فيديو الدرس: تساوي وجمع وطرح الأعداد المركبة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سنتعلم كيفية جمع الأعداد المركبة وطرحها. سنبدأ بمراجعة المقصود بالعدد المركب وما يعنيه تساوي عددين مركبين. وسنتعلم بعد ذلك كيفية جمع هذه الأعداد وطرحها، مع توسيع نطاق هذه الفكرة لنصل إلى حل المعادلات البسيطة التي تتضمن أعدادًا مركبة.

تذكر أن العدد المركب ﻉ هو عدد يكتب على الصورة ﺃ زائد ﺏﺕ. ومن المهم أن يكون ﺃ وﺏ ينتميان كلاهما إلى الأعداد الحقيقية. ويعرف ﺕ على أنه حل المعادلة ﺱ تربيع يساوي سالب واحد. نقول إن ﺕ تربيع يساوي سالب واحد، وفي بعض الأحيان نقول إن ﺕ يساوي الجذر التربيعي لسالب واحد.

بالنسبة للعدد المركب ﺃ زائد ﺏﺕ، نقول إن الجزء الحقيقي من العدد ﻉ هو ﺃ والجزء التخيلي هو ﺏ. ومن المهم أن نقول إن الجزء التخيلي هو ﺏ وليس ﺏﺕ. فهو ببساطة معامل ﺕ. وكما أن مجموعة الأعداد الحقيقية يرمز لها بالحرف ﺣ، فإن مجموعة الأعداد المركبة يرمز لها بالحرف ﻙ، كما هو موضح.

قبل أن نتمكن من إجراء عمليتي الجمع والطرح وبالطبع حل المعادلات التي تتضمن أعدادًا مركبة، يجب أن نعرف ما يعنيه تساوي عددين مركبين. رأينا بالفعل أن العدد المركب يتكون من جزأين؛ جزء حقيقي وجزء تخيلي. ‏‏ﺃ وﺏ هما الجزآن الحقيقي والتخيلي على الترتيب. وكلاهما ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.

لنقل إن لدينا عددين مركبين ﺃ زائد ﺏﺕ وﺟ زائد ﺩﺕ. نريد أن نعرف ما يعنيه تساوي هذين العددين المركبين. وذلك، في الواقع، يعني أن جزأيهما الحقيقيين يجب أن يكونا متساويين، ويجب أيضًا أن يكون جزآهما التخيليين متساويين، كل على حدة. يمكننا القول إذن إن ﺃ زائد ﺏﺕ يساوي ﺟ زائد ﺩﺕ إذا كان ﺃ يساوي ﺟ وﺏ يساوي ﺩ. بعبارة أخرى، يتساوى العددان المركبان إذا تساوى الجزآن الحقيقيان وتساوى الجزآن التخيليان، كل على حدة. وبالطبع فالعكس صحيح أيضًا. فإذا كان ﺃ يساوي ﺟ وﺏ يساوي ﺩ في حالة العددين المركبين ﺃ زائد ﺏﺕ وﺟ زائد ﺩﺕ، إذن يجب أن يكون ﺃ زائد ﺏﺕ مساويًا لـ ﺟ زائد ﺩﺕ. دعونا نلق نظرة على مسألة سيفيدنا فيها هذا التعريف.

إذا كان العددان المركبان سبعة زائد ﺃﺕ وﺏ ناقص ثلاثة ﺕ متساويين، فما قيمة كل من ﺃ وﺏ؟

تذكر أنه لكي يتساوى عددان مركبان، يجب أن يتساوى جزآهما الحقيقيان، ويتساوى جزآهما التخيليان كذلك. وما يميز هذه الحقيقة هو أنها تأخذ مسألة متعلقة بالأعداد المركبة وتجعلها مسألة متعلقة تمامًا بالأعداد الحقيقية؛ إذ إن كلا الجزأين الحقيقي والتخيلي في كلا العددين المركبين ينتمي إلى الأعداد الحقيقية.

دعونا إذن نلق نظرة على العددين المركبين سبعة زائد ﺃﺕ وﺏ ناقص ثلاثة ﺕ. الجزء الحقيقي من العدد المركب الأول هو سبعة، والجزء الحقيقي من العدد المركب الثاني هو ﺏ. الجزء التخيلي من العدد المركب الأول هو ﺃ، والجزء التخيلي من العدد المركب الثاني هو سالب ثلاثة. وبالتالي فالعدد سبعة يجب أن يساوي ﺏ وﺃ يجب أن يساوي سالب ثلاثة. العددان سالب ثلاثة وسبعة كلاهما عددان حقيقيان، وهو ما يحقق ما نريده للجزأين الحقيقي والتخيلي من العدد المركب. إذن لكي يتساوى العددان المركبان سبعة زائد ﺃﺕ وﺏ ناقص ثلاثة ﺕ، يجب أن يكون ﺃ مساويًا لسالب ثلاثة وأن يكون ﺏ مساويًا لسبعة.

