فيديو الدرس: الشغل المبذول بواسطة قوة ممثلة في صورة متجهة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب الشغل المبذول بواسطة متجه قوة ثابتة تؤثر على جسم خلال متجه إزاحة باستخدام الضرب القياسي.

تذكر أن الشغل يبذل عندما تتسبب قوة في تحريك جسم ما لمسافة معينة. وفي أبسط صورة له، يمكننا حسابه من خلال إيجاد حاصل ضرب هذين الكميتين، القوة في الإزاحة. عندما تكون القوة ﻕ ثابتة، والزاوية بين القوة والإزاحة ﻑ هي 𝜃، فإن الشغل المبذول يعطى بدلًا من ذلك بواسطة الصيغة ﻕ في ﻑ جتا 𝜃. ومع أن الشغل كمية قياسية، يمكننا بدلًا من ذلك التعبير عن القوة والإزاحة كمتجهين وليس كمعيار للمتجهين.

بعد ذلك الشغل المبذول الناتج عن متجه القوة ﻕ خلال متجه الإزاحة ﻑ هو حاصل الضرب القياسي لمتجه القوة ومتجه الإزاحة. ويمكن حساب هذا بطريقة أخرى باستخدام معيار متجه القوة في معيار متجه الإزاحة في جتا 𝜃. وبالطبع، بما أن حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي كمية قياسية، إذن هذا التعريف يتسق مع فهمنا لكيفية تمثيل الشغل. بأخذ هذه التعريفات في الاعتبار، سنتناول توضيحًا لكيفية حساب الشغل المبذول.

تحرك جسيم في مستوى فيه ﺱ، ﺹ متجها وحدة متعامدان. أثرت القوة ﻕ تساوي تسعة ﺱ زائد ﺹ نيوتن على الجسيم. تحرك الجسيم من نقطة الأصل إلى نقطة متجه موضعها سالب تسعة ﺱ زائد ستة ﺹ متر. أوجد الشغل الذي تبذله القوة.

تذكر أن الشغل المبذول بواسطة متجه القوة ﻕ خلال متجه إزاحة ﻑ هو حاصل الضرب القياسي لـ ﻕ وﻑ. القوة المؤثرة على الجسيم تساوي تسعة ﺱ زائد ﺹ نيوتن. لكن ما إزاحته؟ حسنًا، نعلم من المعطيات أنه يتحرك من نقطة الأصل إلى النقطة التي متجه موضعها، دعونا نسمها ﻡ، هو سالب تسعة ﺱ زائد ستة ﺹ. هذا يعني أن الإزاحة هي ببساطة المتجه ﻭﻡ. هذا يعطينا سالب تسعة ﺱ زائد ستة ﺹ ناقص صفر ﺱ زائد صفر ﺹ. وبالطبع، يمكننا ببساطة طرح المركبات. في هذه الحالة، بالطبع سنطرح المتجه صفر ﺱ زائد صفر ﺹ. لذا، سيظل المتجه الأصلي كما هو. إذن الإزاحة، التي وحدة قياسها بالمتر، تساوي سالب تسعة ﺱ زائد ستة ﺹ. وعليه، فإن الشغل المبذول هو حاصل الضرب القياسي لـ ﻕ وﻑ. ذلك يساوي تسعة ﺱ زائد ﺹ ضرب قياسي سالب تسعة ﺱ زائد ستة ﺹ.

ثم، بالطبع، نوجد حاصل الضرب القياسي بإيجاد مجموع حاصل ضرب كل مركبتين. لذا، نضرب مركبتي ﺱ، وهما تسعة في سالب تسعة، ثم نضيف حاصل ضرب مركبتي ﺹ. حسنًا، وذلك عبارة عن واحد في ستة. هذا يساوي سالب ٨١ زائد ستة، وهو ما يساوي بالطبع سالب ٧٥. وبما أن القوة بالنيوتن والإزاحة بالمتر، فإن الشغل المبذول سيكون بالجول. الآن، نلاحظ أن الشغل المبذول سالب. حسنًا، إذا كانت طاقة الجسيم محفوظة، فإن طاقة حركة الجسيم ستقل. إذا لم تكن طاقة الجسيم محفوظة، فإن الشغل المبذول قد يزيد من طاقة وضع الجسيم. في كلتا الحالتين، الشغل المبذول بواسطة القوة المذكورة في هذا السؤال هو سالب ٧٥ جول.

