فيديو الدرس: اتزان جسم على مستوى أفقي خشن الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المسائل التي تتضمن اتزان جسم على مستوى أفقي خشن. نبدأ بإلقاء نظرة على بعض التعريفات الأساسية ثم سنتناول الطريقة التي يمكن بها تحليل القوى في الاتجاهين الرأسي والأفقي لحساب المجاهيل. ويشمل ذلك أن نتناول قوة رد الفعل العمودي وقوة الاحتكاك بين الجسم والمستوى، ومعامل الاحتكاك السكوني؛ ﻡﺱ. وسنتناول أيضًا زاوية الاحتكاك.

دعونا نبدأ بالنظر إلى جسم يستند على مستوى أفقي خشن كما هو موضح. إذا كان الجسم في حالة اتزان، فإن قوة رد الفعل المحصل المؤثرة عليه تساوي صفرًا. توجد قوتان تؤثران على الجسم: الأولى هي قوة وزنه، وتساوي كتلة الجسم مضروبة في عجلة الجاذبية. والثانية هي قوة رد الفعل العمودي؛ ﺭ، وفقًا لقانون نيوتن الثالث. وفي حالة جسم على سطح أفقي، فإن هذه القوة تؤثر رأسيًّا لأعلى. وبما أن القوة المحصلة تساوي صفرًا، فإن هاتين القوتين متساويتان؛ حيث ﺭ يساوي ﻭ، وهو ما يمكننا كتابته على الصورة: ﺭ يساوي ﻙﺩ.

وإذا كان الجسم على سطح أملس، فإن أي قوة محصلة مؤثرة على الجسم في الاتجاه الأفقي ستجعل الجسم يتسارع في الاتجاه الأفقي. ولكن، على سطح خشن، لن يتسارع الجسم إلا إذا كان مقدار القوة المؤثرة عليه في الاتجاه الأفقي أكبر من مقدار قوة الاحتكاك بين الجسم والسطح. في هذا الفيديو، سنرمز إلى قوة الاحتكاك بالرمز ﺡ. تؤثر قوة الاحتكاك هذه في الاتجاه المضاد للقوة المؤثرة؛ ﻕ.

وفي هذا الفيديو، سنتناول المسائل التي سيكون فيها الجسم على وشك الحركة، ولهذا ستصل قوة الاحتكاك إلى أقصى قيمة ممكنة لها. وعندها، سيظل الجسم في حالة اتزان. عندما نحلل القوى في الاتجاه الأفقي، فإن القوة المؤثرة ﻕ ستكون مساوية لقوة الاحتكاك؛ ﺡ. وتطلق على قوة الاحتكاك القصوى تسمية «الاحتكاك النهائي». وهذا الاحتكاك النهائي ﺡ بين جسم في حالة السكون والسطح المستقر عليه يحقق الصيغة: ﺡ يساوي ﻡﺱﺭ. وبما أن ﺭ؛ أي قوة رد الفعل العمودي، يساوي ﻙﺩ، فإن قوة الاحتكاك ﺡ تساوي ﻡﺱﻙﺩ.

سنتناول الآن مثالًا يطلب منا فيه إيجاد الحد الأقصى للقوة المؤثرة على جسم يظل في حالة اتزان.

جسم وزنه ٢٥٫٥ نيوتن وضع على مستوى أفقي خشن. أثرت قوة أفقية على الجسم، جعلته على وشك الحركة. إذا كان معامل الاحتكاك السكوني بين الجسم والمستوى ثلاثة على ١٧، فأوجد مقدار القوة.