ماذا عن جمع الأعداد المركبة وطرحها؟ تذكر أن العدد المركب هو ناتج جمع عدد حقيقي وعدد تخيلي. يمكننا مقارنة هذا نوعًا ما بفكرة المقدار الجبري مثل أربعة زائد سبعة ﺱ. فهذا ناتج جمع عدد وحد يحتوي على ﺱ. يمكننا مثلًا جمع أربعة زائد سبعة ﺱ ومقدار آخر مثل اثنين زائد خمسة ﺱ من خلال جمع العددين معًا للحصول على ستة، وجمع الحدين اللذين يحتويان على ﺱ. وهما سبعة ﺱ وخمسة ﺱ، ما يعطينا ١٢ﺱ.

يمكننا جمع عددين مركبين بالطريقة نفسها بالضبط، مع تذكر أن الحرف ﺕ لا يمثل متغيرًا. ولكنه حل المعادلة ﺱ تربيع يساوي سالب واحد. دعونا نعمم ذلك على العددين المركبين ﺃ زائد ﺏﺕ وﺟ زائد ﺩﺕ. مجموعهما هو ﺃ زائد ﺏﺕ زائد ﺟ زائد ﺩﺕ. يمكننا جمع الجزأين الحقيقيين ﺃ وﺟ لنحصل على ﺃ زائد ﺟ، ثم نجمع جزأيهما التخيليين. هذا يساوي ﺏ زائد ﺩ. نلاحظ أن مجموع هذين العددين المركبين يساوي ﺃ زائد ﺟ زائد ﺏ زائد ﺩﺕ.

أما الفرق بينهما فهو ﺃ زائد ﺏﺕ ناقص ﺟ زائد ﺩﺕ. هذه المرة، نجمع جزأيهما الحقيقيين لنحصل على ﺃ ناقص ﺟ. ونجمع جزأيهما التخيليين. فنحصل على ﺏ. ثم نفك القوس لنحصل على سالب ﺩ. إذن، الفرق يساوي ﺃ ناقص ﺟ زائد ﺏ ناقص ﺩﺕ. إذن، لجمع الأعداد المركبة وطرحها، نجمع أجزاءها الحقيقية أو نطرحها، ونجمع أجزاءها التخيلية أو نطرحها، كلًا على حدة.

في الواقع، ما رأيناه حتى الآن هو أنه يمكننا أن نأخذ مسألة عن الأعداد المركبة ونحولها إلى مسألة عن الأعداد الحقيقية، بالنظر إلى الأجزاء الحقيقية والتخيلية. هذا رائع؛ لأنه يعني أنه يمكننا توسيع نطاق مهارتنا في التعامل مع الأعداد الحقيقية ليشمل أيضًا التعامل مع الأعداد المركبة. دعونا نر كيف يكون ذلك.

ما ناتج سالب تسعة زائد سبعة زائد أربعة ﺕ زائد سالب أربعة ناقص أربعة ﺕ ناقص واحد زائد ثلاثة ﺕ؟

تذكر أنه يمكننا جمع الأعداد المركبة أو طرحها من خلال جمع أجزائها الحقيقية معًا، وجمع أجزائها التخيلية معًا. لدينا هنا أربعة أعداد مركبة. قد لا يبدو العدد سالب تسعة عددًا مركبًا، لكن يمكننا القول إنه كذلك بالفعل. فهو سالب تسعة زائد صفر ﺕ.

لحل هذه المسألة، سنحسب الجزء الحقيقي أولًا. إنه سالب تسعة زائد سبعة ناقص أربعة ناقص واحد، وهو ما يساوي سالب سبعة. بالمثل، الأجزاء التخيلية هي صفر وأربعة وسالب أربعة وسالب ثلاثة.

تذكر، نفك هذا القوس الأخير. وسالب مضروبًا في موجب يساوي سالب. هذا يعطينا سالب ثلاثة. إذن، الجزء الحقيقي من الناتج هو سالب سبعة والجزء التخيلي هو سالب ثلاثة. إذن، سالب تسعة زائد سبعة زائد أربعة ﺕ زائد سالب أربعة ناقص أربعة ﺕ ناقص واحد زائد ثلاثة ﺕ يساوي سالب سبعة ناقص ثلاثة ﺕ.