في هذه المسألة، تناولنا قوة واحدة تؤثر على جسم. ولكن في بعض الأحيان تؤثر عدة قوى على الجسم نفسه. في هذه الحالات، سنأخذ في الاعتبار محصلة هذه القوى. وهذا سيساعدنا على حساب الشغل المبذول. إذن، في المثال الثاني، سنوضح كيف يبدو ذلك.

تحرك جسيم في مستوى؛ حيث ﺱ وﺹ متجها وحدة متعامدان. أثرت القوتان ﻕ واحد يساوي تسعة ﺱ ناقص اثنين ﺹ نيوتن، وﻕ اثنان يساوي تسعة ﺱ ناقص سبعة ﺹ نيوتن على الجسيم. تحرك الجسيم من نقطة متجه موضعها سالب ستة ﺱ زائد اثنين ﺹ متر إلى نقطة متجه موضعها اثنان ﺱ زائد ثلاثة ﺹ متر. أوجد الشغل المبذول بواسطة محصلة القوى.

نبدأ بتذكر أنه يمكننا إيجاد الشغل المبذول بواسطة متجه القوة ﻕ خلال متجه الإزاحة ﻑ بإيجاد حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. علينا أن نكون حذرين هنا؛ لأننا نتعامل مع قوتين ونريد إيجاد الشغل المبذول بواسطة محصلتهما. الآن، محصلة قوتين هي ببساطة عبارة عن مجموعهما. إذن، القوة المحصلة ﻕ هي مجموع ﻕ واحد وﻕ اثنين. في هذه الحالة، لدينا تسعة ﺱ ناقص اثنين ﺹ زائد تسعة ﺱ ناقص سبعة ﺹ. والآن، ببساطة سنجمع المركبات، لذا سنجمع مركبتي ﺱ أولًا. تسعة زائد تسعة يساوي ١٨. بعد ذلك، نجمع مركبتي ﺹ. سالب اثنين ناقص سبعة يساوي سالب تسعة. إذن، محصلة القوى في هذه الحالة هي ١٨ﺱ ناقص تسعة ﺹ نيوتن.

الآن، علينا إيجاد الإزاحة. الآن، بالطبع يتحرك الجسيم من النقطة التي متجه موضعها سالب ستة ﺱ زائد اثنين ﺹ إلى النقطة اثنين ﺱ زائد ثلاثة ﺹ. هيا نطلق على النقطة الأولى ﺃ والنقطة الثانية ﺏ. وبذلك، تكون الإزاحة هي المتجه ﺃﺏ. وهو الفرق بين المتجهين ﻭﺏ وﻭﺃ. وبهذا يصبح لدينا اثنان ﺱ زائد ثلاثة ﺹ ناقص سالب ستة ﺱ زائد اثنين ﺹ. وكما فعلنا من قبل، نطرح ببساطة المركبات المنفردة، بدءًا بمركبتي ﺱ. اثنان ناقص سالب ستة يساوي ثمانية، وثلاثة ناقص اثنين يساوي واحدًا. إذن، نجد أن إزاحة الجسم تساوي ثمانية ﺱ زائد ﺹ. وبالطبع، ذلك بالمتر.

ولدينا كل ما نحتاجه. الشغل المبذول هو ببساطة الضرب القياسي لهذين المتجهين. هذا يساوي ١٨ في ثمانية زائد سالب تسعة في واحد، وهو ما يساوي ١٤٤ ناقص تسعة، أو ١٣٥. إذن الشغل المبذول بواسطة محصلة القوتين يساوي ١٣٥ جول.

في المثال التالي، سنلقي نظرة على كيفية الاستفادة من فهمنا لخصائص المتجهات لإيجاد الشغل المبذول بواسطة القوة.

تحرك جسيم من النقطة ﺃ سبعة، سالب ثلاثة إلى النقطة ﺏ سالب تسعة، اثنين في خط مستقيم تحت تأثير قوة ﻕ مقدارها ثمانية جذر ١٠ نيوتن تؤثر في نفس اتجاه المتجه ﺟ يساوي سالب ثلاثة ﺱ ناقص ﺹ. احسب الشغل المبذول بواسطة القوة، إذا كان مقدار الإزاحة مقيسًا بالمتر.