يمكننا البدء برسم شكل توضيحي يمثل الحالة. نعلم أن أي جسم مستقر على مستوى أفقي ستؤثر عليه قوة رأسية لأسفل تساوي وزنه. وهذا الوزن ﻭ يساوي كتلة الجسم مضروبة في عجلة الجاذبية. في هذا السؤال، نعرف من المعطيات أن وزن الجسم ٢٥٫٥ نيوتن. إذن، ستكون هناك قوة مؤثرة رأسيًّا لأسفل تساوي ٢٥٫٥ نيوتن. يخبرنا قانون نيوتن الثالث أنه ستكون هناك قوة رد فعل عمودي تؤثر في الاتجاه المضاد لهذه القوة. وبما أن الجسم في حالة اتزان، فإننا نعرف أن هاتين القوتين متساويتان. إذن، قوة رد الفعل العمودي ﺭ تساوي ٢٥٫٥ نيوتن.

نعرف من معطيات السؤال أنه توجد قوة أفقية ﻕ تؤثر على الجسم. وبما أن المستوى خشن، فستؤثر قوة احتكاك بين الجسم والمستوى. بما أن الجسم على وشك الحركة، فإن قوة الاحتكاك ستصل إلى الحد الأقصى لها. وتعرف عندئذ باسم الاحتكاك النهائي، بحيث ﺡ يساوي ﻡﺱ مضروبًا في ﺭ؛ حيث ﻡﺱ هو معامل الاحتكاك السكوني بين الجسم والمستوى. وفي هذا السؤال، نعرف من المعطيات أن هذا يساوي ثلاثة على ١٧. ومن ثم، فإن قوة الاحتكاك ﺡ تساوي ثلاثة على ١٧ مضروبًا في ٢٥٫٥، وهو ما يساوي ٤٫٥. إذن، الحد الأقصى لقوة الاحتكاك يساوي ٤٫٥ نيوتن.

بما أن الجسم على وشك الحركة ولا يزال في وضع الاتزان، فلا بد أيضًا للقوتين الأفقيتين من أن تساوي إحداهما الأخرى. أي إن القوة المؤثرة ﻕ لا بد من أن تساوي قوة الاحتكاك ﺡ. لذلك، يمكننا استنتاج أن مقدار القوة الأفقية المؤثرة على الجسم يساوي ٤٫٥ نيوتن.

في المثال التالي، مطلوب منا حساب رد الفعل المحصل؛ حيث يكون الاحتكاك النهائي هو إحدى المركبات.

جسم يستند على مستوى أفقي خشن. معامل الاحتكاك السكوني بين الجسم والمستوى ٠٫٢، وقوة الاحتكاك النهائي التي تؤثر على الجسم ٨٠ نيوتن. إذا علم أن ر شرطة هي القوة المحصلة لقوة الاحتكاك وقوة رد الفعل العمودي، فأوجد مقدار ر شرطة.

سنبدأ برسم شكل توضيحي لتمثيل الحالة. إذا كان الجسم في وضع الاحتكاك النهائي، فهذا يعني أنه توجد أربع قوى مؤثرة عليه. أولًا، القوة المؤثرة رأسيًّا لأسفل هي قوة الوزن، وهي التي تساوي كتلة الجسم مضروبة في عجلة الجاذبية. والقوة المؤثرة رأسيًّا لأعلى هي قوة رد الفعل العمودي ﺭ. وسيكون لدينا قوة مؤثرة ﻕ تجعل الجسم على وشك الحركة، وأخيرًا لدينا قوة الاحتكاك ﺡ بين الجسم والمستوى تؤثر في الاتجاه المضاد لهذه القوة.

ومع أنه لم يرد ذكر الوزن والقوة المؤثرة في السؤال، فإننا نعلم أنه لأي جسم في حالة سكون وموضوع على سطح، فلا بد من أن تكون قوة رد الفعل العمودي ﺭ مساوية لوزن الجسم. والاحتكاك النهائي هو الحد الأقصى لقوة الاحتكاك التي يؤثر بها السطح على الجسم قبل أن يبدأ في الحركة. وبذلك، نعلم أن القوة المؤثرة ﻕ لا بد من أن تساوي قوة الاحتكاك ﺡ. وقوة الاحتكاك هذه تساوي ﻡﺱ مضروبًا في ﺭ؛ حيث ﻡﺱ هو معامل الاحتكاك السكوني بين السطح والجسم.

