فيديو السؤال: معدل التغير في السرعة المتجهة الفيزياء

نسخة الفيديو النصية

كان أحد الصواريخ يحلق لأعلى بسرعة ثابتة عندما تخلص من معززات المرحلة الأولى الفارغة ونشط معززات المرحلة الثانية. عندما حدث ذلك، أصبح الصاروخ يتحرك بعجلة كلية 15 مترًا لكل ثانية تربيع لأعلى في اتجاه حركته. تحترق معززات المرحلة الثانية لمدة سبع ثوان. عند نهاية الاحتراق، تكون السرعة المتجهة لأعلى للصاروخ 250 مترًا لكل ثانية. ماذا كانت السرعة المتجهة للصاروخ قبل تنشيط معززات المرحلة الثانية؟

حسنًا، هذه مسألة طويلة ومعقدة وتحتوي على الكثير من المعلومات. لنحاول تقسيمها إلى أجزاء أصغر ليسهل علينا فهمها. دعونا نبدأ أولًا بالتفكير في الصاروخ الذي يحلق لأعلى بسرعة ثابتة. وهذا ما كان يفعله الصاروخ في البداية قبل أن يحدث أي شيء آخر سنتناوله.

ها هو الصاروخ. وهو يتحرك لأعلى، كما علمنا، بسرعة ثابتة يمكننا أن نسميها ‪𝑢‬‏. وفي مرحلة ما، يتخلص الصاروخ من معززات المرحلة الأولى الفارغة، أو يستغني عنها. لنفترض أن هذين الجزأين الملونين بالأزرق هما معززا المرحلة الأولى. وقد نفد الآن منهما الوقود. وها هو الصاروخ وهو يتخلص من معززي المرحلة الأولى. والآن، قبل أن نفعل أي شيء آخر، لنكتب جانبًا ما ذكرناه بأن السرعة المتجهة الابتدائية للصاروخ هي ‪𝑢‬‏. يمكننا كتابة ذلك كي لا ننساه لاحقًا.

على أي حال، علمنا من معطيات المسألة أن الصاروخ بمجرد تخلصه من معززات المرحلة الأولى، ينشط معززات المرحلة الثانية. لنرسم إذن بعض ألسنة اللهب تخرج من الجزء الخلفي للصاروخ حيث نفترض وجود معززات المرحلة الثانية. وقد علمنا أن آثار كل من التخلص من معززات المرحلة الأولى وتنشيط معززات المرحلة الثانية أدت إلى اكتساب الصاروخ عجلة كلية لأعلى مقدارها 15 مترًا لكل ثانية تربيع في اتجاه حركته.

حسنًا، حركة الصاروخ كانت في الاتجاه لأعلى بالفعل. ويمكننا رسم هذا السهم المزدوج في الاتجاه لأعلى لنوضح أن العجلة، التي سنسميها ‪𝑎‬‏، تساوي 15 مترًا لكل ثانية تربيع. علمنا أيضًا من المعطيات أن احتراق معززات المرحلة الثانية استمر لمدة سبع ثوان. بعبارة أخرى، هذا هو الصاروخ بعد سبع ثوان. وقد ارتفع لأعلى، وتوقفت معززات المرحلة الثانية لتوهًا عن الاحتراق.

ومن ثم، يمكننا القول إن الفترة الزمنية ما بين بدء احتراق معززات الصاروخ ونهايته هي سبع ثوان. ثمة طريقة أخرى للتفكير في ذلك تتمثل في أن نقول إن معززات الصاروخ بدأت في الاحتراق في الزمن ‪𝑡‬‏ واحد، وانتهى احتراقها في الزمن ‪𝑡‬‏ اثنين. وبذلك تكون الفترة الزمنية، التي سنسميها ‪Δ𝑡‬‏ حيث ‪Δ‬‏ يمثل التغير و‪𝑡‬‏ يمثل الزمن، تساوي ‪𝑡‬‏ اثنين، وهو الزمن النهائي، ناقص ‪𝑡‬‏ واحد، وهو الزمن الابتدائي. وهذه، في الأساس، هي الفترة الزمنية التي تحترق خلالها معززات المرحلة الثانية للصاروخ. وهذه الفترة تساوي سبع ثوان.

