فيديو الدرس: الموضع والإزاحة والمسافة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نميز بين الموضع والإزاحة والمسافة، وهو ما يتضمن استخدام ترميز المتجه.

١٩:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، نتحدث عن الموضع والإزاحة والمسافة. وهي خصائص أساسية يتميز بها الكثير من المواقف الفيزيائية. وفي هذا الدرس، سنتعلم كيفية تعريف كل من هذه المصطلحات، وكذلك سنتعلم كيفية ارتباط بعضها ببعض.

في البداية، لنفترض أن لدينا نحلة تحوم في مكانها عند موضع معين. لا يمكننا تحديد هذا الموضع إلا إذا كانت لدينا مجموعة من المحاور الإحداثية محددة في مكان ما. وباستخدامها مرجعًا، يمكننا أن نرسم متجهًا من نقطة الأصل إلى موضع النحلة الحالي. وعلاوة على ذلك، يمكننا أن نسمي هذا المتجه ﺭ، وهو يحدد موضع النحلة بالنسبة إلى هذا الإطار.

لنتخيل هنا أن النحلة بدأت في التحرك، متبعة مسارًا ما عبر فضاء ثلاثي الأبعاد. وفي وقت لاحق، إذا أصبح موضع النحلة هنا، يمكننا أن نرسم متجهًا جديدًا يحدد هذه الكمية. إذا نظرنا إلى المسار الكلي للنحلة، فسنجد أن متجه موضعها يعتمد على الزمن. وهذا يقودنا إلى إعادة كتابة متجهي الموضع.

سنرمز إلى متجه الموضع الابتدائي بـ ﺭ عند الزمن ﻥﺃ، وهو الزمن الابتدائي. وهنا يوجد متجه الموضع النهائي، وهو موضع النحلة عند زمن سنرمز له بـ ﻥﻥ. في أي نقطة على طول مسار النحلة، يمكننا تحديد موضعها من خلال رسم متجه من نقطة أصل المحاور الإحداثية إلى النقطة المحددة على مسارها. وهذا ما يعنيه موضع النحلة.

عندما يتغير موضع النحلة، كما يحدث على طول هذا المسار، يرتبط ذلك بمصطلح الإزاحة. في هذا الدرس، سنرمز للإزاحة بالحرف ﺯ. ولاحظ أن هذه الكمية متجهة. والإزاحة، مثل الموضع، عادة ما تكون دالة في الزمن. وتعرف بأنها التغير في موضع الجسم بمرور الزمن. على سبيل المثال، إذا أردنا حساب إزاحة النحلة عند الزمن ﻥﻥ، فإننا نأخذ موضع النحلة عند هذا الزمن ونطرح منه موضعها عند الزمن ﻥﺃ.

لاحظ أن هذا يتضمن إيجاد الفرق بين متجهين. إذا رسمنا هذا الاختلاف، فسيبدو بهذا الشكل. إذن يمكننا أن نرى إزاحة النحلة خلال الفترة الزمنية من ﻥﺃ إلى ﻥﻥ على الرسم. ولاحظ هنا أمرًا مهمًا يتعلق بالإزاحة. وهو أنها تعتمد فقط على موضع بداية حركة الجسم وموضع نهايتها. ولا تعتمد على أي معلومات حول المسار الذي سلكه الجسم لينتقل بين هذين الموضعين.

الكمية التي تعتمد على هذه المعلومات هي المسافة. سنرمز للمسافة بالحرف ﻑ. ومثلما هو الحال مع الإزاحة، عادة ما تكون المسافة دالة في الزمن. لكن على عكس الإزاحة، المسافة ليست متجهًا. إذا أردنا تحديد المسافة التي قطعتها النحلة خلال هذه الفترة الزمنية، فسنبدأ من موضعها الابتدائي. ثم نتبع المسار الذي سلكته، ويتضمن ذلك كل التفاف وانعطاف، حتى نصل إلى نقطة النهاية. ونطلق على طول هذا المسار بالكامل المسافة المقطوعة.

لاحظ أن المسافة تعتمد على المسار، لكن الإزاحة ليست كذلك. على سبيل المثال، إذا افترضنا أن النحلة قد سلكت هذا المسار للانتقال من نقطة البداية إلى نقطة النهاية، فستظل إزاحتها كما هي، ولكن ستختلف المسافة المقطوعة. ثمة أمر آخر يجب ملاحظته عن هذين المصطلحين، وهو أن المسافة دائمًا ما تكون بنفس مقدار الإزاحة على الأقل، إن لم تكن أكبر. هذا لأن أقصر مسافة بين أي نقطة بداية ونقطة نهاية تمتد على طول الخط المعرف بمتجه الإزاحة.