نعلم أيضًا أنه يمكن توسيع نطاق الكثير من الخواص الجبرية ليشمل مفهوم الأعداد السالبة. كان بإمكاننا أن نجمع الحدود المتشابهة. بفك هذا القوس الأخير هذا وإعادة الترتيب قليلًا، نحصل على سالب تسعة زائد سبعة زائد سالب أربعة ناقص واحد زائد أربعة ﺕ زائد سالب أربعة ﺕ ناقص ثلاثة ﺕ، ما يعطينا مرة أخرى سالب سبعة ناقص ثلاثة ﺕ. هذه الطريقة الأخيرة، أي طريقة تجميع الحدود المتشابهة، هي بوجه عام الطريقة التي نستخدمها عند جمع الأعداد المركبة وطرحها.

من المفيد أن نتذكر أن هناك طرقًا أخرى يمكن استخدامها. لنكتشف السبب في ذلك.

إذا كان ﺭ يساوي خمسة زائد اثنين ﺕ وﻑ يساوي تسعة ناقص ﺕ، فأوجد الجزء الحقيقي من ﺭ ناقص ﻑ.

لدينا هنا عددان مركبان هما خمسة زائد اثنين ﺕ وتسعة ناقص ﺕ. يمكننا ملاحظة أن الجزء الحقيقي من ﺭ هو خمسة والجزء الحقيقي من ﻑ هو تسعة. الجزء التخيلي من ﺭ هو اثنان والجزء التخيلي من ﻑ هو سالب واحد. مطلوب منا إيجاد الجزء الحقيقي للفرق بين ﺭ وﻑ. ويمكننا بالتأكيد التوصل إلى حل ﺭ ناقص ﻑ من خلال تجميع الحدود المتشابهة. هذا يساوي خمسة زائد اثنين ﺕ ناقص تسعة ناقص ﺕ.

من المهم أن نستخدم القوس هنا لأنه يذكرنا بأننا نطرح كل ما بداخله، أي تسعة ناقص ﺕ. إذا فككنا هذا القوس، فسنحصل على خمسة زائد اثنين ﺕ ناقص تسعة زائد ﺕ، حيث إن طرح قيمة سالبة يماثل جمع قيمة موجبة. ثم نبسط من خلال تجميع الحدود المتشابهة. ولكن قد يتطلب هذا جهدًا أكبر مما يلزمنا بالفعل.

في الواقع، نتذكر أنه لطرح الأعداد المركبة، نطرح الأجزاء الحقيقية ببساطة، ثم نطرح الأجزاء التخيلية على حدة. مطلوب منا إيجاد الأجزاء الحقيقية من العدد المركب ﺭ ناقص ﻑ. إذن علينا فقط أن نطرح الجزء الحقيقي من ﻑ من الجزء الحقيقي من ﺭ. يمكننا صياغة ذلك وقول إن الجزء الحقيقي من ﺭ ناقص ﻑ يساوي الجزء الحقيقي من ﺭ ناقص الجزء الحقيقي من ﻑ. نعلم بالفعل أن الجزء الحقيقي من ﺭ هو خمسة والجزء الحقيقي من ﻑ هو تسعة. خمسة ناقص تسعة يساوي سالب أربعة. إذن، الجزء الحقيقي من ﺭ ناقص ﻑ في هذه المسألة يساوي سالب أربعة.

بذلك نكون قد عرفنا ما يعنيه تساوي عددين مركبين وعرفنا كيفية جمع الأعداد المركبة وطرحها، وسيتيح لنا ذلك حل المعادلات البسيطة التي تتضمن هذا النوع من الأعداد.

أوجد قيمتي ﺱ وﺹ الحقيقيتين اللتين تحققان المعادلة خمسة ﺱ زائد اثنين زائد ثلاثة ﺹ ناقص خمسة ﺕ يساوي سالب ثلاثة زائد أربعة ﺕ.

