فيديو: تطبيقات على النظام المكون من معادلتين خطيتين

سوزان فائق

يوضح الفيديو تحديد أفضل طريقة لحل نظام من معادلتين خطيتين (التمثيل البياني، التعويض، الحذف) من خلال تطبيقات.

١١:٤٠

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده هنتكلّم على تطبيقات على النظام المكوّن من معادلتين خطيتين. عشان نحلّ نظام مكوّن من معادلتين خطيتين، لازم نحدّد إيه أفضل طريقة نستخدمها في الحالة دي. عشان كده هنتكلّم على خمس طرق بنستخدمهم، ونقارن ما بينهم، ونشوف إمتى بنستخدم كل واحدة فيهم.

أول طريقة عندنا، هي التمثيل البياني. والطريقة دي بنستخدمها لتقدير الحلول؛ لأنها في بعض الأحيان ما بتدّيش حل دقيق. تاني طريقة عندنا، هي التعويض. والطريقة دي بنستخدمها لمّا بيكون معامل أحد المتغيرين، في إحدى المعادلتين، يا واحد يا سالب واحد. تالت طريقة عندنا، هي الحذف باستخدام الجمع. والطريقة دي بنستخدمها لمّا بيكون كلّ من معاملي أحد المتغيرين في المعادلتين، معكوس جمعي للآخر. يعني مثلًا سالب س وموجب س، موجودين في المعادلتين.

الطريقة التالتة [الرابعة] عندنا، هي الحذف باستخدام الطرح. ودي بنستخدمها لمّا بيكون معاملا أحد المتغيرين في المعادلتين، متساويين. الطريقة الخامسة والأخيرة عندنا، هي الحذف باستخدام الضرب. ودي بنستخدمها لمّا ما يكونش المعاملات واحد أو سالب واحد، ومش من السهل حذف أحد المتغيرين بجمع أو طرح المعادلتين.

معنى الكلام ده، إن الطريقة بتاعة التعويض، والحذف باستخدام الجمع، والطرح؛ التلاتة دول مشابهين لبعض. هنا واحد وسالب واحد، المعاملات بتاعة المتغيرات. وفي نفس الكلام ده في الجمع أو الطرح، عكس بعض معكوس، أو بيكونوا متساويين. إمتى نختار التعويض، أو الجمع، أو الطرح؟ الجمع والطرح طبعًا، باين إن هو لمّا يكون معكوس جمعي، أو متساويين. خلاص عارفين الفرق ما بين الجمع والطرح. هي المشكلة في إن إحنا نختار الجمع والطرح، ولّا التعويض.

بيبقى الأسهل إن إحنا نجمع أو نطرح، عن إن إحنا نعوّض. لأن الجمع والطرح دي سهل جدًّا إن أنا أحطّ المعادلتين تحت بعض وأرتّبهم، ونحذف أحد المتغيرات. لكن ساعات بيبقى صعب، إن أنا آخد القيمة بتاعة الـ س أو الـ ص، اللي طلعت لي في التعويض، وأروح أحطّها في المعادلة من المعادلات. فدايمًا عندنا الأولوية بتبقى يا الجمع أو الطرح. وبعدين التعويض، لو كان المعاملات واحد وسالب واحد.

طريقة الضرب هي الوحيدة المختلفة تمامًا. أول ما بيكون المعاملات مش واحد أو سالب واحد، بنقدر على طول نقرّر إن إحنا نستخدم طريقة الضرب. والتمثيل البياني، لمّا بنكون عايزين الحل يبقى تقريبي، لأنه ما بيبقاش طريقة دقيقة أوي.

طرق التعويض، والحذف بالجمع، أو بالطرح، أو بالضرب؛ الطرق دي بنسميها طرق جبرية. وطريقة التمثيل البياني دي، بنقدر نستخدم فيها الآلة الحاسبة، أو إن إحنا نرسم الرسم البياني. فدي بتبقى مناسبة أكتر لتقدير الحل. يبقى كده عرفنا إن إحنا ممكن نستخدم أيّ طريقة من الطرق. هتفرق بس نحدّد إيه الطريقة المناسبة إن إحنا نستخدمها. وده اللي هنشوفه في المثال اللي جاي. نقلب الصفحة وناخد المثال.

في المثال بيقول: حدّد أفضل طريقة لحل النظام الآتي. أربعة س ناقص أربعة ص يساوي تمنية. وسالب تمنية س زائد ص يساوي تسعتاشر. عشان نحدّد أفضل طريقة، هنبصّ على معاملات المتغيرات، ونقارن ما بينهم، ونشوف إيه أنسب طريقة لاستخدام.

