نسخة الفيديو النصية
إذا كان قياس الزاوية المحصورة بين المستويين ﺃﺱ ناقص أربعة ﺹ زائد خمسة ﻉ يساوي سالب خمسة، وﺭ ضرب قياسي سبعة، سالب واحد، صفر يساوي أربعة يساوي ٦٠ درجة، فأوجد قيمة العدد الموجب الثابت ﺃ.
حسنًا، لدينا هنا معادلتا مستويين. هذه هي المعادلة الأولى، وهذه هي المعادلة الثانية. بالنسبة إلى المستوى الأول، يمكننا قول إن أي متجه عمودي على سطح المستوى له المركبات: ﺃ، وسالب أربعة، وموجب خمسة. دعونا نطلق على هذا المتجه ﻥ واحد. ومرة أخرى، هو عمودي على سطح المستوى الأول أو متعامد عليه.
أما المستوى الثاني، فهو معطى على صورة يطلق عليها الصورة المتجهة. وبكتابتها بهذه الطريقة، يكون لدينا في الطرف الأيمن حاصل الضرب القياسي لمتجه يشير إلى نقطة اختيارية في المستوى ومتجه عمودي على المستوى. يمكننا إذن قول إن المتجه العمودي على المستوى الثاني، يمكن أن نسميه ﻥ اثنين، له المركبات: سبعة، وسالب واحد، وصفر.
دعونا نسترجع الآن أن المعادلة العامة لجيب تمام الزاوية بين مستويين لهما متجهان متعامدان، ﻥ واحد وﻥ اثنان، تعطى بهذه الصيغة. في هذا المثال، نحن نعرف من المعطيات قيمة الزاوية التي أسميناها 𝜃. وهي ٦٠ درجة. لكن ما لا نعرفه بعد، وما نريد الحل لإيجاده هو قيمة ﺃ المضروب في ﺱ في معادلة المستوى الأول. لذا، سنعوض بكل المعطيات لدينا في معادلة جيب تمام الزاوية المحصورة بين المستويين، ويمكننا الآن تبسيط الطرفين الأيسر والأيمن بهدف إيجاد قيمة ﺃالتي نعلم أنها قيمة لثابت موجب.
حسنًا، عند إجراء الضرب القياسي في البسط، نحصل على: سبعة ﺃ زائد أربعة زائد صفر. وبتربيع مركبات المتجهين العموديين في المقام، يصبح لدينا: الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ١٦ زائد ٢٥ في الجذر التربيعي لـ ٤٩ زائد واحد زائد صفر. وهذا يساوي معيار سبعة ﺃ زائد أربعة مقسومًا على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ٤١ في الجذر التربيعي لـ ٥٠.
الآن عند هذه المرحلة، بما أننا نعرف من المعطيات أن قيمة ﺃ موجبة، فإننا نعرف أن ناتج حاصل ضرب سبعة في ﺃ يجب أن يكون موجبًا. لذا، عندما نضيف إليه أربعة، فإننا سنحصل على ناتج موجب أيضًا. هذا يعني أنه يمكننا حذف رمز القيمة المطلقة من البسط؛ لأن هذا العدد سيكون موجبًا على أي حال. والآن، بالنظر إلى الطرف الأيمن من هذا التعبير، دعونا نسترجع أن جتا ٦٠ درجة يساوي نصفًا بالضبط.
بوضع كل ذلك معًا، نجد أن نصفًا يساوي هذا الطرف الأيسر. ومرة أخرى، ما نريد إيجاده هو قيمة ﺃ. وللبدء في ذلك، دعونا نضرب طرفي المعادلة لدينا في المقام الموجود في اليسار بأكمله. ومن ثم، نحصل على: الجذر التربيعي لـ ٥٠ على اثنين في الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ٤١ يساوي سبعة ﺃ زائد أربعة. وبتربيع طرفي المعادلة، يصبح لدينا في الطرف الأيمن ٥٠ على أربعة في ﺃ تربيع زائد ٤١ يساوي في الطرف الأيسر ٤٩ﺃ تربيع زائد ٥٦ﺃ، أي اثنين في أربعة في سبعة ﺃ، زائد ١٦.
في الطرف الأيمن، إذا ضربنا الحدين بين القوسين في المعامل ٥٠ على أربعة هذا ثم طرحنا ٥٠ﺃ تربيع على أربعة و ٥٠ في ٤١ على أربعة من طرفي هذه المعادلة، فسنجد أن ذلك يجعل قيمة الطرف الأيمن صفرًا. نحن لدينا الآن معادلة تربيعية بدلالة ﺃ. يمكن تبسيط ٤٩ ناقص ٥٠ على أربعة ليصبح ٧٣ على اثنين، كما يمكن تبسيط ١٦ ناقص ٥٠ في ٤١ على أربعة ليصبح سالب ٩٩٣ على اثنين.
وبذلك، تكون المعادلة الكاملة هي: صفر يساوي ٧٣ على اثنين في ﺃ تربيع ناقص ٥٦ﺃ ناقص ٩٩٣ على اثنين. إذن باستخدام القانون العام الذي يمكننا من الحل لإيجاد جذري المعادلة التربيعية؛ حيث يمكننا إيجاد جذري ﺱ باستخدام هذه القيم الثابتة ﺃ وﺏ وﺟ، فإنه في المعادلة التربيعية التي أمامنا تحديدًا يمكننا قول إن ٧٣ على اثنين هو ﺃ، وسالب ٥٦ هو ﺏ، وسالب ٩٩٣ على اثنين هو ﺟ.
يمكننا استخدام هذه التسميات ما دمنا حريصين على عدم الخلط بين قيمة ﺃ هذه وقيمة ﺃ التي نحاول إيجادها. ﺃ هذا يناظر ﺱ في المعادلة التربيعية التي نحلها لإيجاد جذريها. وبمعرفة ذلك، نجد أن ﺃ الذي نريد الحل لإيجاد قيمته يعطى بهذه المعادلة. يوجد حلان هنا بسبب إشارتي الموجب والسالب الموجودتين في البسط. وعندما نحسب كل ذلك، نحصل على ناتجين، كما هو متوقع. عندما نستخدم إشارة السالب في البسط، نحصل على سالب ثلاثة. وعندما نستخدم إشارة الموجب، يكون الناتج هو ٣٣١ على ٧٣.
وعند هذه المرحلة، دعونا نسترجع أن نص المسألة يوضح أن ﺃ هو ثابت موجب. وبما أنه موجب، فإننا سنستبعد الناتج سالب ثلاثة. إذن، إجابتنا النهائية هي أن ﺃ يساوي موجب ٣٣١ على ٧٣.
