فيديو السؤال: الحركة بعجلة خلال المسافة والزمن الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

يوضح التمثيل البياني التغير في السرعة المتجهة لجسم مقابل الزمن.

نلاحظ أن لدينا هنا تمثيلًا بيانيًّا؛ حيث تمثل السرعة المتجهة على المحور الرأسي بالمتر لكل ثانية، ويمثل الزمن على المحور الأفقي بالثانية. ويمكننا أيضًا ملاحظة أن الجسم بدأ حركته عند الزمن صفر ثانية بسرعة متجهة مقدارها 20 مترًا لكل ثانية، وعند الزمن 15 ثانية، زادت السرعة المتجهة للجسم إلى 50 مترًا لكل ثانية. ويمكننا ملاحظة أن هذه الزيادة في السرعة المتجهة تحدث بمعدل ثابت؛ لأن ميل المنحنى في التمثيل البياني ثابت. بعبارة أخرى، الخط الأزرق خط مستقيم. إذن، تزيد السرعة المتجهة للجسم بالمقدار نفسه لكل وحدة زمن.

السؤال الأول هو: ما السرعة المتجهة للجسم عند ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا؟

بعبارة أخرى، مطلوب منا إيجاد السرعة المتجهة للجسم عند الزمن ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا في بداية المسار، أو على الأقل في بداية الجزء المرسوم من هذا التمثيل البياني. عند الزمن ‪𝑡‬‏ يساوي صفرًا، نلاحظ أن السرعة المتجهة للجسم تساوي 20 مترًا لكل ثانية. وهذه إجابة السؤال الأول. دعونا نكتب هذه المعلومة هنا في الأعلى، ثم لننتقل إلى السؤال التالي.

ما المدة التي تحرك خلالها الجسم بعجلة؟

المطلوب منا في هذا السؤال هو إيجاد الزمن الذي يتحرك خلاله الجسم بعجلة. تتضمن العجلة تغيرًا في السرعة المتجهة، سواء أكان هذا التغير زيادة أو نقصانًا. وفي هذه الحالة، نلاحظ أن السرعة المتجهة للجسم تزداد مع الزمن. لكن الأهم من ذلك هو أن السرعة المتجهة للجسم تزداد خلال التمثيل البياني بأكمله. أي إنه خلال الثواني الـ 15 التي رسم فيها المنحنى، تتغير السرعة المتجهة؛ ومن ثم يتحرك الجسم بعجلة. وبذلك، تكون إجابة هذا الجزء من السؤال هي أن الجسم يتحرك بعجلة لمدة 15 ثانية. دعونا نكتب هذه المعلومة هنا في الأعلى، ثم لننتقل إلى السؤال التالي.

ما السرعة المتجهة للجسم بعد تحركه بعجلة؟

نعلم أن الجسم يبدأ التحرك بعجلة عند هذا الزمن. وقد ذكرنا أنه ينتهي من التحرك بعجلة عند هذا الزمن الذي انتهى عنده رسم المنحنى. علينا إيجاد سرعة الجسم المتجهة عند هذه النقطة؛ أي بعد انتهائه من التحرك بعجلة. ولإيجاد هذه الكمية، علينا الانتقال إلى المحور الرأسي؛ حيث نلاحظ أن قيمة السرعة المتجهة تساوي 50 مترًا لكل ثانية. وهذه إجابة هذا الجزء من السؤال. لنكتب هذه المعلومة هنا في الأعلى أيضًا. لننتقل إلى الجزء التالي من السؤال.

ما عجلة الجسم؟

لإيجاد عجلة الجسم، يمكننا استخدام إحدى طريقتين. أولًا، يمكننا تذكر أن عجلة الجسم تعرف بأنها التغير في السرعة المتجهة للجسم مقسومًا على الزمن المستغرق لحدوث هذا التغير في السرعة المتجهة. في هذه الحالة، يمكننا القول إن عجلة الجسم تساوي السرعة المتجهة النهائية، وهي 50 مترًا لكل ثانية، ناقص السرعة المتجهة الابتدائية، وهي 20 مترًا لكل ثانية، على الزمن المستغرق لحدوث هذه العجلة، الذي نعرف أنه يساوي 15 ثانية. وبالمناسبة، التغير في السرعة المتجهة يساوي السرعة المتجهة النهائية ناقص السرعة المتجهة الابتدائية. ولهذا السبب طرحنا السرعة المتجهة الابتدائية من السرعة المتجهة النهائية لنحصل على ‪∆𝑣‬‏ أو التغير في السرعة المتجهة.