لو لقينا واحد أو سالب واحد، في المعاملات بتاعة المتغيرات، يبقى عندنا هنستخدم يا إمّا التعويض، الحذف باستخدام الجمع، أو الطرح. الحذف باستخدام الجمع والطرح، لازم يكون فيه زيّها واحد وسالب واحد، في المعادلة التانية. يعني المعادلة الأولانية فيها واحد أو سالب واحد، والمعادلة التانية فيها نفس المتغيّر مع واحد وسالب واحد. هنا واضح في المعادلات، إن ما فيش غير موجب واحد بس مع الـ ص. ما فيش زيّها مقابل ليها معكوس، أو مساوي ليها في المعادلة الأولانية. فبكده هنسيب الجمع، وهنسيب الطرح، وهنختار التعويض.

عشان نحلّ بالتعويض، هنجيب قيمة الـ ص تساوي كام. هنضيف موجب تمنية س على طرفَي المعادلة. هتبقى ص تساوي تسعتاشر موجب تمنية س. وهناخد قيمة الـ ص دي، نعوّض بيها في المعادلة الأولانية كالآتي. يبقى هتبقى أربعة س ناقص أربعة … وقيمة الـ ص اللي هنعوّض بيها، اللي هي تسعتاشر زائد تمنية س، هتساوي تمنية. هنوزّع الأربعة على القوس اللي عندنا. وبعدين نبسّط المعادلة، هتبقى سالب تمنية وعشرين س ناقص ستة وسبعين يساوي تمنية.

عشان نجيب قيمة الـ س، يبقى هنضيف موجب ستة وسبعين على طرفَي المعادلة. يبقى سالب تمنية وعشرين س تساوي تمنية زائد ستة وسبعين، هتساوي أربعة وتمانين … عشان نجيب قيمة الـ س، هنقسم طرفَي المعادلة على سالب تمنية وعشرين. يبقى أربعة وتمانين على سالب تمنية وعشرين هتساوي سالب تلاتة.

يبقى كده جِنبا قيمة الـ س هتساوي سالب تلاتة. هناخد القيمة دي ونعوّض بيها في المعادلة الأبسط، اللي هي جايبة قيمة الـ ص مباشرةً. يبقى الـ ص هتساوي تسعتاشر زائد، تمنية مضروبة في القيمة اللي إحنا جِبناها سالب تلاتة، هتساوي سالب خمسة. يبقى كده جِبنا قيمة الـ ص هتساوي سالب خمسة. يبقى الحل عندنا الزوج المرتب سالب تلاتة وسالب خمسة.

فيه طريقة بديلة، كان ممكن نستخدمها برضو؛ اللي هي الحذف باستخدام الضرب. وده كان عن طريق إن إحنا المعادلة الأولاني: أربعة س ناقص أربعة ص تساوي تمنية؛ هنخلّي المعامل بتاع الـ س زيّ المعامل بتاع سالب تمنية س. يعني كنا هنضرب المعادلة الأولانية، في موجب اتنين. وبعدين نجمع المعادلتين على بعض. وكده بنحذف الـ س. أو إن إحنا كنا نخلّي المعامل بتاع الـ ص، اللي هو في المعادلة التانية، زيّه زيّ المعامل اللي في الأولانية. يعني كنا هنضرب المعادلة رقم اتنين، في موجب أربعة، ونجمع. يبقى كان عندنا طريقة كمان، اللي هي بتاعة الضرب. بإن إحنا نضرب المعاملات بالشكل ده. أو إن إحنا نستخدم طريقة التعويض.

نقلب الصفحة، وناخد تطبيق على أنظمة المعادلات الخطية. التطبيق بيقول: هناك سبعتاشر نوع من البطاريق في العالم. أكبرها البطريق الإمبراطور، وأصغرها بطريق جالاباجوس. ويبلغ مجموع طولَي هذين النوعين مية تسعة وستين سنتيمترًا. ويزيد طول البطريق الإمبراطور على مثلَي طول بطريق جالاباجوس، بمقدار اتنين وعشرين سنتي. اوجد طول كلّ منهما.

هنا المجهول عندنا الطول، هنسميه س وَ ص. بطريق الإمبراطور هنقول إن الطول بتاعه هيبقى س. بطريق جالاباجوس هيبقى الطول بتاعه ص. هنشوف العلاقة بين س وَ ص. ونترجم الكلام اللي موجود في المثال، بشكل المعادلات. يبلغ مجموع طولَي هذين النوعين مية تسعة وستين سنتيميتر. يبقى معنى كده إنه هو بيقول لنا إن الـ س زائد الـ ص هتساوي مية تسعة وستين.