ثمة معلومة أخرى عرفناها من المسألة، وهي أن السرعة المتجهة لأعلى للصاروخ بلغت، عند نهاية الاحتراق، 250 مترًا لكل ثانية. بعبارة أخرى، في هذه المرحلة كان الصاروخ يتحرك لأعلى بسرعة 250 مترًا لكل ثانية. لنقل إن هذه هي السرعة المتجهة النهائية للصاروخ، وسنسميها ‪𝑣‬‏. المطلوب منا في هذه المسألة هو إيجاد السرعة المتجهة التي كان يحلق بها الصاروخ قبل تنشيط معززات المرحلة الثانية. بعبارة أخرى، ماذا كانت السرعة المتجهة للصاروخ قبل تخلصه مباشرة من معززات المرحلة الأولى وتنشيط معززات المرحلة الثانية؟

ذكرنا أن الصاروخ، قبل أن يفعل ذلك مباشرة، كان يتحرك بسرعة متجهة ثابتة مقدارها ‪𝑢‬‏. وهذه كانت سرعته المتجهة الابتدائية. والآن مطلوب منا إيجاد قيمة ‪𝑢‬‏. فكيف يمكننا فعل ذلك؟ حسنًا، نعرف العجلة التي اكتسبها الصاروخ في الفترة بين بدء تشغيل معززاته وتوقف احتراقها، وكذلك الفترة الزمنية بين هاتين اللحظتين، والسرعة المتجهة النهائية للصاروخ. لذا، يمكننا تذكر تعريف العجلة.

نتذكر أن العجلة تعرف بأنها التغير في السرعة المتجهة للجسم، أي ‪Δ𝑣‬‏ حيث يمثل ‪Δ‬‏ التغير وتمثل ‪𝑣‬‏ السرعة المتجهة، مقسومًا على الفترة الزمنية التي يحدث خلالها هذا التغير في السرعة المتجهة. بعبارة أخرى، العجلة هي الفارق الزمني بين بدء تسارع الصاروخ وانتهائه من ذلك.

نعرف بالفعل قيمة ‪𝑎‬‏، كما نعرف قيمة ‪Δ𝑡‬‏، أي التغير في الزمن أو الفترة الزمنية. لكن ما لا نعرفه هو التغير في السرعة المتجهة للجسم. لكننا نعرف سرعته المتجهة النهائية. وكما رأينا هنا، التغير في الزمن أو الفترة الزمنية تساوي الزمن النهائي ناقص الزمن الابتدائي، ومن ثم يمكننا تذكر أن التغير في السرعة المتجهة للجسم يساوي سرعته المتجهة النهائية، التي أسميناها ‪𝑣‬‏، ناقص سرعته المتجهة الابتدائية التي أطلقنا عليها ‪𝑢‬‏. ومن ثم، يمكننا التعويض بذلك في معادلة العجلة.

فيمكننا القول إن عجلة الصاروخ تساوي السرعة المتجهة النهائية ناقص السرعة المتجهة الابتدائية على الفترة الزمنية التي نعرف مقدارها بالفعل. لدينا الآن معادلة نعرف فيها قيمة هذا، وهذا، وهذا. والمجهول الوحيد الذي نحاول إيجاد قيمته هو ‪𝑢‬‏. ومن ثم، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد قيمة ‪𝑢‬‏. يمكننا أن نبدأ بضرب كلا طرفي المعادلة في ‪Δ𝑡‬‏ بحيث تحذف هذه القيمة من الطرف الأيمن في المعادلة. هذا يعني أن ما يتبقى لدينا هو ‪Δ𝑡‬‏ مضروبًا في ‪𝑎‬‏ في الطرف الأيسر، و‪𝑣‬‏ ناقص ‪𝑢‬‏ في الطرف الأيمن.