لنتأمل جيدًا ما لدينا من معطيات. لدينا عددان مركبان عرفنا أنهما متساويان. أعلم أن المقدار الذي على يمين علامة التساوي لا يبدو عددًا مركبًا، ولكنه كذلك بالفعل. تذكر أن العدد المركب هو عدد يكتب بالصورة ﺃ زائد ﺏﺕ، حيث ﺃ وﺏ عددان حقيقيان. ونحن نعرف أن ﺱ وﺹ عددان حقيقيان. وهذا يعني أن المقدار خمسة ﺱ زائد اثنين يجب أن يكون حقيقيًا، والمقدار ثلاثة ﺹ ناقص خمسة حقيقي أيضًا. إذن خمسة ﺱ زائد اثنين زائد ثلاثة ﺹ ناقص خمسة ﺕ هو عدد مركب. فهو يتكون من الجزء الحقيقي خمسة ﺱ زائد اثنين والجزء التخيلي ثلاثة ﺹ ناقص خمسة.

نتذكر بعد ذلك ما يعنيه تساوي عددين مركبين. نعرف أن العددين المركبين ﺃ زائد ﺏﺕ وﺟ زائد ﺩﺕ متساويان، إذا كان ﺃ يساوي ﺟ وﺏ يساوي ﺩ. بعبارة أخرى، يجب أن يكون جزآهما الحقيقيان متساويين، ويجب أن يكون جزآهما التخيليان متساويين أيضًا، كل على حدة.

لنبدأ بالجزأين الحقيقيين في المسألة. رأينا أن الجزء الحقيقي من العدد المركب الذي على اليمين هو خمسة ﺱ زائد اثنين. والجزء الحقيقي على اليسار هو سالب ثلاثة. هذا يعني أن خمسة ﺱ زائد اثنين يجب أن يساوي سالب ثلاثة. سنحل هذه المعادلة بالطريقة المعتادة من خلال تطبيق سلسلة من العمليات العكسية. نطرح اثنين من كلا الطرفين ثم نقسم الطرفين على خمسة. نجد أن ﺱ يساوي سالب واحد.

لنكرر هذه العملية مع الجزأين التخيليين. قلنا إن الجزء التخيلي من العدد الذي على اليمين هو ثلاثة ﺹ ناقص خمسة. والجزء التخيلي على اليسار هو أربعة. هذا يعني أن ثلاثة ﺹ ناقص خمسة يجب أن يساوي أربعة. يمكننا إضافة خمسة إلى طرفي المعادلة. ثم نقسم الطرفين على ثلاثة. نجد أن ﺹ يجب أن يساوي ثلاثة. بذلك نكون قد حللنا المعادلة لإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ. قيمة ﺱ تساوي سالب واحد وقيمة ﺹ تساوي ثلاثة.

من المنطقي دائمًا أن نتحقق من الإجابة بالتعويض بها في المعادلة والتأكد من صحتها. إذا فعلنا ذلك، نحصل على خمسة في سالب واحد زائد اثنين زائد ثلاثة في ثلاثة ناقص خمسة ﺕ. هذا يعطينا بالفعل سالب ثلاثة زائد أربعة ﺕ كما هو مطلوب.

المثال الأخير يستخدم كل ما تناولناه في هذا الفيديو بشكل أكثر تعقيدًا بعض الشيء.

لنفترض أن ﻉ واحد يساوي أربعة ﺱ زائد اثنين ﺹﺕ وﻉ اثنين يساوي أربعة ﺹ زائد ﺱﺕ، حيث ﺱ وﺹ عددان حقيقيان. إذا كان ﻉ واحد ناقص ﻉ اثنين يساوي خمسة زائد اثنين ﺕ، فأوجد قيمتي ﻉ واحد وﻉ اثنين.

لنتأمل جيدًا ما لدينا من معطيات. لدينا عددان مركبان بدلالة ﺱ وﺹ. نعلم أنهما عددان مركبان لأننا نعلم أن ﺱ وﺹ عددان حقيقيان. وهذا تعريف مهم للعدد المركب. كل من الجزأين الحقيقي والتخيلي من العدد المركب ينتمي للأعداد الحقيقية. نعلم أن الفرق بين هذين العددين هو خمسة زائد اثنين ﺕ.

دعونا نتذكر أنه لطرح الأعداد المركبة، نطرح الأجزاء الحقيقية، ثم نطرح الأجزاء التخيلية على حدة. هذا يعني أن الجزء الحقيقي من ﻉ واحد ناقص ﻉ اثنين يجب أن يساوي الفرق بين الجزأين الحقيقيين من ﻉ واحد وﻉ اثنين. الجزء الحقيقي من ﻉ واحد ناقص ﻉ اثنين هو خمسة. والجزء الحقيقي من ﻉ واحد هو أربعة ﺱ، والجزء الحقيقي من العدد المركب الثاني هو أربعة ﺹ. إذن خمسة يساوي أربعة ﺱ ناقص أربعة ﺹ.

