نسخة الفيديو النصية
يسري ماء بانسيابية عبر أنبوب يتغير سمكه على امتداد طوله. يدخل الماء الأنبوب عند نقطة مساحة مقطع الأنبوب عندها 1.24 في 10 أس سالب خمسة متر مربع، ويخرج من الأنبوب عند نقطة مساحة مقطع الأنبوب عندها 6.35 في 10 أس سالب ستة متر مربع. تزيد سرعة الماء بمقدار 2.50 متر لكل ثانية بين لحظة دخوله الأنبوب وخروجه منه. ما السرعة التي يخرج بها الماء من الأنبوب؟
لنفترض أن هذا هو الأنبوب؛ حيث يمثل هذا الطرف المدخل، وهذا الطرف المخرج. يمكننا أن نرمز إلى مساحة مقطع المدخل بالرمز 𝐴 واحد، ونعلم قيمتها من نص المسألة. بالمثل، سنرمز إلى مساحة مخرج الأنبوب بالرمز 𝐴 اثنين، ونعلم قيمتها أيضًا. يمكننا ملاحظة أن 𝐴 واحدًا أكبر من 𝐴 اثنين. وهذا سبب تناقص قطر الأنبوب أثناء الانتقال من المدخل إلى المخرج. يدخل الماء إلى هذا الأنبوب بسرعة سنرمز لها بالرمز 𝑣 واحد. ويخرج من الأنبوب بسرعة 𝑣 اثنين، وسرعة خروج الماء هي ما نحاول إيجاد قيمتها.
لمساعدتنا في ذلك، دعونا نتذكر معادلة الاستمرارية للموائع ذات الكثافة الثابتة. عندما يسري مائع غير قابل للانضغاط، مثل الماء، عبر حجم يملؤه، نجد أن مساحة مقطع هذا الحجم عند إحدى النقاط مضروبة في سرعة المائع المتدفق تساوي مساحة مقطع هذا الحجم عند نقطة أخرى مضروبة في سرعة المائع عند هذه النقطة الأخرى. النقطتان المعنيتان هنا هما مدخل الأنبوب ومخرجه. بدلالة المتغيرات في هذه المعادلة، نعرف قيمة 𝐴 واحد و𝐴 اثنين. وهما مساحتا مقطعي الأنبوب عند النقطتين المعنيتين.
ليس معلومًا لدينا قيمة 𝑣 واحد أو 𝑣 اثنين، وهي السرعة التي نريد إيجاد قيمتها. لكننا نعرف أن الماء تزداد سرعته أثناء سريانه عبر الأنبوب بمقدار 2.50 متر لكل ثانية. هذا يعني أنه إذا أخذنا السرعة 𝑣 واحدًا، وهي سرعة الماء عند دخوله الأنبوب، وأضفنا إليها هذه السرعة التي تساوي 2.50 متر لكل ثانية، فسنحصل على سرعة الماء عند خروجه من الأنبوب، وهي 𝑣 اثنان. دعونا الآن نفرغ بعض المساحة ونستخدم هذه المعادلة هنا لمساعدتنا في بدء إيجاد قيمة 𝑣 اثنين باستخدام معادلة الاستمرارية.
باستخدام هذه المعادلة، أحد الحلول التي يمكننا تنفيذها هي التعويض عن 𝑣 اثنين بـ 𝑣 واحد زائد 2.50 متر لكل ثانية. إلا أنه عند فعل ذلك، نلاحظ أننا سنحصل على معادلة يكون فيها المجهول 𝑣 واحدًا، أي سرعة دخول الماء. وعند إيجاد قيمة 𝑣 واحد، يمكننا استخدام هذه المعلومة لإيجاد قيمة 𝑣 اثنين. ولكن ثمة طريقة أبسط، وهي التعويض عن 𝑣 واحد في هذه المعادلة بتعبير بدلالة 𝑣 اثنين، أي المتغير الذي نريد إيجاد قيمته. يمكننا فعل ذلك بطرح 2.50 متر لكل ثانية من كلا طرفي هذه المعادلة. عندما نفعل ذلك، يصبح لدينا في الطرف الأيسر سالب 2.50 متر لكل ثانية زائد 2.50 متر لكل ثانية، وهو ما يساوي صفرًا. ويبقى لدينا تعبير لـ 𝑣 واحد بدلالة 𝑣 اثنين. هذا يعني أنه يمكننا التعويض عن 𝑣 واحد في معادلة الاستمرارية بـ 𝑣 اثنين ناقص 2.50 متر لكل ثانية.
أصبح الآن المجهول الوحيد لدينا في هذه المعادلة هو المتغير الذي نريد إيجاد قيمته. للبدء في إيجاد الحل، نضرب 𝐴 واحدًا في كلا الحدين الموجودين داخل هذين القوسين. يعطينا ذلك هذه النتيجة. يمكننا بعد ذلك إضافة 𝐴 واحد في 2.50 متر لكل ثانية إلى كلا طرفي المعادلة. في الطرف الأيسر، بطرح الكمية نفسها وجمعها نحصل على صفر. وفي الخطوة التالية، إذا طرحنا 𝐴 اثنين في 𝑣 اثنين من كلا طرفي المعادلة، فستختفي هذه الكمية نتيجة لطرحها وإضافتها في الطرف الأيمن. هذا يعني أن مجموع هذين الحدين يساوي صفرًا.
وبذلك يبسط الطرف الأيمن في التعبير إلى 2.50 متر لكل ثانية في 𝐴 واحد. وفي الطرف الأيسر، يمكننا ملاحظة أن هذين الحدين بينهما عامل مشترك، وهو 𝑣 اثنان. ومن ثم، إذا أخذنا 𝑣 اثنين عاملًا مشتركًا، فسنحصل على 𝑣 اثنين في 𝐴 واحد ناقص 𝐴 اثنين. أخيرًا، لجعل 𝑣 اثنين في طرف بمفرده، نقسم كلا طرفي المعادلة على 𝐴 واحد ناقص 𝐴 اثنين. وفي الطرف الأيسر، يحذف هذا الفرق في البسط والمقام. فنجد أخيرًا أن قيمة 𝑣 اثنين، وهي سرعة خروج الماء من هذا الأنبوب، تساوي 2.50 متر لكل ثانية في 𝐴 واحد على 𝐴 واحد ناقص 𝐴 اثنين. بما أننا نعرف قيمتي 𝐴 واحد و𝐴 اثنين، فيمكننا التعويض بهما في هذا التعبير. يعطينا ذلك هذه النتيجة.
لاحظ أنه بما أننا نطرح حدًّا من حد آخر في المقام، فستكون الوحدة المتشابهة لهذين الحدين، أي المتر المربع، هي وحدة المقام بوجه عام. ولكن البسط يحتوي على وحدة المتر المربع أيضًا. لذا، عند حساب هذا الكسر، ستحذف هذه الوحدات تمامًا. وستكون الوحدة النهائية المتبقية هي وحدة المتر لكل ثانية، وهي وحدة السرعة. بحساب هذا التعبير على الآلة الحاسبة، نجد أن قيمة 𝑣 اثنين لأقرب ثلاثة أرقام معنوية تساوي 5.12 أمتار لكل ثانية. هذه هي سرعة الماء عند خروجه من الأنبوب، التي تكون أسرع بمقدار 2.50 متر لكل ثانية من سرعة انتقال الماء عند دخوله الأنبوب.