تذكر أن الشغل المبذول بواسطة متجه قوة ﻕ خلال متجه الإزاحة ﻑ هو حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين. في هذا السؤال، نعلم أن الجسيم يتحرك من النقطة ﺃ إلى النقطة ﺏ، لذا يمكننا حساب إزاحة الجسيم بسهولة إلى حد ما. وعلى الصورة المتجهة، سنقول إن الإزاحة ﻑ هي المتجه ﺃﺏ، وهو المتجه ﻭﺏ ناقص المتجه ﻭﺃ. والآن، بما أننا نعرف الموضع من نقطة الأصل، وهو النقطة صفر، صفر، فإن المتجه ﻭﺏ يساوي ببساطة سالب تسعة ﺱ زائد اثنين ﺹ، والمتجه ﻭﺃ يساوي سبعة ﺱ ناقص ثلاثة ﺹ. إذن، المتجه ﻑ هو الفرق بينهما، ويمكننا إيجاد ذلك بطرح المركبات المنفردة. سالب تسعة ناقص سبعة يساوي سالب ١٦، واثنان ناقص سالب ثلاثة يساوي خمسة ﺹ. إذن، لدينا متجه الإزاحة. إنه سالب ١٦ﺱ زائد خمسة ﺹ.

ولكن كيف نحسب القوة؟ نعلم أن مقدارها يساوي ثمانية جذر ١٠، لكننا لا نعرف متجهها. لكننا نعلم أنها تؤثر في نفس اتجاه هذا المتجه هنا، سالب ثلاثة ﺱ ناقص ﺹ. لذا هيا نرسم هذا. يبدو المتجه ﺟ نوعًا ما كهذا الشكل. لكل ثلاث وحدات إلى اليسار، نتحرك وحدة واحدة إلى أسفل. يؤثر المتجه ﻕ في نفس اتجاه هذا المتجه لكن مقداره ثمانية جذر ١٠. مرة أخرى، لكل ثلاث وحدات إلى اليسار، ما زلنا نتحرك وحدة واحدة إلى أسفل. إذن، يمكننا القول إننا إذا عرفنا ﻕﺱ بأنها مركبة ﺱ للقوة وﻕﺹ هي مركبة ﺹ، فإن ﻕﺱ يساوي ثلاثة في ﻕﺹ.

وبالطبع، بما أن مركبتي ﺱ وﺹ للمتجهين متعامدتان إحداهما على الأخرى، يمكننا تكوين مثلث قائم الزاوية وتطبيق نظرية فيثاغورس لإيجاد قيمتي ﻕﺱ وﻕﺹ. وهذا يعني أن مقدار ﻕﺱ تربيع زائد مقدار ﻕﺹ تربيع يساوي ثمانية جذر ١٠ الكل تربيع. والآن، بالطبع ﻕﺱ يساوي ثلاثة في ﻕﺹ. لذا، يمكننا التعويض عن مقدار ﻕﺱ بثلاثة في مقدار ﻕﺹ. وبالمثل، ثمانية جذر ١٠ الكل تربيع يساوي ٦٤٠. ثلاثة تربيع يساوي تسعة، إذن يصبح لدينا إجمالي ١٠ في ﻕﺹ تربيع. ثم نقسم الطرفين على ١٠. وأخيرًا، سنأخذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين. الآن، علينا فقط أخذ الجذر التربيعي الموجب لـ ٦٤؛ لأننا ننظر إلى المقدار، وهو ببساطة عبارة عن طول. لذا، مقدار ﻕﺹ يساوي ثمانية. وبما أن مقدار ﻕﺱ يساوي ثلاثة في مقدار ﻕﺹ، فإن هذا يساوي ثلاثة في ثمانية، وهو ما يساوي ٢٤. نعرف الاتجاه الذي تؤثر فيه القوة. يمكننا إذن تحديد القوة المتجهة لتكون سالب ٢٤ﺱ ناقص ثمانية ﺹ نيوتن.

دعونا نفرغ بعض المساحة، ونحن الآن جاهزون لإيجاد حاصل الضرب القياسي للقوة والإزاحة. الشغل المبذول هو حاصل الضرب القياسي لسالب ٢٤ﺱ ناقص ثمانية ﺹ، وسالب ١٦ﺱ زائد خمسة ﺹ. هذا يساوي سالب ٢٤ في سالب ١٦ زائد سالب ثمانية في خمسة، وهو ما يساوي ٣٤٤. يقاس الشغل المبذول بوحدة الجول. وبذلك نجد أن الشغل المبذول بواسطة القوة هذه يساوي ٣٤٤ جول.