نظرًا لأن الإزاحة كمية متجهة في حين أن المسافة كمية قياسية، يوجد فرق آخر بين هذين المصطلحين. بما أن إزاحة الجسم يعبر عنها بمتجه، فمن الممكن أن تكون الإزاحة سالبة. على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا جسيمًا في هذا الموضع، وبمرور الزمن يتحرك هذا الجسيم في الاتجاه السالب للمحور ﺱ وفقًا لمحاور الإحداثيات. في هذه الحالة، تكون إزاحة الجسيم معرفة بهذا المتجه، وهو سالب.

أما المسافة، فعلى النقيض، لا يمكن أن تكون سالبة أبدًا. تسجل أي مسافة مقطوعة باعتبارها قيمة موجبة. وبذلك، نقول إن المسافة التي قطعها هذا الجسيم مسافة موجبة. وأصغر مسافة يمكن أن يقطعها الجسم هي صفر، إذا لم يتحرك على الإطلاق.

بمعرفة كل ذلك عن الموضع، والإزاحة، والمسافة؛ لنتدرب الآن على بعض الأمثلة.

باستخدام الشكل التالي، احسب المسافة ﻑ، والإزاحة ﺯ التي يقطعها جسم يتحرك من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺟ، ثم يعود إلى النقطة ﺏ.

بالنظر إلى هذا الشكل، مطلوب منا أن نتخيل جسمًا يبدأ حركته من هنا عند النقطة ﺃ، ويتحرك من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺟ، ثم يعود مرة أخرى لينتهي عند النقطة ﺏ. وبمعرفة أن المسافة التي يقطعها هذا الجسم يرمز لها بـ ﻑ، وأن الإزاحة يرمز لها بـ ﺯ، يمكننا أن نتذكر أن المسافة التي يقطعها الجسم تتضمن طول المسار الكلي الذي يتبعه. هذا يعني أن المسافة التي يقطعها هذا الجسم تتضمن المسافة من ﺃ إلى ﺏ إلى ﺟ، ثم إلى ﺏ مرة أخرى. ونجد أن هذا يساوي ٢٨ سنتيمترًا زائد ٢٤ سنتيمترًا زائد ٢٤ سنتيمترًا مرة أخرى. والإجمالي يساوي ٧٦ سنتيمترًا.

أما إزاحة الجسم، فلا تعتمد إلا على موضع بدايته وموضع نهايته فقط. نعلم أن الجسم يبدأ من النقطة ﺃ، وينتهي عند النقطة ﺏ. هذا يعني أن إزاحته لا تتضمن إلا هذا الطول، وهو ٢٨ سنتيمترًا. لاحظ أنه إذا كان الجسم قد انتقل من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ مباشرة، فستكون المسافة والإزاحة متساويتين. ونلاحظ في هذا المثال الفعلي كيف يختلف هذان المصطلحان.

لنتناول الآن مثالًا يتحرك فيه الجسم في بعدين.

وفقًا للشكل التالي، تحرك جسم من ﺃ إلى ﺏ على طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ، ثم تحرك إلى ﺟ على طول ﺏﺟ. في النهاية، تحرك إلى ﺩ على طول ﺟﺩ، وتوقف عند هذه النقطة. أوجد المسافة ﻑ واحد التي قطعها الجسم، ومقدار إزاحته ﻑ اثنين.

بالنظر إلى الشكل، نعلم من المعطيات أن الجسم يبدأ حركته من النقطة ﺃ هنا، ثم يتحرك على طول القطعة المستقيمة ﺃﺏ إلى النقطة ﺏ، ثم يتحرك إلى النقطة ﺟ متبعًا هذا المسار، وأخيرًا يتحرك على طول القطعة المستقيمة ﺟﺩ لينتهي عند النقطة ﺩ. بمعلومية هذه الحركة، نريد حساب المسافة التي قطعها الجسم، ونطلق عليها ﻑ واحد، ومقدار إزاحته ﻑ اثنين.

بعد إفراغ مساحة كافية، لنبدأ أولًا بإيجاد المسافة ﻑ واحد التي يقطعها الجسم. يمكننا أن نتذكر أن المسافة بوجه عام تساوي طول المسار الكلي الذي يتبعه جسم ما أثناء انتقاله من موضع إلى آخر. في هذه الحالة، انتقل الجسم من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺩ على طول المسار الموضح باللون البرتقالي. نلاحظ أن ذلك يتضمن انتقاله مسافة ٦٫٦ سنتيمترات من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ، و٨٫٨ سنتيمترات من ﺏ إلى ﻫ، و١٦٫٤ سنتيمترًا من ﻫ إلى ﺟ، وفي الجزء الأخير من الرحلة ١٢٫٣ سنتيمترًا. إذن ﻑ واحد يساوي مجموع هذه المسافات الأربع. وبجمعها كلها، نحصل على ٤٤٫١ سنتيمترًا. هذه هي المسافة التي قطعها الجسم.

