحية الكعك جانبًا لبعض الوقت، يمكننا أيضًا إجراء مقارنات على خط الأعداد. إذا كان لدينا نصف وقارناه بثلث، نلاحظ أن النصف أكبر من الثلث. وذلك لأننا إذا رسمنا خطًّا متقطعًا صغيرًا يتجه لأسفل هنا، سنجد أن هذا السهم الأحمر الذي في الأسفل أصغر قليلًا من السهم الأحمر الذي في الأعلى. وهذا يتفق مع ما تعلمناه قبل قليل. وهو أنه إذا كان لدينا البسط نفسه، فالمقام الأكبر سيمثل الكسر الأصغر. المقام الأكبر يعني أننا نقسم الكعكة بين عدد أكبر من الأشخاص. وبذلك يحصل كل شخص على قطعة أصغر من الكعكة. ولا تنس أنه يمكننا أيضًا كتابة ذلك بالعكس: ثلث أصغر من نصف.

والآن لنفكر في الربع. مرة أخرى إذا قارنا بين ثلث وربع، فسنجد أن السهم الذي يمثل الربع أقصر من السهم الذي يمثل الثلث. إذن، الربع أصغر من الثلث، أو الثلث أكبر من الربع.

وذلك مرة أخرى لأن لدينا البسط نفسه في الحالتين، فكلما كان المقام أكبر كانت الكمية التي يمثلها أصغر. وتذكر أننا نقسم هذه الكعكة بين عدد أكبر من الأشخاص، لذلك سيحصل كل شخص على قطعة أصغر.

حسنًا، والآن حان الوقت لكي تختبر نفسك فيما تعلمناه.

مطلوب منك أن تكتب هذه العلامات: أصغر من، أو أكبر من، أو يساوي؛ لإكمال هذه العبارات. نفترض الآن أن هذه الكسور تمثل أجزاء من أشياء لها الحجم نفسه. أوقف الفيديو الآن مؤقتًا ثم تحقق من إجاباتك بعد قليل.

في العبارة الأولى، لدينا البسط نفسه. وعليه فالمقام الأكبر يعني أننا نقسم شيئًا بين عدد أكبر من الأشخاص. لذا سيكون هذا هو الكسر الأصغر، أي إن ثلثًا أكبر من تسع. الطرف الصغير للعلامة يشير إلى الكسر الصغير. في العبارة الثانية، لدينا أيضًا البسط نفسه، لكن لحظة! لدينا أيضًا المقام نفسه. إذن، ثلاثة أخماس هو نفسه ثلاثة أخماس في هذه الحالة. لذلك نضع علامة يساوي؛ فهذان الكسران متساويان. في العبارة الثالثة، لدينا البسط نفسه مرة أخرى. والمقام الأكبر يعني أننا نقسم الشيء بين عدد أكبر من الأشخاص. سيكون هذا هو الكسر الأصغر. إذن، الطرف الصغير للعلامة يقابل هذا الكسر، والطرف الكبير للعلامة يقابل الكسر الآخر.

في العبارة الرابعة، لدينا المقام نفسه. لذا فكل هذه القطع الصغيرة متساوية في الحجم. في الكسر الأول، لدينا خمس واحد من تلك الأخماس من الكعكة، وفي الكسر الثاني لدينا ثلاثة أخماس الكعكة، إذن لدينا كمية أكبر في حالة الكسر الثاني. إذن، الطرف الكبير للعلامة يقابل الكسر الأكبر. والطرف الصغير للعلامة يقابل الكسر الأصغر. في العبارة الخامسة، لدينا أيضًا المقام نفسه. إذن مجددًا، نبحث عن البسط الأكبر؛ إذ سيمثل الكسر الأكبر، لأننا سنحصل بذلك على عدد أكبر من تلك الأسباع من الكعكة. لذا ستكون العلامة بالعكس: أربعة أسباع أكبر من سبعين فقط. وفي السؤال السادس والأخير هنا، ليس لدينا البسط نفسه ولا المقام نفسه. لذا علينا أن نتذكر الكسور المتكافئة. لدينا هنا اثنان، وإذا ضربت اثنين في اثنين، فسأحصل على أربعة. وإذا ضربت ثلاثة في اثنين، فسأحصل على ستة. إذن ضربنا البسط في اثنين والمقام في اثنين، وهذا يعطينا العدد نفسه في الحالتين، وهذا يعني أنهما كسران متكافئان. إذن، هذان في الحقيقة متساويان.