في الأمثلة السابقة، تناولنا إيجاد الشغل المبذول عندما تكون كل من الإزاحة والقوة متجهتين، حيث كل مركبة تمثل ببساطة عددًا. في المثال الأخير، سنوضح كيف يمكن أيضًا حساب الشغل المبذول عندما يعطى متجها الإزاحة والقوة كلاهما أو أحدهما كمقدار بدلالة الزمن.

يتحرك جسيم في مستوى حيث ﺱ وﺹ متجها وحدة متعامدان. تعطى إزاحة الجسيم من نقطة الأصل عند الزمن ﻥ ثانية بالعلاقة ﻑ يساوي اثنين ﻥ تربيع زائد سبعة ﺱ زائد ﻥ زائد سبعة ﺹ متر. وتؤثر عليه القوة ﻕ يساوي ستة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ نيوتن. ما مقدار الشغل الذي تبذله القوة في الفترة من ﻥ يساوي ثانيتين إلى ﻥ يساوي ثلاث ثوان؟

بما أن الشغل المبذول هو حاصل الضرب القياسي للقوة المتجهة ومتجه الإزاحة، فعلينا حساب إزاحة هذا الجسيم. إزاحته معطاة عند زمن ما ﻥ. ولكن مطلوب منا أيضًا معرفة مقدار الشغل المبذول في الفترة من ﻥ يساوي ثانيتين إلى ﻥ يساوي ثلاث ثوان. إذن، لنعوض بـ ﻥ يساوي اثنين وﻥ يساوي ثلاثة في تعبيري الإزاحة. نبدأ بـ ﻥ يساوي ثلاث ثوان، نحصل على اثنين في ثلاثة تربيع زائد سبعة ﺱ زائد ثلاثة زائد سبعة ﺹ. هذا يساوي ٢٥ﺱ زائد ١٠ﺹ. ونحن نستخدم وحدة المتر. إذن الإزاحة من نقطة الأصل، ومن ثم إلى موضع الجسيم، عند ثلاث ثوان، تساوي ٢٥ﺱ زائد ١٠ﺹ متر. وبطريقة مشابهة، يمكننا إيجاد موضع الجسيم عند ثانيتين من خلال التعويض بـ ﻥ يساوي اثنين في التعبير. وبذلك نحصل على ١٥ﺱ زائد تسعة ﺹ متر.

إذن إزاحة الجسيم بين هذين الزمنين هي الفرق هنا. إنها ﻑ ثلاثة ناقص ﻑ اثنين. أي ٢٥ﺱ زائد ١٠ﺹ ناقص ١٥ﺱ زائد تسعة ﺹ. وبالطبع، يمكننا طرح المركبات المنفردة. ‏٢٥ ناقص ١٥ يساوي ١٠، و١٠ ناقص تسعة يساوي واحدًا. إذن، الإزاحة ببساطة تساوي ١٠ﺱ زائد ﺹ متر. وبما أن الشغل المبذول هو حاصل الضرب القياسي للقوة والإزاحة، فعلينا إيجاد حاصل الضرب القياسي لستة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ، وكذلك الإزاحة التي حسبناها للتو. إنه حاصل الضرب القياسي لستة ﺱ زائد ثلاثة ﺹ و١٠ﺱ زائد ﺹ. وهذا يساوي ستة في ١٠ زائد ثلاثة في واحد، وهو ما يساوي بالطبع ٦٣. إذن، الشغل المبذول يساوي ٦٣ جول.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. في هذا الفيديو، تعلمنا أن الشغل المبذول بواسطة متجه القوة الثابتة ﻕ خلال متجه الإزاحة ﻑ يساوي حاصل الضرب القياسي لـ ﻕ وﻑ. وبدلًا من ذلك، إذا كانت 𝜃 هي الزاوية المحصورة بين ﻕ وﻑ، فإنه يساوي مقدار القوة في مقدار الإزاحة في جتا 𝜃. وإذا عبرنا عن ﻕ وﻑ في الصورة الإحداثية، فلن نحتاج في الواقع إلى استخدام هذه الصيغة الثانية. يمكننا ببساطة إيجاد حاصل الضرب القياسي لإيجاد الشغل المبذول.