لكن على أي حال، عند إيجاد قيمة ذلك في الجانب الأيمن، نلاحظ أولًا أن البسط يحتوي على وحدتي متر لكل ثانية؛ لأن وحدة هاتين الكميتين هي المتر لكل ثانية، ونحن نقسم البسط على وحدة الثانية. إذن، ستكون الوحدة النهائية للعجلة مترًا لكل ثانية مقسومًا على ثانية، أو بعبارة أخرى، مترًا لكل ثانية تربيع، وهذا جيد لأنها وحدة العجلة. بحساب ذلك؛ أي 50 ناقص 20 مقسومًا على 15 مع وحدة المتر لكل ثانية تربيع بالطبع، نجد أن عجلة الجسم تساوي مترين لكل ثانية تربيع. أي إن سرعة الجسم المتجهة تزداد كل ثانية بمقدار مترين لكل ثانية. فالجسم يبدأ بسرعة 20 مترًا لكل ثانية. وبعد ثانية واحدة، تصبح السرعة المتجهة 22 مترًا لكل ثانية. وبعد ثانية أخرى، تصبح 24 مترًا لكل ثانية، وهكذا. تستمر هذه الزيادة حتى 15 ثانية لتبلغ سرعة الجسم المتجهة 50 مترًا لكل ثانية.

ثمة طريقة أخرى لإيجاد عجلة هذا الجسم، وهي إيجاد ميل الخط المستقيم. وذلك لأن الخط المستقيم يمثل حركة الجسم، وميل منحنى السرعة المتجهة مقابل الزمن يعطينا عجلة الجسم. في الواقع، تعطينا هذه الطريقة، من الناحية الرياضية، النتيجة نفسها. وذلك لأنه من أجل إيجاد الميل، فإننا نوجد التغير في قيمتي المحور الرأسي، ونقسمه على التغير في قيمتي المحور الأفقي. والتغير في قيمتي المحور الرأسي يساوي 50 ناقص 20 مترًا لكل ثانية، والتغير في قيمتي المحور الأفقي يساوي 15 ناقص صفر ثانية. إذن، فنحن نجري، من الناحية الرياضية، العملية الحسابية نفسها، ونحصل على الإجابة نفسها. ومن ثم، يمكننا القول إن عجلة الجسم تساوي مترين لكل ثانية تربيع. بكتابة هذه المعلومة هنا في الأعلى، يمكننا الانتقال إلى الجزء الأخير من السؤال.

ما إزاحة الجسم؟

علينا الآن إيجاد المسافة التي يقطعها الجسم في خط مستقيم أثناء تسارعه من 20 مترًا لكل ثانية إلى 50 مترًا لكل ثانية. توجد طريقتان لإيجاد ذلك. تتمثل الطريقة الأولى في تذكر أن المساحة تحت منحنى السرعة مقابل الزمن تعطينا إزاحة الجسم. لذا، إذا أردنا إيجاد إزاحة الجسم، فعلينا إيجاد هذه المساحة هنا، أو بعبارة أخرى، علينا إيجاد المساحة المحصورة بين صفر ثانية و 15 ثانية، والخط نفسه؛ أي الخط الأزرق، والمحور الأفقي.

أبسط طريقة لفعل ذلك هي تقسيم المساحة إلى جزأين. الجزء الأول هو المستطيل الذي حددناه هنا، والجزء الثاني هو هذا المثلث. لذا، دعونا نسم كل جزء منهما. لنقل إن المستطيل هو المساحة واحد، والمثلث هو المساحة اثنان. ومن ثم، يمكننا القول إن إزاحة الجسم، التي سنسميها ‪𝑠‬‏، تساوي المساحة الكلية الواقعة تحت الخط المستقيم. وبذلك، يمكننا القول إن هذه المساحة الكلية تساوي المساحة واحد زائد المساحة اثنين. لنبدأ إذن بإيجاد المساحة واحد؛ أي مساحة المستطيل.

يمكننا أن نتذكر أن مساحة المستطيل تساوي عرضه مضروبًا في ارتفاعه. عرض المستطيل يساوي 15 ناقص صفر ثانية، وهو ما يساوي 15 ثانية. وارتفاع المستطيل يساوي 20 ناقص صفر متر لكل ثانية، وهو ما يساوي 20 مترًا لكل ثانية. وقد تذكرنا تضمين الوحدات في كلتا الحالتين؛ لأن المحور الأفقي هو محور الزمن والمحور الرأسي هو محور السرعة المتجهة. لكن على أي حال، يمكننا القول إن المساحة واحد تساوي العرض، وهو 15 ثانية، مضروبًا في الارتفاع، وهو 20 مترًا لكل ثانية. وعند حساب ذلك، نجد أن وحدة الثانية هنا تحذف مع وحدة الثانية في المقام. وتتبقى لدينا وحدة المتر.