تاني حاجة بيقولها لنا: ويزيد طول بطريق الإمبراطور على مثلَي طول بطريق جالاباجوس، بمقدار اتنين وعشرين سنتيمتر. يبقى طول بطريق الإمبراطور اللي هو س، مثلَي طول بطريق جالاباجوس يعني اتنين من طول بطريق جالاباجوس، بمقدار اتنين وعشرين سنتيمتر. يعني هنزوّد على بطريق جالاباجوس، اللي هو مثلَي طوله، هنزوّد عليه اتنين وعشرين؛ عشان نساويه بطول البطريق الإمبراطور.

يبقى كده المعادلات عندنا هتبقى: س زائد ص هتساوي مية تسعة وستين. وَ س تساوي اتنين ص زائد اتنين وعشرين. أول خطوة عندنا في الحل، إن إحنا بنحلّل معاملات المتغيرات. يعني هنشوف معامل الـ س في المعادلة الأولانية، ومعامل الـ ص في المعادلة الأولانية، ومعامل الـ س في المعادلة التانية، ومعامل الـ ص في المعادلة التانية.

هنلاقي إن فيه واحد وسالب واحد كتير. المعادلة الأولانية فيها موجب واحد مع الـ س. المعادلة التانية فيها موجب واحد مع الـ س. المعادلة الأولانية فيها موجب واحد مع الـ ص. يبقى كده ممكن الأفضل إن إحنا نستخدم طرق الحذف بالجمع، أو الطرح. ليه ما استخدمناش طريقة التعويض؟ لأن بيبقى دايمًا الأفضل إن إحنا نروح ناحية الجمع أو الطرح، في الحل بتاع المعادلات.

طيب يبقى كده هنحذف المتغيّر س. عن طريق الجمع، ولّا الطرح؟ هنبصّ نشوف معامل الـ س في المعادلة الأولانية، هو نفسه معامل الـ س في المعادلة التانية. يبقى معنى كده إن إحنا هنطرح المعادلتين. أول خطوة في الحل، إن إحنا هنرتّب المعاملات تحت بعض. يعني موجب س في المعادلة الأولانية، تبقى موجب الـ س في المعادلة التانية تحتها على طول. وموجب ص في المعادلة الأولانية، هنحطّ اللي زيّها الـ ص في المعادلة التانية.

طيب عشان نخلّي الـ ص في المعادلة التانية ناحية الـ س، يبقى هنطرح اتنين ص من المعادلة دي. يبقى هتبقى س ناقص اتنين ص، هتساوي … اتنين ص هتروح مع سالب اتنين ص. هيتبقّى الاتنين وعشرين. يبقى بعد كده هنرتّب بقى المعادلة إزَّاي؟ س زائد ص تساوي مية تسعة وستين. المعادلة التانية هتبقى س ناقص اتنين ص تساوي اتنين وعشرين.

وزيّ ما قلنا هنطرح المعادلتين، يعني هنستخدم الطرح؛ الحذف بطريقة الطرح. يبقى الـ س هنطرح منها سالب س. هتتحذف، وهيتبقّى صفر س. صفر مضروب في الـ س، يعني صفر. وموجب ص ناقص ناقص اتنين ص؛ يبقى موجب ص، زائد اتنين ص، هتساوي مية تسعة وستين ناقص اتنين وعشرين. يبقى كده تلاتة ص هتساوي مية سبعة وأربعين. هنقسم طرفَي المعادلة على تلاتة؛ علشان نجيب قيمة الـ ص. يبقى الـ ص هتساوي تسعة وأربعين. جِبنا قيمتها …

كده جِبنا المتغيّر ص يساوي تسعة وأربعين. عايزين نجيب قيمة الـ س. هنعوّض في المعادلة الأولانية، اللي هي: س زائد ص تساوي مية تسعة وستين. يبقى الـ س مجهولة، زائد التسعة وأربعين اللي جِبناها، تساوي مية تسعة وستين. يبقى بطرح تسعة وأربعين من طرفَي المعادلة، يبقى الـ س هتساوي مية تسعة وستين ناقص تسعة وأربعين. اللي هي هتساوي مية وعشرين. يبقى كده س تساوي مية وعشرين. يبقى كده جِبنا الأطوال المطلوبة. اللي هي س تساوي مية وعشرين؛ طول بطريق الإمبراطور. وَ ص تساوي تسعة وأربعين؛ اللي هو طول بطريق جالاباجوس.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده على المقارنة ما بين خمس طرق لحل المعادلتين الخطيتين. الطريقة الأولانية اللي هي التمثيل البياني، دي ما بتدّيش حل دقيق أوي كل مرة. وعندنا طرق جبرية، اللي هي الحذف بالجمع، أو الطرح، أو الضرب. وعندنا طريقة التعويض. واتكلمنا على الفروق ما بينهم.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.