فيديو السؤال: بحث اطراد دالة باستخدام تمثيلها البياني الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

ابحث اطراد الدالة الآتية على مجالها.

في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني لدالة. وعلينا استخدامه لبحث اطراد دالة على مجالها. لفعل ذلك دعونا نبدأ بتذكر ما نعنيه باطراد دالة. اطراد الدالة هي الفترات التي تكون فيها الدالة تزايدية والفترات التي تكون فيها تناقصية. ونحن نريد تحديد ذلك على مجال الدالة بأكمله. تذكر أن مجال الدالة يمثل جميع القيم المدخلة للدالة. ويمكننا تحديد مجال هذه الدالة على التمثيل البياني. تمثل الإحداثيات ﺱ للنقاط التي تقع على المنحنى القيم المدخلة للدالة التي لدينا. وبما أن التمثيل البياني للدالة ينتهي بسهمين على كلا الجانبين، نستنتج أن هذا التمثيل البياني يستمر إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. وهذا يخبرنا تحديدًا بأن أي مستقيم رأسي سيقطع التمثيل البياني مرة واحدة. إذن فهذه الدالة لها مجال يتكون من جميع الأعداد الحقيقية.

دعونا نستخدم الآن التمثيل البياني لهذه الدالة لبحث اطراد الدالة. لنبدأ بتحديد الفترات التي تكون فيها الدالة تزايدية. نعلم أن الدالة تكون تزايدية عندما تزداد القيم المخرجة بزيادة القيم المدخلة. وثمة طريقة أخرى للتعبير عن ذلك وهي بقول إن هذه الدالة تميل إلى أعلى بالاتجاه من اليسار إلى اليمين. على سبيل المثال، بالنظر إلى التمثيل البياني، نلاحظ أن الدالة تميل إلى أعلى في هذا الجزء. إذا أخذنا أي قيمة مدخلة في هذا الجزء ثم أخذنا قيمة مدخلة أخرى أكبر لـ ﺱ، فإننا نحصل على قيمة مخرجة أكبر. وتجدر هنا ملاحظة أن ذلك يتحقق أيضًا إذا أكملنا التمثيل البياني. يمكننا تحديد قيمة ﺱ التي تتوقف عندها الدالة عن التزايد. يتحقق ذلك عند ﺱ يساوي سالب اثنين. إذن، الدالة تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب ‪∞‬‏ إلى سالب اثنين.

لكن هذه ليست الفترة الوحيدة التي تميل فيها الدالة إلى أعلى. نلاحظ من الشكل أن ذلك يتحقق أيضًا على الفترة التالية. نلاحظ أن قيم ﺱ لهذا الجزء من التمثيل البياني تبدأ عند واحد وتنتهي عند أربعة. يمكننا إذن قول إن الدالة لدينا تزايدية على الفترة المفتوحة من واحد إلى أربعة. ولا توجد أجزاء أخرى تكون فيها الدالة تزايدية. وبذلك يعطينا اتحاد الفترتين جميع الفترات التي تكون فيها هذه الدالة تزايدية. يمكننا اتباع الطريقة نفسها لتحديد الفترات التي تكون فيها الدالة تناقصية. وهي الفترات التي تميل فيها الدالة إلى أسفل. ويمكن تحديدها على الشكل.

الجزء الأول من التمثيل البياني الذي تكون فيه الدالة تناقصية يبدأ عند سالب اثنين وينتهي عند واحد. يمكننا إذن قول إن الدالة تناقصية على الفترة المفتوحة من سالب اثنين إلى واحد. وبالمثل، فالجزء الثاني الذي تكون فيه الدالة تناقصية يبدأ عند أربعة ويستمر إلى ما لا نهاية. ويمكننا قول إن الدالة لدينا تناقصية على الفترة المفتوحة من أربعة إلى ‪∞‬‏. وبأخذ اتحاد هاتين الفترتين نحصل على جميع الفترات التي تكون فيها الدالة تناقصية. وبذلك نحصل على الإجابة النهائية. الدالة المعطاة على الشكل تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب ‪∞‬‏ إلى سالب اثنين اتحاد الفترة المفتوحة من واحد إلى أربعة، وتناقصية على الفترة المفتوحة من سالب اثنين إلى واحد اتحاد الفترة المفتوحة من أربعة إلى ‪∞‬‏.