نسخة الفيديو النصية
إذا كان مضروب ﺱ ناقص ٤٧ في ﺱﻝ٤٧ يساوي ٣٩٠٦ في مضروب ﺱ ناقص اثنين، فأوجد قيمة ﺱ.
لإيجاد قيمة ﺱ، علينا فهم المقصود بـ ﺱﻝ٤٧، وكذلك تعريف المضروب. يعرف الترميز ﻥﻝﺭ؛ حيث ﻥ وﺭ عددان صحيحان غير سالبين، على صورة الكسر مضروب ﻥ مقسومًا على مضروب ﻥ ناقص ﺭ. يتضح أن هذه العملية الحسابية تعطينا عدد طرق اختيار ﺭ من العناصر المختلفة من مجموعة العناصر المختلفة ﻥ بشرط مراعاة الترتيب. بعبارة أخرى، إنه عدد التباديل لـ ﺭ من العناصر المأخوذة من مجموعة مكونة من ﻥ من العناصر، ومن ثم فإن الرمز ﻝ يشير إلى التباديل.
تستخدم صيغة ﻥﻝﺭ أيضًا ترميز المضروب، لذا دعونا نعرف المضروب. لأي عدد صحيح موجب ﻥ، يعرف مضروب ﻥ بأنه حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من واحد إلى ﻥ بما في ذلك هذان العددان. إذن، مضروب ﻥ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في ﻥ ناقص اثنين، وهكذا، في ثلاثة في اثنين في واحد. جدير بالذكر أيضًا أن مضروب صفر يساوي واحدًا.
على أي حال، بالنظر إلى تعريف المضروب، نلاحظ أن لدينا في الطرف الأيسر ﻥ في حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من واحد إلى ﻥ ناقص واحد؛ أي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. وهذا يعطينا طريقة بديلة لتعريف المضروب. مضروب ﻥ يساوي ﻥ في مضروب ﻥ ناقص واحد. حسنًا، هذه التعريفات الثلاثة هي كل ما نحتاج إليه لحل المعادلة. لنبدأ بالطرف الأيمن، ونفك ﺱﻝ٤٧ بدلالة المضروبات.
لدينا مضروب ﺱ ناقص ٤٧ في ﺱﻝ٤٧ يساوي مضروب ﺱ ناقص ٤٧ في مضروب ﺱ مقسومًا على مضروب ﺱ ناقص ٤٧. للتوصل إلى هذا التعبير، عوضنا عن ﻥ بـ ﺱ، وعن ﺭ بـ ٤٧ في تعريف ﻥﻝﺭ. بالنظر إلى التعبير الموجود في الطرف الأيسر، نرى أن لدينا مضروب ﺱ ناقص ٤٧ مقسومًا على مضروب ﺱ ناقص ٤٧. وأي شيء مقسوم على نفسه يساوي واحدًا، فيتبقى لدينا مضروب ﺱ في الطرف الأيسر. إلا أننا نعلم أن هذا التعبير يساوي الطرف الأيسر من المعادلة الأصلية. يمكننا إذن الآن كتابة المعادلة مضروب ﺱ يساوي ٣٩٠٦ في مضروب ﺱ ناقص اثنين.
لمتابعة تبسيط هذا التعبير، دعونا نر ما سيحدث عند استخدام التعريف الثاني للمضروب مرتين. إذا وضعنا ﻥ ناقص واحد مكان ﻥ، فسيصبح لدينا مضروب ﻥ ناقص واحد يساوي ﻥ ناقص واحد في مضروب ﻥ ناقص اثنين. لكن إذا عوضنا بذلك في التعريف الأصلي لمضروب ﻥ، فسنجد أن مضروب ﻥ يساوي ﻥ في ﻥ ناقص واحد في مضروب ﻥ ناقص اثنين. في الحقيقة، باستخدام هذا التعريف بشكل متكرر، يمكننا فك مضروب ﻥ لأكبر عدد ممكن من الحدود التي نحتاج إليها. في هذه المعادلة، يكفي فك المضروب مرتين؛ لأن لدينا مضروب ﺱ ناقص اثنين في الطرف الأيسر ومضروب ﺱ في الطرف الأيمن.
