نسخة الفيديو النصية
أوجد معادلتي مماسي منحنى الدالة ﺹ يساوي ﺱ زائد ثمانية في ﺱ زائد ١٠ عند نقطتي تقاطعه مع المحور ﺱ.
دعونا نبدأ بتحديد إحداثيات هاتين النقطتين. نبحث هنا عن نقطتي تقاطع المنحنى مع المحور ﺱ. ونعرف أنه في أي مكان على المحور ﺱ، ﺹ يساوي صفرًا. إذن، بتكوين معادلة ﺹ يساوي صفرًا، نحصل على معادلة يمكننا حلها لإيجاد قيمتي الإحداثي ﺱ لنقطتي تقاطع المنحنى مع المحور ﺱ.
هذه معادلة تربيعية في صورتها التحليلية. إذن، يمكننا أن نتناول كل عامل على حدة، ونساويه بالصفر، ثم نحل المعادلة الخطية الناتجة، وبذلك نحصل على ﺱ زائد ثمانية يساوي صفرًا، وهو ما ينتج عنه أن ﺱ يساوي سالب ثمانية، وﺱ زائد ١٠ يساوي صفرًا، وهو ما ينتج عنه أن ﺱ يساوي سالب ١٠. ومن ثم، فإن نقطتي تقاطع هذا المنحنى مع المحور ﺱ هما النقطتان سالب ١٠، صفر، وسالب ثمانية، صفر. يمكننا رسم هذا المنحنى، إن أردنا. وهو منحنى دالة تربيعية له معامل رئيسي موجب يقطع المحور ﺱ عند سالب ١٠ وسالب ثمانية. وعليه، سيبدو بهذا الشكل تقريبًا.
علينا بعد ذلك إيجاد معادلتي الخطين المستقيمين اللتان تكونان مماسين لهذا المنحنى عند نقطتي تقاطعه مع المحور ﺱ. وهما هذان الخطان المستقيمان المرسومان باللون الأخضر. نعلم أن المعادلة العامة للخط المستقيم في صيغة الميل ونقطة هي ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد، حيث يمثل ﺱ واحد، ﺹ واحد إحداثيي نقطة على الخط المستقيم ويمثل ﻡ ميله. نعرف إحداثيي نقطة واحدة على كل خط من الخطين المماسين. إذن، لتطبيق هذه الصيغة، علينا تحديد ميلهما. يمكننا فعل ذلك باسترجاع أن ميل الخط المستقيم المماس لمنحنى عند أي نقطة معلومة هو نفسه ميل المنحنى عند تلك النقطة، وهو ما يمكننا إيجاده من خلال حساب المشتقة الأولى لمعادلته.
قبل أن نبدأ بالاشتقاق، دعونا نجر بعض الخطوات على تعبير دالة هذا المنحنى ونبدأ بفك الأقواس بالتوزيع ثم التبسيط لنحصل على ﺹ يساوي ﺱ تربيع زائد ١٨ﺱ زائد ٨٠، وهي دالة كثيرة الحدود. لعلنا نسترجع قاعدة القوة للاشتقاق التي تنص على أن المشتقة بالنسبة إلى ﺱ لحد قوة عام ﺃﺱ أس ﻥ حيث ﺃ وﻥ قيمتان حقيقيتان يساوي ﺃﻥ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. نضرب في الأس ثم نطرح واحدًا منه.
يمكننا الآن تطبيق قاعدة القوة للاشتقاق هذه لإيجاد مشتقة الدالة ﺹ. مشتقة ﺱ تربيع بالنسبة إلى ﺱ تساوي اثنين ﺱ. ومشتقة موجب ١٨ﺱ تساوي موجب ١٨، وهو ما يمكننا ملاحظته إذا اعتبرنا أن ١٨ﺱ يساوي ١٨ﺱ أس واحد. وأخيرًا، مشتقة الحد الثابت موجب ٨٠ تساوي صفرًا، وهو ما يمكننا ملاحظته إذا اعتبرنا أن العدد ٨٠ يساوي ٨٠ﺱ أس صفر. إذن، نجد أن دالة الميل العامة للمنحنى دﺹ على دﺱ تساوي اثنين ﺱ زائد ١٨.
علينا بعد ذلك إيجاد الميل عند كل نقطة من النقطتين اللتين تعنياننا. أولًا، عند ﺱ يساوي سالب ١٠، سيساوي الميل اثنين في سالب ١٠ زائد ١٨. وهذا يساوي سالب ٢٠ زائد ١٨، وهو ما يساوي سالب اثنين. ثانيًا، عند ﺱ يساوي سالب ثمانية، سيساوي الميل اثنين في سالب ثمانية زائد ١٨. وهذا يساوي سالب ١٦ زائد ١٨، وهو ما يساوي اثنين. لاحظ أن هذا يتسق مع ما رأيناه في الرسم. المماس عند النقطة التي يساوي ﺱ عندها سالب ١٠ له ميل سالب. أما المماس عند النقطة التي يساوي ﺱ عندها سالب ثمانية، فله ميل موجب.
بعد ذلك، يمكننا استخدام المعادلة العامة للخط المستقيم. عند النقطة التي إحداثياها سالب ١٠، صفر، حيث الميل يساوي سالب اثنين، نحصل على المعادلة ﺹ ناقص صفر يساوي سالب اثنين في ﺱ ناقص سالب ١٠. يبسط ذلك إلى ﺹ يساوي سالب اثنين في ﺱ زائد ١٠. وبفك القوسين بالتوزيع، نحصل على ﺹ يساوي سالب اثنين ﺱ ناقص ٢٠. يمكننا بعد ذلك تجميع جميع الحدود في الطرف الأيمن للمعادلة لنحصل على معادلة هذا المماس، وهي ﺹ زائد اثنين ﺱ زائد ٢٠ يساوي صفرًا.
وفيما يخص المماس الآخر عند النقطة سالب ثمانية، صفر، حيث الميل يساوي اثنين، نحصل على المعادلة ﺹ ناقص صفر يساوي اثنين في ﺱ ناقص سالب ثمانية. يبسط ذلك إلى ﺹ يساوي اثنين في ﺱ زائد ثمانية. وبفك القوسين بالتوزيع، نحصل على ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد ١٦. مرة أخرى، بتجميع جميع الحدود في الطرف الأيمن للمعادلة، نحصل على معادلة هذا المماس في الصورة ﺹ ناقص اثنين ﺱ ناقص ١٦ يساوي صفرًا.
وبذلك نكون قد أكملنا حل المسألة، وأوجدنا معادلتي كلا الخطين المستقيمين المماسين لهذا المنحنى عند نقطتي تقاطعه مع المحور ﺱ. وهما ﺹ زائد اثنين ﺱ زائد ٢٠ يساوي صفرًا، وﺹ ناقص اثنين ﺱ ناقص ١٦ يساوي صفرًا.