دعونا نعوض الآن بالقيم المعطاة في هذا السؤال. نعرف من معطيات السؤال أن ﻡﺱ يساوي ٠٫٢. ونعرف أيضًا من المعطيات أن قوة الاحتكاك تساوي ٨٠ نيوتن. بالتعويض بهما في الصيغة: ﺡ يساوي ﻡﺱﺭ، يصبح لدينا ٨٠ يساوي ٠٫٢ مضروبًا في ﺭ. يمكننا بعد ذلك قسمة كلا الطرفين على ٠٫٢. إذن، ﺭ يساوي ٨٠ مقسومًا على ٠٫٢، وهو ما يساوي ٤٠٠. ومن ثم، فإن قوة رد الفعل العمودي المؤثرة على الجسم تساوي ٤٠٠ نيوتن. ومع أن السؤال لم يطلب ذلك، يمكننا بعد ذلك حساب قوة الوزن والقوة المؤثرة ﻕ. وهما تساويان ٤٠٠ نيوتن و٨٠ نيوتن، على الترتيب.

مطلوب منا حساب مقدار ر شرطة؛ حيث ر شرطة هي قوة رد الفعل المحصل بين قوة الاحتكاك وقوة رد الفعل العمودي. ستؤثر هذه القوة في الاتجاه الموضح على الشكل. يمكننا حساب مقدارها بإنشاء مثلث قائم الزاوية. وباستخدام نظرية فيثاغورس، يكون لدينا ر شرطة تربيع يساوي ٤٠٠ تربيع زائد ٨٠ تربيع. الطرف الأيسر يساوي ١٦٦٤٠٠. يمكننا بعد ذلك أخذ الجذر التربيعي لكلا طرفي هذه المعادلة. وبما أن قوة رد الفعل المحصل لا بد من أن تكون موجبة، فإننا نحصل على: ر شرطة يساوي ٨٠ جذر ٢٦. ومن ثم، فإن مقدار قوة رد الفعل المحصل يساوي ٨٠ جذر ٢٦ نيوتن. وفي الصورة العشرية، يساوي ذلك الناتج ٤٠٧٫٩٢ نيوتن، لأقرب منزلتين عشريتين.

يقودنا هذا السؤال إلى حقيقة مهمة عن أي جسم على سطح خشن. وهي أن الجسم الموضوع على سطح خشن له زاوية احتكاك. هذه هي الزاوية الواقعة بين قوة رد الفعل العمودي وقوة رد الفعل المحصل وقوة الاحتكاك النهائي. إذا اعتبرنا أن الجسم التالي موضوع على سطح خشن، فإنه إذا كان الجسم عند الحد النهائي للاحتكاك وعلى وشك الحركة، فستؤثر عليه أربع قوى في الاتجاهين الأفقي والرأسي. هذه القوى الأربع هي: قوة رد الفعل العمودي ﺭ، وقوة الوزن ﻭ التي تساوي ﻙﺩ، والقوة المؤثرة ﻕ، وقوة الاحتكاك النهائي ﺡ.

نسترجع أن قوة الاحتكاك النهائي ﺡ هذه تساوي ﻡﺱ مضروبًا في ﺭ. وفي حين أن قيمتها غير مطلوبة هنا، فإنه تجدر بنا الإشارة إلى أنه عند تحليل القوى في الاتجاه الأفقي والاتجاه الرأسي فإن القوى تتساوى في كل اتجاه. نرسم القوة ر شرطة، التي هي القوة المحصلة لقوة رد الفعل العمودي وقوة الاحتكاك وهي ليست قوة إضافية، ونجد أن زاوية الاحتكاك θ تكون كما هو موضح في الشكل. يمكننا رسم مثلث قائم الزاوية أضلاعه هي: قوة رد الفعل المحصل هذه، وقوة رد الفعل العمودي، وقوة الاحتكاك النهائي. بالتعويض عن ﺡ بـ ﻡﺱﺭ، يمكننا استخدام نسبة الظل لحساب قيمة θ.