بفك مضروب ﺱ، يصبح لدينا ﺱ في ﺱ ناقص واحد في مضروب ﺱ ناقص اثنين يساوي ٣٩٠٦ في مضروب ﺱ ناقص اثنين. لدينا الآن عامل مشترك وهو مضروب ﺱ ناقص اثنين في كلا الطرفين. لذا سنقسم طرفي هذه المعادلة على مضروب ﺱ ناقص اثنين. هذا يعطينا ﺱ في ﺱ ناقص واحد يساوي ٣٩٠٦. هذه معادلة تربيعية يمكننا حلها باستخدام أي طريقة جبرية نفضلها. لنوضح إحدى الطرق المفيدة لا سيما في المسائل التي تتضمن المضروبات، لأننا نعلم أن ﺱ لا بد أن يكون عددًا صحيحًا.
نلاحظ أنه إذا كان ﺱ يقتصر على الأعداد الصحيحة، فإن ﺱ وﺱ ناقص واحد عددان صحيحان متتاليان، وهو ما يعني أن قيمتيهما متشابهتان إلى حد كبير. هذا يعني أن ﺱ ناقص واحد يساوي ﺱ تقريبًا، إذن ﺱ في ﺱ ناقص واحد يساوي ﺱ تربيع تقريبًا. هذا ليس صحيحًا تمامًا، لكنه يعني أن قيمة ﺱ قريبة جدًّا من الجذر التربيعي لـ ٣٩٠٦. نعلم أن ذلك لا يمكن أن يكون دقيقًا تمامًا؛ لأن ﺱ عدد صحيح والجذر التربيعي لـ ٣٩٠٦ ليس عددًا صحيحًا. لكن عندما نحسب الجذر التربيعي لـ ٣٩٠٦، نعرف أن ﺱ أحد الأعداد الصحيحة القريبة جدًّا من هذا العدد. وعادة ما نحتاج إلى تجربة قيمة واحدة أو قيمتين فقط قبل إيجاد القيمة الصحيحة.
الجذر التربيعي لـ ٣٩٠٦ يساوي ٦٢٫٥ تقريبًا. لم نقرب هذا العدد سوى لأقرب منزلة عشرية؛ لأن كل ما يهمنا هو العددان الصحيحان القريبان من هذا العدد. إذن، الاحتمالان المباشران لـ ﺱ هما ٦٣ و٦٢؛ أي أقرب عددين صحيحين إلى ٦٢٫٥. من بين هذين العددين، نجد أن ٦٣ هو أكثر تخمين منطقي؛ لأننا نعلم أن ﺱ في ﺱ ناقص واحد يساوي ٣٩٠٦، وﺱ أكبر من ﺱ ناقص واحد. وبالفعل، نجد أن ٦٣ في ٦٢ يساوي ٣٩٠٦ بالضبط. هذا يؤكد التخمين المدروس بأن ﺱ يساوي ٦٣.
إن تقريب قيمة ﺱ بأخذ الجذر طريقة قابلة للتطبيق بوجه عام عندما يكون لدينا حاصل ضرب عدة أعداد صحيحة موجبة متتالية. إذا كان لدينا ﻥ من الأعداد الصحيحة المتتالية، فإننا نأخذ الجذر النوني لحاصل ضربها. والقيمة التي نحصل عليها تكون قريبة إلى حد ما من متوسط تلك الأعداد الصحيحة المتتالية. بمجرد تقريب القيمة المتوسطة للأعداد الصحيحة المتتالية، يمكن الحصول على القائمة المحتملة كاملة اعتمادًا على التجربة والخطأ.
