نسخة الفيديو النصية
يحفر مجموعة من العمال حفرة؛ حيث معدل التغير في الحجم ﺡ للرمل المستخرج، بالمتر المكعب، بالنسبة إلى الزمن ﻥ، بالساعات، يعطى بالعلاقة: ﺩﺡ على ﺩﻥ يساوي ﻥ زائد ١٥. احسب حجم الرمل المستخرج في خمس ساعات لأقرب جزء من مائة.
أخبرنا السؤال أن هناك مجموعة من العمال يحفرون حفرة. ومعطى لنا علاقة تتضمن حجم الرمل المستخرج بالنسبة إلى الزمن. مشتقة هذا الحجم بالنسبة إلى الزمن تساوي ﻥ زائد ١٥ ؛ حيث الحجم ﺡ للرمل المستخرج معطى بوحدة المتر المكعب، والزمن ﻥ معطى بالساعات. والمطلوب هو حساب حجم الرمل المستخرج في خمس ساعات. وعلينا تقريب إجابتنا لأقرب جزء من مائة.
للإجابة عن هذا السؤال، نبدأ بملاحظة أن حجم الرمل المستخرج سيعطى بالدالة ﺡ ﻥ. إنها كمية الرمل المستخرج بعد ﻥ ساعة. وبما أن المطلوب في هذا السؤال هو إيجاد كمية الرمل المستخرج بعد خمس ساعات، فإن المطلوب هو إيجاد قيمة ﺡ عند خمسة.
ولكن، الدالة ﺡ ﻥ غير معطاة لنا. وبدلًا من ذلك، لدينا ﺩﺡ على ﺩﻥ. إنه معدل التغير في الحجم بالنسبة إلى الزمن. وبما أن لدينا تعبيرًا لمشتقة ﺡ بالنسبة إلى ﻥ، فإن علينا إذن إيجاد مشتقة عكسية لهذا التعبير؛ أي إيجاد ما يعطينا عند اشتقاقه ﻥ زائد ١٥. للقيام بذلك، نتذكر أنه باستخدام التكامل غير المحدد، يمكننا إيجاد المشتقة العكسية الأكثر شمولًا. في هذا السؤال، ستساوي ﺡ ﻥ التكامل غير المحدد لمشتقتها ﺩﺡ على ﺩﻥ بالنسبة إلى ﻥ. وتجدر الإشارة إلى أن هذا يتحقق فقط بوضع ثابت التكامل؛ لأننا نوجد المشتقة العكسية الأكثر شمولًا.
لإيجاد قيمة ذلك، دعونا نعوض بالتعبير المعطى لـ ﺩﺡ على ﺩﻥ في المعادلة. علمنا أن ﺩﺡ على ﺩﻥ يساوي ﻥ زائد ١٥. ومن ثم، فإن ﺡ ﻥ تساوي التكامل غير المحدد لـ ﻥ زائد ١٥ بالنسبة إلى ﻥ. والآن، علينا إيجاد قيمة هذا التكامل. وسنفعل ذلك حدًّا فحدًّا عن طريق استخدام قاعدة القوة للتكامل، التي تنص على أنه بالنسبة لأي قيمة حقيقية لـ ﺭ لا تساوي سالب واحد، فإن تكامل ﺱ أس ﺭ بالنسبة إلى ﺱ يساوي ﺱ أس ﺭ زائد واحد مقسومًا على ﺭ زائد واحد زائد ثابت التكامل ﺙ. إننا نضيف واحدًا إلى أس المتغير ونقسم على الأس الجديد.
تذكر أن بإمكاننا حساب التكاملات بإيجاد تكامل كل حد على حدة. إذن، يمكننا تطبيق هذه القاعدة لإيجاد تكامل ﻥ. من الجدير بالملاحظة أنه يمكننا استخدام أي رمز للمتغير في التعبير. يمكننا أن نقول إن تكامل ﻥ أس ﺭ بالنسبة إلى ﻥ يساوي ﻥ أس ﺭ زائد واحد مقسومًا على ﺭ زائد واحد زائد ﺙ. ومن ثم، بإعادة كتابة ﻥ على الصورة ﻥ أس واحد، نضيف واحدًا إلى هذا الأس فنحصل على اثنين، ونقسم على الأس الجديد. إذن، تكامل ﻥ أس واحد يساوي ﻥ تربيع على اثنين. ويمكننا إضافة ثابت التكامل الآن. لكننا، سنحصل على ثابت تكامل عند إيجاد تكامل كل حد. ومن الأسهل تجميع الثابتين في ثابت تكامل واحد في نهاية التعبير.