إذن، المساحة واحد، وهي مساحة المستطيل في التمثيل البياني، تساوي 15 مضروبًا في 20 مترًا. وهو ما يساوي 300 متر. هذه المسافة التي تساوي 300 متر، أو بعبارة أخرى، مساحة المستطيل، وهي المساحة واحد، تمثل المسافة الكلية التي كان الجسم سيقطعها لو لم يكن يتحرك بعجلة، وظل متحركًا، بدلًا من ذلك، بسرعة ثابتة مقدارها 20 مترًا لكل ثانية طوال مساره. لكننا نعلم أن الجسم يتحرك بعجلة. فهو يزيد من سرعته. ومن ثم، يقطع مسافة أكبر من المعتاد. وهذه المسافة الإضافية المقطوعة نتيجة حركة الجسم بعجلة تمثلها المساحة اثنان؛ أي مساحة المثلث. لنحسب الآن المساحة اثنين.

للقيام بذلك، نتذكر أن مساحة المثلث، التي سنسميها ‪𝐴‬‏ مثلث، تساوي نصفًا في طول قاعدة المثلث في ارتفاعه. وطول قاعدة المثلث هو ببساطة نفس طول قاعدة المستطيل. وهو 15 ثانية. والارتفاع هو هذه المسافة هنا؛ أو بعبارة أخرى، هذا الطول هنا. وهذا الطول يساوي 50 ناقص 20 مترًا لكل ثانية. إذن، فإن ارتفاع المثلث يساوي 30 مترًا لكل ثانية. وبذلك، يمكننا القول إن مساحة المثلث، المساحة اثنين، تساوي نصفًا في طول القاعدة الذي رأينا أنه يساوي 15 ثانية في الارتفاع الذي رأينا أنه يساوي 30 مترًا لكل ثانية. وعند حساب ذلك، نجد مرة أخرى أن وحدة الثانية تحذف مع وحدة الثانية من المقام هنا. وتتبقى لنا وحدة المتر فقط. إذن، هذا كله يساوي 225 مترًا.

لقد حسبنا المساحة واحد والمساحة اثنين الآن. كل ما علينا فعله لحساب الإزاحة الكلية للجسم أثناء حركته بعجلة هو جمع الكميتين؛ المساحة واحد، والمساحة اثنين. لكن قبل أن نفعل ذلك، تجدر الإشارة هنا إلى أننا حسبنا المساحة تحت هذا المنحنى. ومع ذلك، فوحدة كل مساحة من هاتين المساحتين هي المتر. على الرغم من أننا قد حسبنا المساحة تحت هذا المنحنى بالفعل، فإن هاتين المساحتين تمثلان إزاحة. فعند حساب هاتين المساحتين، ضربنا وحدة المتر لكل ثانية في الثانية. بعبارة أخرى، هاتان الكميتان لا تمثلان مساحات في الحقيقة. بل تمثلان إزاحة. الشيء الوحيد الذي يتعلق بالمساحة وينبغي أن يشغل تفكيرنا هو أننا لو رسمنا هذا التمثيل البياني على ورقة، فإن المساحة الفعلية على هذه الورقة تحت المنحنى تكون هي المساحة التي حسبناها.

لكن على أي حال، وبالرجوع إلى العملية الحسابية، يمكننا القول إن إزاحة الجسم تساوي المساحة واحد، وهي 300 متر، زائد المساحة اثنين، التي تساوي 225 مترًا. وهو ما يساوي 525 مترًا. إذن، عند هذه اللحظة، نكون قد أوجدنا إزاحة الجسم.

لكن، ثمة طريقة أخرى كان يمكننا استخدامها لإيجاد الإزاحة. إذ كان من الممكن استخدام معادلة الحركة الآتية: ‪𝑠‬‏ يساوي ‪𝑢𝑡‬‏ زائد نصف ‪𝑎𝑡‬‏ تربيع؛ حيث ‪𝑠‬‏ هي إزاحة الجسم، كما سبق ورأينا. و‪𝑢‬‏ هي السرعة المتجهة الابتدائية، التي نعلم بالفعل أنها تساوي 20 مترًا لكل ثانية. و‪𝑡‬‏ هو الزمن الذي يتحرك خلاله الجسم بعجلة، ونعلم أيضًا أنه يساوي 15 ثانية. و‪𝑎‬‏ هي عجلة الجسم، التي حسبنا أنها تساوي مترين لكل ثانية مربعة. وباستخدام معادلة الحركة هذه، نحصل على الإجابة نفسها. جرب ذلك بنفسك. أوقف الفيديو واستخدم هذه الكميات في معادلة الحركة هذه لإيجاد إزاحة الجسم. والآن، نكون قد أوجدنا إجابة الجزء الأخير من السؤال. إزاحة الجسم تساوي 525 مترًا.