فيديو السؤال: تحليل حركة جسمين معلقين بحرية بواسطة خيط يمر عبر بكرة الرياضيات

ربط جسمان كتلتاهما ٦٤٤ جم، ١٥٦ جم بطرفي خيط خفيف غير مرن يمر فوق بكرة ملساء. تحرك النظام من السكون، وبعد ثانيتين، اصطدمت الكتلة الكبرى بالأرض. أوجد أقصى ارتفاع وصلت إليه الكتلة الصغرى فوق موضعها الابتدائي. علمًا بأن عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ = ٩٫٨ م‏/‏ث^٢.

٠٧:٣١

‏نسخة الفيديو النصية

ربط جسمان كتلتاهما ٦٤٤ جرامًا و١٥٦ جرامًا بطرفي خيط خفيف غير مرن يمر فوق بكرة ملساء. تحرك النظام من السكون، وبعد ثانيتين، اصطدمت الكتلة الكبرى بالأرض. أوجد أقصى ارتفاع وصلت إليه الكتلة الصغرى فوق موضعها الابتدائي. علمًا بأن عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

سنبدأ برسم شكل لتمثيل الموقف. لدينا جسمان ﺃ وﺏ كتلتاهما ٦٤٤ جرامًا و١٥٦ جرامًا. ربطا بخيط خفيف غير مرن يمر فوق بكرة ملساء. وبما أن البكرة ملساء، فإننا نعرف أن الشد في الخيط سيكون ثابتًا بشكل كامل. سيؤثر الجسمان بقوة لأسفل تساوي كتلتيهما مضروبة في عجلة الجاذبية الأرضية. نعرف من المعطيات أنها تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة، وهو ما يساوي ٩٨٠ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة. يؤثر الجسم ﺃ بقوة لأسفل مقدارها ٦٤٤ جرامًا في ٩٨٠ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة. وهذا يساوي ٦٣١١٢٠ داين. والجسم ﺏ يؤثر بقوة لأسفل مقدارها ١٥٦ جرامًا مضروبًا في ٩٨٠ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة، وهو ما يساوي ١٥٢٨٨٠ داين.

عندما يتحرك النظام من السكون، يتحرك الجسم ﺃ بعجلة لأسفل، والجسم ﺏ لأعلى. وبما أن الخيط غير مرن، فإن عجلة النظام ستكون ثابتة. نعلم أن الجسم الأكبر يصطدم بالأرض بعد ثانيتين. خلال هذه الفترة، سيكون الجسمان قد قطعا المسافة نفسها. ومطلوب منا حساب أقصى ارتفاع تصل إليه الكتلة الصغرى فوق موضعها الابتدائي. بمجرد اصطدام الجسم ﺃ بالأرض، سيرتخي الخيط، وسيستمر الجسم ﺏ في الحركة تحت تأثير قوة الجاذبية.

نبدأ حل هذه المسألة باستخدام قانون نيوتن الثاني الذي ينص على أن ﻕ يساوي ﻙﺟ. المجموع الاتجاهي للقوى يساوي الكتلة مضروبة في العجلة. هناك قوتان تؤثران على الجسم ﺃ. وإذا افترضنا أن الاتجاه الموجب يكون رأسيًّا لأسفل، فسيكون مجموعهما ٦٣١١٢٠ ناقص ﺵ. وهذا يساوي الكتلة التي مقدارها ٦٤٤ جرامًا مضروبة في ﺟ. سنسمي هذه المعادلة واحد.

بتكرار هذه العملية بالنسبة إلى الجسم ﺏ، حيث نفترض أن يكون الاتجاه الموجب رأسيًّا لأعلى، يكون ﺵ ناقص ١٥٢٨٨٠ يساوي ١٥٦ﺟ. سنسمي هذه المعادلة اثنين. لدينا الآن زوج من المعادلات الآنية. ويمكننا حذف قوة الشد ﺵ بجمع المعادلة واحد مع المعادلة اثنين. وهذا يعطينا ٤٧٨٢٤٠ يساوي ٨٠٠ﺟ. يمكننا إذن قسمة الطرفين على ٨٠٠ لنحصل على ﺟ يساوي ٥٩٧٫٨. هذه هي عجلة النظام بالسنتيمترات لكل ثانية مربعة.

