نسخة الفيديو النصية
أوجد المتتابعة الهندسية التي فيها ﺡ واحد، الحد الأول، يساوي ٥٠٠، وﺡ ثلاثة، الحد الثالث، يساوي ١٢٥.
في أي متتابعة هندسية، يكون ﺃ الحد الأول وﺭ أساس المتتابعة الهندسية. أساس المتتابعة الهندسية هو العدد الذي نضرب فيه للحصول على الحد الثاني من الحد الأول، والحد الثالث من الحد الثاني، وهكذا. هذا يعني أنه إذا كان الحد الأول هو ﺃ، فسيكون الحد الثاني هو حاصل ضرب ﺃ في ﺭ. والحد الثالث هو حاصل ضرب ﺃ في ﺭ تربيع. يقودنا هذا النمط إلى الصيغة العامة للحد النوني، أو ﺡﻥ، وهي ﺃ في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد.
تخبرنا هذه المسألة تحديدًا أن الحد الأول، ﺡ واحد، يساوي ٥٠٠. هذا يعني أن ﺃ يساوي ٥٠٠. كما تخبرنا أيضًا أن الحد الثالث، ﺡ ثلاثة، يساوي ١٢٥. وبالتالي، ﺃﺭ تربيع يساوي ١٢٥. وبما أننا نعرف الحد الأول بالفعل، ستكون الخطوة التالية أمامنا هي التوصل إلى أساس المتتابعة الهندسية. بالتعويض عن ﺃبـ ٥٠٠ في المعادلة الثانية، نحصل على المعادلة ٥٠٠ﺭ تربيع يساوي ١٢٥. وبقسمة كلا طرفي المعادلة على ٥٠٠، نحصل على ﺭ تربيع يساوي ٠٫٢٥، حيث إن ١٢٥ على ٥٠٠ يساوي ربعًا أو ٠٫٢٥. وبحساب الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على إجابتين محتملتين لـ ﺭ. يمكن لـ ﺭ أن يكون موجب ٠٫٥ أو سالب ٠٫٥. هذا لأن موجب ٠٫٥ في موجب ٠٫٥ يساوي ٠٫٢٥. وبالمثل، سالب ٠٫٥ في سالب ٠٫٥ يساوي ٠٫٢٥ أيضًا.
ونظرًا لوجود قيمتين محتملتين لـ ﺭ، توجد متتابعتان محتملتان، حدهما الأول ٥٠٠ وحدهما الثالث ١٢٥. أولًا، عندما يساوي ﺭ موجب ٠٫٥، تكون الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة الهندسية ٥٠٠، و٢٥٠، و١٢٥. والسبب في ذلك أن حاصل ضرب ٥٠٠ في ٠٫٥ يساوي ٢٥٠. وحاصل ضرب ٢٥٠ في ٠٫٥ يساوي ١٢٥. أما في حالة المتتابعة الهندسية المحتملة الثانية، فعند ﺭ يساوي سالب ٠٫٥، تكون حدودها الثلاثة الأولى هي:٥٠٠، وسالب ٢٥٠، و١٢٥. وهذا لأن ٥٠٠ في سالب ٠٫٥ يساوي سالب ٢٥٠. وسالب ٢٥٠ في سالب ٠٫٥ يساوي موجب ١٢٥. وهذا يؤكد وجود متتابعتين هندسيتين محتملتين، حدهما الأول ٥٠٠ وحدهما الثالث ١٢٥.