والآن، علينا إيجاد تكامل الثابت ١٥. ويمكننا فعل ذلك باستخدام قاعدة القوة للتكامل. ١٥ يساوي ١٥ مضروبًا في ﻥ أس صفر. لكن من الأسهل بكثير أن نتذكر أن مشتقة الدالة الخطية تساوي معامل ﻥ. بعبارة أخرى، مشتقة ١٥ﻥ بالنسبة إلى ﻥ تساوي ١٥، وهو ما يعني أن ١٥ﻥ مشتقة عكسية لـ ١٥. وأخيرًا، نضيف ثابت التكامل ﺙ. إذن، ﺡ ﻥ تساوي ﻥ تربيع على اثنين زائد ١٥ﻥ زائد ﺙ.
نريد إيجاد قيمة ﺡ عند خمسة. لكن هناك مشكلة. لا يزال لدينا ثابت التكامل المجهول هذا. ولإيجاد قيمة ﺙ هذه، سنحتاج إلى معرفة ﺡ ﻥ لقيمة ما لـ ﻥ. ويمكننا فعل ذلك مباشرة بالرجوع إلى معطيات السؤال. لعلنا نتذكر أن ﺡ ﻥ هي كمية الرمل المستخرج بعد ﻥ ساعة. إذن، في حالة عدم مرور زمن، لا تتم إزالة أي كمية من الرمل. ﺡ لصفر تساوي صفرًا. ونظرًا لأن ﻥ يساوي صفرًا في هذه الحالة، فإن هذا يسمى أحيانًا بالشرط الابتدائي.
والآن يمكننا التعويض بـ ﻥ يساوي صفرًا في الدالة ﺡ ﻥ. ومن ثم، فإن ﺡ لصفر يساوي صفرًا تربيع على اثنين زائد ١٥ في صفر زائد ﺙ. وتذكر أن ذلك يجب أن يساوي صفرًا؛ لأنه لم تتم إزالة أي كمية من الرمل عند الزمن ﻥ يساوي صفرًا. صفر تربيع على اثنين يساوي صفرًا، و ١٥ مضروبًا في صفر يساوي صفرًا أيضًا. ومن ثم، يصبح لدينا فقط ﺙ يساوي صفرًا.
يمكننا بعد ذلك التعويض بـ ﺙ يساوي صفرًا في الدالة ﺡ ﻥ. وهذا يعطينا ﺡ ﻥ تساوي ﻥ تربيع على اثنين زائد ١٥ﻥ. والآن يمكننا أن نعوض بـ ﻥ يساوي خمسة في هذا التعبير لإيجاد حجم الرمل المستخرج بعد خمس ساعات. بالتعويض بـ ﻥ يساوي خمسة في ﺡ ﻥ، نجد أن قيمة ﺡ عند خمسة تساوي خمسة تربيع على اثنين زائد ١٥ مضروبًا في خمسة، وهو ما يعطينا ٨٧٫٥.
لكننا لم ننته بعد. تذكر أن السؤال يطلب منا تقريب الإجابة لأقرب جزء من مائة. ومن ثم، يمكننا إضافة منزلة عشرية أخرى للحصول على إجابة دقيقة. وأخيرًا، علينا أن نتذكر أن هذه القيمة تمثل كمية فيزيائية. ولذا، علينا إضافة وحدة لها. علمنا من السؤال أن الحجم ﺡ مقيس بالمتر المكعب، بشرط أن تكون وحدة قياس ﻥ هي الساعة. إذن نضيف وحدة المتر المكعب للناتج، وبذلك نحصل على الناتج النهائي.
إذن، حجم الرمل المستخرج بواسطة مجموعة من العمال بعد خمس ساعات لأقرب جزء من مائة هو ٨٧٫٥٠ مترًا مكعبًا.
