فيديو: تكامل الدوال الكسرية من خلال الكسور الجزئية

استخدم الكسور الجزئية لحساب ∫(_٠)(^١) ﺱ^٣/(ﺱ^٢ + ٢ﺱ +١‎ ‎) دﺱ.

٠٦:٣٤

‏نسخة الفيديو النصية

استخدم الكسور الجزئية لحساب تكامل من صفر إلى واحد للـ س تكعيب على، س تربيع زائد اتنين س زائد الواحد. بالنسبة للــ س.

هنلاحظ إن البسط أعلى درجة فيه هي التلاتة، والمقام أعلى درجة فيه هي الاتنين. يبقى البسط درجته أعلى من درجة المقام، يبقى هنقسم الـ س تكعيب على، الـ س تربيع زائد اتنين س زائد الواحد بالشكل ده. الـ س تكعيب لمّا هنقسمها على س تربيع، يبقى هنا س. يبقى س في س تربيع بـ س تكعيب. وَ س في اتنين س، يبقى زائد اتنين س تربيع. زائد … الـ س في الواحد تبقى س. وهنطرح، الـ س تكعيب من الـ س تكعيب هتبقى صفر. يبقى هيتبقّى عندنا سالب اتنين س تربيع ناقص س.

هنقسم سالب اتنين س تربيع على الـ س تربيع، يبقى اتبقّى سالب اتنين. ونرجع نضرب السالب اتنين في س تربيع، يبقى سالب اتنين س تربيع. سالب اتنين في زائد اتنين س، يبقى ناقص أربعة س. سالب اتنين في الزائد واحد، هتبقى ناقص اتنين. وهنطرحهم من بعض، يبقى هنعكس الإشارات دي. السالب اتنين س تربيع زائد زائد اتنين س تربيع، هتبقى بصفر. ويبقى السالب س زائد أربعة س زائد الاتنين، واللي هتساوي تلاتة س زائد اتنين.

يبقى الـ س ناقص اتنين، في الـ س تربيع زائد اتنين س زائد الواحد، في [زائد]‎ الباقي ده؛ هو اللي بيمثّل الـ س تكعيب. يبقى التكامل من صفر لواحد للـ س تربيع زائد اتنين س زائد الواحد. والبسط هيبقى فيه س ناقص اتنين، في س تربيع زائد اتنين س زائد واحد، زائد الباقي اللي هو تلاتة س زائد اتنين. ده كله هنكامله بالنسبة للـ س. يبقى هيساوي الـ س ناقص اتنين. زائد تلاتة س زائد اتنين، على س تربيع زائد اتنين س زائد الواحد. هنكاملهم بالنسبة للـ س من صفر إلى واحد.

دول تكاملهم سهل وبسيط. ده عايزين نقسّمه؛ علشان نعرف نكامله. المقام س تربيع زائد اتنين س زائد الواحد، ده نقدر نخليه س زائد الواحد مضروبة في الـ س زائد الواحد. ده حلّلناه لمعاملاته اللي هي بتساوي الـ س زائد الواحد الكل تربيع. البسط ده تلاتة س زائد اتنين، نقدر نعبّر عنه بتلاتة س زائد تلاتة، وننقّص الواحد اللي زوّدناه. ليه؟ علشان نقدر ناخد التلاتة عامل مشترك، ويتبقّى عندنا س زائد الواحد نقدر نختصره مع الـ س زائد الواحد اللي في المقام.

يبقى التلاتة س زائد اتنين، على س تربيع زائد اتنين س زائد الواحد هتساوي … البسط هنخلّيه تلاتة س زائد تلاتة ناقص الواحد، على الـ س زائد الواحد كل تربيع. هتساوي … هناخد التلاتة مشترك، ونقسّم الكسر ده. هتبقى التلاتة مضروبة في الـ س زائد الواحد، على الـ س زائد الواحد الكل تربيع. ناقص واحد على، الـ س زائد الواحد الكل تربيع. هنختصر الـ س زائد الواحد مع التربيع ده. يبقى التكامل هيساوي من صفر لواحد للـ س ناقص اتنين. زائد تلاتة على، س زائد الواحد. ناقص واحد على، س زائد الواحد الكل تربيع. هنكاملهم بالنسبة للـ س.

هنوزّع التكامل على الحدود دي، ونوجد تكاملهم. يبقى الـ س لمّا هنكاملها، هنزوّد أُسها واحد، ونقسم على الأُس الجديد، ونعوّض من الصفر للواحد. ناقص … اتنين تكاملها هيبقى اتنين س. زائد … التلاتة على، س زائد الواحد، هيبقى تكاملها تلاتة اللوغاريتم الطبيعي للـ س زائد الواحد. ناقص … الواحد على، س زائد الواحد الكل تربيع، تكاملها واحد على، س زائد الواحد. وبنضرب في إشارة سالبة، يبقى هنا دي هتبقى قيمة موجبة. وكل ده هنعوّض من الصفر إلى الواحد.

هنعوّض بالواحد. يبقى واحد على اتنين. ناقص اتنين. زائد التلاتة اللوغاريتم الطبيعي للاتنين. زائد واحد على اتنين. ده لمّا عوّضنا بالـ س بتساوي واحد. ناقص … لمّا هنعوّض بالصفر، يبقى الأولانية هتبقى الحد الأولاني بالصفر. ناقص صفر. زائد تلاتة في اللوغاريتم الطبيعي للواحد. زائد واحد على واحد، يعني قيمتها واحد. اللوغاريتم الطبيعي للواحد قيمته صفر.

هنبسّط، يبقى هيساوي … نُصّ ناقص اتنين زائد النُّص. هيبقى واحد ناقص اتنين، يبقى سالب واحد. زائد تلاتة اللوغاريتم الطبيعي للاتنين. ناقص واحد. يبقى هيساوي تلاتة اللوغاريتم الطبيعي للاتنين، ناقص اتنين. ويبقى هي دي قيمة التكامل المطلوبة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.