بعد ذلك، يمكننا ضرب كلا طرفي المعادلة في سالب واحد. ونفعل ذلك لأن لدينا في الطرف الأيمن ‪𝑣‬‏ ناقص ‪𝑢‬‏، ولكن مثاليًّا يجب أن تكون الإشارة قبل ‪𝑢‬‏ موجبة لأننا نحاول إيجادها. إذن في الطرف الأيسر، لدينا ‪Δ𝑡‬‏ مضروبًا في ‪𝑎‬‏. ونضرب ذلك في سالب واحد. فيصبح لدينا سالب ‪Δ𝑡‬‏ مضروبًا في ‪𝑎‬‏. يمكننا كتابة ذلك بطريقة أسهل، وهي ‪𝑎‬‏ في ‪Δ𝑡‬‏، أو ‪𝑎Δ𝑡‬‏.

وبذلك، يكون لدينا في الطرف الأيسر سالب ‪𝑎Δ𝑡‬‏. وفي الطرف الأيمن، لدينا سالب واحد مضروبًا في ‪𝑣‬‏، وهو ما يساوي سالب ‪𝑣‬‏. ونضيف إلى ذلك سالب ‪𝑢‬‏ في سالب واحد، وهو ما يساوي موجب ‪𝑢‬‏. وهكذا يكون لدينا في الطرف الأيمن سالب ‪𝑣‬‏ زائد ‪𝑢‬‏، وهو ما يمكننا كتابته بشكل أبسط في صورة ‪𝑢‬‏ ناقص ‪𝑣‬‏. لنفرغ بعض المساحة ليتضح لنا أنه قد أصبح لدينا سالب ‪𝑎Δ𝑡‬‏ يساوي ‪𝑢‬‏ ناقص ‪𝑣‬‏. والآن علينا فقط إضافة ‪𝑣‬‏ إلى كلا طرفي المعادلة، ما يعني أنه لم يعد لدينا ‪𝑣‬‏ في الطرف الأيمن من المعادلة. ويتبقى لدينا بذلك ‪𝑣‬‏ ناقص ‪𝑎Δ𝑡‬‏ يساوي ‪𝑢‬‏.

كل ما علينا فعله الآن هو التعويض بقيم ‪𝑣‬‏ و‪𝑎‬‏ و‪Δ𝑡‬‏ لتبدو المعادلة هكذا. لدينا السرعة المتجهة النهائية، وهي 250 مترًا لكل ثانية، ناقص العجلة، وهي 15 مترًا لكل ثانية تربيع، مضروبة في الفترة الزمنية التي تبلغ سبع ثوان. وهذا سيعطينا السرعة المتجهة الابتدائية.

بالنظر الآن إلى وحدات القياس سريعًا، لدينا وحدة المتر لكل ثانية هنا. ولدينا في هذا العامل المتر لكل ثانية تربيع مضروبًا في الثانية، ما يعني أن إحدى الثواني ستحذف من البسط والمقام. وبذلك، تتبقى لدينا وحدة المتر لكل ثانية في كل المعادلة. ومن ثم عندما نطرح ذلك من هذا الحد، ستكون وحدة القياس هي المتر لكل ثانية. وهذا أمر جيد؛ لأننا نحاول إيجاد سرعة متجهة، ووحدة قياسها هي المتر لكل ثانية.

هذا الحد الموجود في الطرف الأيمن، 15 في سبعة، يساوي 105 أمتار لكل ثانية. وبذلك يصبح لدينا 250 مترًا لكل ثانية ناقص 105 أمتار لكل ثانية. وبحساب ذلك، نجد أن ‪𝑢‬‏، وهي السرعة المتجهة الابتدائية، تساوي 145 مترًا لكل ثانية. إذن الإجابة النهائية هي أن السرعة المتجهة للصاروخ قبل تنشيطه معززات المرحلة الثانية هي 145 مترًا لكل ثانية.