يمكننا الآن استخدام معادلات الحركة بعجلة ثابتة لإيجاد إزاحة الجسم ﺏ. وكما ذكرنا من قبل، يتكون هذا من جزأين، أولًا، إزاحة النظام بأكمله في أول ثانيتين. نعلم أن السرعة الابتدائية ﻉ صفر تساوي صفر سنتيمتر لكل ثانية. لقد حسبنا للتو العجلة ﺟ تساوي ٥٩٧٫٨ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة. وبما أن ﻥ يساوي اثنين، يمكننا استخدام المعادلة ﻑ يساوي ﻉ صفرﻥ زائد نصف ﺟﻥ تربيع. بما أن ﻉ صفر يساوي صفرًا، يمكن تبسيط ذلك إلى ﻑ يساوي نصفًا مضروبًا في ٥٩٧٫٨ مضروبًا في اثنين تربيع. بالتالي، ﻑ يساوي ١١٩٥٫٦. في أول ثانيتين، تحرك الجسمان مسافة ١١٩٥٫٦ سنتيمترًا.

يمكننا حساب السرعة المتجهة للجسمين عند هذه النقطة باستخدام المعادلة ﻉ يساوي ﻉ صفر زائد ﺟﻥ. بما أن ﻉ صفر يساوي صفرًا، فإن ﻉ تساوي ٥٩٧٫٨ مضروبًا في اثنين. وهذا أيضًا يساوي ١١٩٥٫٦. عند النقطة التي يصطدم فيها الجسم ﺃ بالأرض، يتحرك النظام بسرعة متجهة قدرها ١١٩٥٫٦ سنتيمترًا لكل ثانية. هذه هي السرعة المتجهة الابتدائية عند النقطة التي يرتخي عندها الخيط. نعلم أنه عندما يصل الجسم ﺏ إلى أقصى ارتفاع له، فإن سرعته المتجهة ستساوي صفرًا. العجلة التي يتحرك بها الجسم في هذا الجزء من الحركة تساوي سالب ٩٨٠ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة، حيث تؤثر الجاذبية عكس اتجاه الحركة. يمكننا استخدام المعادلة ﻉ تربيع يساوي ﻉ صفر تربيع زائد اثنين ﺟﻑ لحساب الإزاحة في هذا الجزء من الرحلة.

بالتعويض بالقيم التي لدينا، يصبح لدينا صفر يساوي ١١٩٥٫٦ تربيع زائد اثنين مضروبًا في سالب ٩٨٠ مضروبًا في ﻑ. يمكن تبسيط ذلك إلى ١٩٦٠ﻑ تساوي ١٤٢٩٤٥٩٫٣٦. وبقسمة الطرفين على ١٩٦٠، نجد أن ﻑ يساوي ٧٢٩٫٣١٦. يقطع الجسم ﺏ مسافة أخرى مقدارها ٧٢٩٫٣١٦ سنتيمترًا بعد اصطدام الجسم ﺃ بالأرض. يمكننا الآن حساب أقصى ارتفاع تصل إليه الكتلة الصغرى من موضعها الابتدائي بجمع ١١٩٥٫٦ و٧٢٩٫٣١٦. وهذا يساوي ١٩٢٤٫٩١٦. تصل الكتلة الصغرى إلى ارتفاع ١٩٢٤٫٩١٦ سنتيمترًا فوق موضعها الابتدائي. وبدلًا من ذلك، يمكننا كتابة الإجابة بالمتر بالقسمة على ١٠٠، فنحصل على ١٩٫٢٤٩١٦ مترًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.