نعلم أنه في أي مثلث قائم الزاوية، ظل الزاوية θ يساوي طول الضلع المقابل على طول الضلع المجاور. في الشكل لدينا، ظا θ يساوي ﻡﺱﺭ على ﺭ. وبقسمة البسط والمقام على ﺭ، نحصل على: ظا θ يساوي ﻡﺱ. إذن، يمكن إيجاد قياس زاوية الاحتكاك لجسم موضوع على سطح أفقي خشن باستخدام الصيغة: ظا θ يساوي ﻡﺱ.

دعونا نلق نظرة على مثال معين مطلوب منا فيه حساب قياس زاوية الاحتكاك.

إذا كان معامل الاحتكاك السكوني بين جسم ومستوى هو جذر ثلاثة على أربعة، فما قياس زاوية الاحتكاك؟ قرب إجابتك لأقرب دقيقة إذا لزم الأمر.

سنبدأ باسترجاع المقصود بزاوية الاحتكاك. زاوية الاحتكاك هي الزاوية الواقعة بين قوة رد الفعل العمودي المؤثرة على جسم وقوة رد الفعل المحصل وقوة الاحتكاك النهائي على الجسم. بما أن قوة الاحتكاك النهائي ﺡ تساوي ﻡﺱﺭ، وباستخدام معرفتنا بحساب المثلثات للمثلثات القائمة الزاوية، فإننا نعرف أن زاوية الاحتكاك θ تحقق المعادلة: ظا θ يساوي ﻡﺱﺭ على ﺭ، أي ما يساوي ﻡﺱ؛ حيث ﻡﺱ هو معامل الاحتكاك السكوني ويساوي في هذا السؤال جذر ثلاثة على أربعة. إذن، ظا θ يساوي جذر ثلاثة على أربعة.

بحساب الدالة العكسية للظل لكلا طرفي هذه المعادلة، نحصل على: θ يساوي الدالة العكسية لـ taﺭ جذر ثلاثة على أربعة. بعد التأكد من ضبط الآلة الحاسبة على وضع الدرجات، وبكتابة الطرف الأيسر، نحصل على ٢٣٫٤١٣٢ وهكذا مع توالي الأرقام. يطلب منا السؤال أن نقرب الناتج لأقرب دقيقة. يمكننا أن نفعل ذلك باستخدام زر الدرجات، والدقائق، والثواني في الآلة الحاسبة، أو بضرب الجزء العشري من الناتج في ٦٠. هذا يساوي ٢٤٫٧٩ دقيقة وهكذا مع توالي الأرقام، وبهذا نحصل على الناتج ٢٣ درجة و٢٥ دقيقة لأقرب دقيقة. هذا هو قياس زاوية الاحتكاك عندما يكون معامل الاحتكاك السكوني بين الجسم والمستوى يساوي جذر ثلاثة على أربعة.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. عرفنا في هذا الفيديو أن مقدار قوة رد الفعل العمودي لجسم على سطح أفقي يساوي مقدار وزن الجسم. وقوة الاحتكاك بين الجسم وسطح خشن تؤثر في الاتجاه المضاد للقوة المحصلة المؤثرة على الجسم والموازية للمستوى. يعطى الحد الأقصى لقوة الاحتكاك بين جسم وسطح خشن بالصيغة: ﺡ يساوي ﻡﺱﺭ؛ حيث ﺭ قوة رد الفعل العمودي المؤثرة على الجسم، وﻡﺱ معامل الاحتكاك السكوني بين الجسم والسطح. وأخيرًا، عرفنا أن زاوية الاحتكاك لجسم على سطح أفقي خشن تعطى بواسطة θ، وهي التي تساوي الدالة العكسية لـ ظا ﻡﺱ؛ حيث مرة أخرى ﻡﺱ هو معامل الاحتكاك السكوني بين الجسم والسطح.