لنكرر هذه العملية مع الأجزاء التخيلية. الجزء التخيلي للفرق هو اثنان. والجزء التخيلي من ﻉ واحد هو اثنان ﺹ، والجزء التخيلي من ﻉ اثنين هو ﺱ. إذن، اثنان يساوي اثنين ﺹ ناقص ﺱ. نلاحظ أن لدينا معادلتين آنيتين في ﺱ وﺹ. يمكننا استخدام أي طريقة نفضلها لحل هاتين المعادلتين معًا.

أعتقد أن طريقة التعويض تصلح بشكل جيد جدًا لهاتين المعادلتين. دعونا نعد ترتيب المعادلة الثانية كي نجعل ﺱ في طرف بمفرده. نضيف ﺱ إلى الطرفين ثم نطرح اثنين. لنحصل على ﺱ يساوي اثنين ﺹ ناقص اثنين. ثم نعوض بذلك في المعادلة الأولى. ونجد أن خمسة يساوي أربعة أمثال قيمة ﺱ التي تساوي اثنين ﺹ ناقص اثنين. ثم نطرح أربعة ﺹ.

نفك هذا القوس بضرب كل حد في أربعة. ونجد أن خمسة يساوي ثمانية ﺹ ناقص ثمانية ناقص أربعة ﺹ. ثمانية ﺹ ناقص أربعة ﺹ يساوي أربعة ﺹ. سنحل هذه المعادلة بإضافة ثمانية إلى كلا الطرفين لنحصل على ١٣ يساوي أربعة ﺹ. وبعد ذلك نقسم الطرفين على أربعة. نجد أن ﺹ يساوي ١٣ على أربعة.

يمكننا التعويض بهذه القيمة في أي من المعادلتين الأصليتين. ولكن من المنطقي أن نختار المعادلة الثانية المعاد ترتيبها. ‏‏ﺱ يساوي اثنين مضروبًا في ١٣ على أربعة ناقص اثنين. اثنان مضروبًا في ١٣ على أربعة يساوي ١٣ على اثنين. واثنان يساوي أربعة على اثنين. ‏‏١٣ على اثنين ناقص أربعة على اثنين يساوي تسعة على اثنين. وعادة ما نتوقف عند هذه النقطة.

ولكن مطلوب منا إيجاد قيمة العددين المركبين ﻉ واحد وﻉ اثنين. وبالتالي علينا التعويض بقيمتي ﺱ وﺹ في كل من هذين. نحصل على ﻉ واحد يساوي أربعة مضروبًا في تسعة على اثنين زائد اثنين مضروبًا في ١٣ على أربعة ﺕ. هذا يساوي ١٨ زائد ١٣ على اثنين ﺕ. وﻉ اثنين يساوي أربعة مضروبًا في ١٣ على أربعة زائد تسعة على اثنين ﺕ. وهذا يساوي ١٣ زائد تسعة على اثنين ﺕ.

ومن المنطقي أن نتحقق من الإجابة بطرح ﻉ اثنين من ﻉ واحد للتأكد من أننا بالفعل نحصل على خمسة زائد اثنين ﺕ. نطرح جزأيهما الحقيقيين. ‏‏١٨ ناقص ١٣ يساوي خمسة كما هو مطلوب. ثم نطرح جزأيهما التخيليين. ‏‏١٣ على اثنين ناقص تسعة على اثنين يساوي أربعة على اثنين، مما يبسط إلى اثنين. الجزء التخيلي يساوي اثنين كما هو مطلوب.

في هذا الفيديو، عرفنا أنه يمكننا تحويل مسألة متعلقة بالأعداد المركبة إلى مسألة تتضمن أعدادًا حقيقية بالنظر إلى الأجزاء الحقيقية والتخيلية. كما عرفنا أن هذا مفيد لأننا نعلم بالفعل كيفية جمع الأعداد الحقيقية وطرحها والمساواة بينها. عرفنا أيضًا أنه يمكننا توسيع نطاق الأفكار المتعلقة بقواعد المقادير الجبرية لمساعدتنا في التعامل مع الأعداد المركبة.

علمنا أن العددين المركبين يكونان متساويين إذا تساوى جزآهما الحقيقيان وتساوى جزآهما التخيليان، كل على حدة. وأخيرًا، تعلمنا أنه يمكننا جمع الأعداد المركبة وطرحها من خلال جمع أجزائها الحقيقية أو طرحها، وجمع أجزائها التخيلية أو طرحها.