والآن لننظر إلى مقدار الإزاحة ﻑ اثنين. الإزاحة تختلف عن المسافة؛ حيث إن الإزاحة لا تعتمد إلا على نقطة بداية تحرك جسم ما ونقطة نهايته. في هذه الحالة، يبدأ الجسم من النقطة ﺃ، وينتهي عند النقطة ﺩ. إذن هذا الخط الوردي المستقيم الذي يربط بين النقطتين يمثل مقدار الإزاحة ﻑ اثنين. نلاحظ أنه يمكن تقسيم طول هذه القطعة المستقيمة إلى جزأين: جزء هنا، ثم الجزء الثاني هنا. وكل من هذين الجزأين يمثل وترًا لمثلث قائم الزاوية. هذا يعني أنه يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد هذين الطولين.

إذا أسمينا طول الوتر الأول ﻝ واحد، وطول الثاني ﻝ اثنين، يمكننا أن نقول إن مقدار الإزاحة ﻑ اثنين يساوي مجموعهما، وإن ﻝ واحد وﻝ اثنين محددان بهذه الطريقة. ‏‏ﻝ واحد يساوي الجذر التربيعي لـ ٦٫٦ سنتيمترات تربيع، زائد ٨٫٨ سنتيمترات تربيع. وﻝ اثنان يساوي الجذر التربيعي لـ ١٦٫٤ سنتيمترًا تربيع، زائد ١٢٫٣ سنتيمترًا تربيع. عندما نكتب هذين المقدارين على الآلة الحاسبة، نجد أن ﻝ واحد يساوي ١١ سنتيمترًا بالضبط، بينما ﻝ اثنين يساوي ٢٠٫٥ سنتيمترًا. وبجمعهما معًا، نحصل على الناتج ٣١٫٥ سنتيمترًا. وهذا هو مقدار إزاحة الجسم.

سنتناول الآن حساب الإزاحة بناء على موضع الجسيم بوصفه دالة في الزمن.

تحرك جسيم في خط مستقيم. بعد ﻥ ثانية، كان موضعه بالنسبة إلى نقطة ثابتة يعطى بالعلاقة: ﺭ يساوي ﻥ تربيع ناقص أربعة ﻥ زائد سبعة متر، عندما يكون ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. احسب إزاحة الجسيم خلال أول خمس ثوان.

لدينا هنا موضع جسيم معطى كدالة في الزمن عندما يكون ﻥ أكبر من أو يساوي صفرًا. بناء على ذلك، نريد إيجاد إزاحة الجسيم خلال الثواني الخمس الأولى؛ أي من ﻥ يساوي صفرًا إلى ﻥ يساوي خمسة. ولفعل ذلك، يمكننا أن نتذكر أن إزاحة الجسيم - يمكننا أن نرمز لهذه الإزاحة بالحرف ﺯ - عند زمن معين نسميه ﻥﻥ، هي التغير في موضع الجسيم من الزمن الابتدائي ﻥﺃ إلى الزمن النهائي ﻥﻥ.

يخبرنا هذا التعريف أنه لحساب إزاحة الجسيم خلال الثواني الخمس الأولى، علينا معرفة موضعه عند ﻥ يساوي صفرًا، وﻥ يساوي خمس ثوان. يمكننا كتابة ذلك هكذا. الإزاحة عند ﻥ يساوي خمس ثوان تساوي الموضع عند ﻥ يساوي خمس ثوان ناقص الموضع عند ﻥ يساوي صفر ثانية.

تصلح المعادلة المعطاة في السؤال لموضع الجسيم مع كل من هذين الزمنين. سنبدأ إذن بإيجاد موضع الجسيم عند ﻥ يساوي خمسة. وهذا يساوي خمسة تربيع ناقص أربعة في خمسة زائد سبعة متر. ونطرح من هذا موضع الجسيم عند ﻥ يساوي صفرًا. وهذا يساوي صفر تربيع ناقص أربعة في صفر زائد سبعة متر. نعلم أن صفرًا تربيع يساوي صفرًا، وكذلك سالب أربعة في صفر. إذن موضع الجسيم عند الزمن ﻥ يساوي صفرًا يبسط إلى سبعة أمتار. عند خمس ثوان، يكون الموضع خمسة تربيع، وهو ما يساوي ٢٥، ناقص أربعة في خمسة، وهو ما يساوي ٢٠، زائد سبعة أمتار. وهذا يساوي ١٢ مترًا. إذن ١٢ مترًا ناقص سبعة أمتار يعطينا الإزاحة التي نريد إيجاد قيمتها. وهي تساوي خمسة أمتار. هذه هي إزاحة الجسيم خلال الثواني الخمس الأولى.

لنتناول الآن حساب الإزاحة من متجه موضع ثنائي الأبعاد.

عند التعبير عن متجه موضع جسيم في صورة: ﺭ يساوي اثنين ﻥ زائد ثلاثة ﺱ زائد خمسة ﻥ ناقص اثنين ﺹ، فإن مقدار الإزاحة عند ﻥ يساوي ثانيتين يساوي فراغ من وحدات الطول.

علينا أن نملأ هذا الفراغ بإيجاد مقدار إزاحة هذا الجسيم عندما يكون ﻥ يساوي ثانيتين. يمكننا أن نبدأ بتذكر أن متجه إزاحة الجسم عند زمن معين سنسميه ﻥﻥ يساوي متجه موضع هذا الجسم عند الزمن نفسه ناقص متجه موضع الجسم عند زمن ابتدائي سنسميه ﻥﺃ.

في حالتنا هذه، بما أننا نريد إيجاد مقدار الإزاحة عندما يساوي الزمن ﻥ ثانيتين، يمكننا أن نبدأ بإيجاد متجه الإزاحة عند هذا الزمن. وفقًا للتعريف الذي لدينا، متجه الإزاحة هذا يساوي متجه الموضع عند الزمن نفسه، وهو ثانيتان، ناقص متجه الموضع عندما يساوي الزمن ﻥ صفرًا. بمعلومية ذلك، يمكننا استخدام متجه الموضع، الذي نرى أنه معطى في السؤال كدالة في الزمن، لنتمكن من إيجاد إزاحة الجسيم عند ثانيتين.

إذا عوضنا عن ﻥ يساوي اثنين في معادلة متجه الموضع، فسنحصل على اثنين في اثنين زائد ثلاثة ﺱ، وهو ما يساوي سبعة ﺱ، زائد خمسة في اثنين ناقص اثنين ﺹ. وهذا يساوي ثمانية ﺹ. يمكننا بعد ذلك التعويض عن هذا المتجه بالمقدار الذي أوجدناه. بعد ذلك، نريد إيجاد موضع الجسيم عندما يساوي الزمن ﻥ صفر ثانية. وهذا يساوي اثنين في صفر زائد ثلاثة ﺱ، ويمكن تبسيطه إلى ثلاثة ﺱ، زائد خمسة في صفر ناقص اثنين ﺹ. المتجه الكلي إذن هو ثلاثة ﺱ ناقص اثنين ﺹ. ونعوض بذلك عن ﺭ لصفر.

أصبحنا الآن مستعدين لحساب الإزاحة عندما يساوي الزمن ﻥ ثانيتين. ونحصل على أربعة ﺱ زائد ١٠ﺹ. لكن هذا ليس الحل النهائي؛ لأننا نريد إيجاد مقدار هذه الإزاحة. نتذكر هنا أنه إذا كان لدينا متجه ثنائي الأبعاد، ولنطلق عليه ﻡ، فإن مقدار هذا المتجه يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي مركبتيه ﺱ وﺹ. هذا يعني أن مقدار إزاحة الجسيم عندما يساوي ﻥ ثانيتين يساوي الجذر التربيعي لأربعة تربيع زائد ١٠ تربيع. أربعة تربيع يساوي ١٦، و١٠ تربيع يساوي ١٠٠. إذن نأخذ الجذر التربيعي لـ ١١٦.

لكن العدد ١١٦ يقبل القسمة على أربعة. وهو ما يساوي أربعة في ٢٩. وبعد ذلك، بمعرفة أن أربعة يساوي اثنين تربيع، يمكننا نقلها خارج علامة الجذر التربيعي؛ ومن ثم تصبح إجابتنا النهائية اثنين في الجذر التربيعي لـ ٢٩. هذا هو مقدار إزاحة الجسيم عندما يساوي ﻥ ثانيتين.

لنستعرض الآن بعض النقاط الأساسية المتعلقة بالموضع والإزاحة والمسافة. في هذا الدرس، عرفنا أن موضع الجسيم هو كمية متجهة تعتمد على نظام الإحداثيات المستخدم لتحديد هذا الموضع. وعرفنا بعد ذلك أن الإزاحة كمية متجهة أيضًا، وهي تساوي الفرق في موضع الجسم. وأخيرًا، المسافة كمية قياسية تساوي طول مسار جسم، ولا يمكن أن تكون المسافة سالبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.