فيديو السؤال: استخدام نمط حيود الإلكترونات لحساب المسافة الفاصلة بين مستويات شبكة بلورية الفيزياء

تمر حزمة إلكترونات سرعتها ‪2.85 × 10⁶ m/s‬‏ خلال مادة بلورية. ينتج حيود الإلكترونات نمطًا يتكون من منطقة واحدة. يحدث نمط حيود المنطقة الواحدة عندما تسقط الإلكترونات بشكل عمودي على مستوى الشبكة البلورية وتكون المسافة ‪𝑑‬‏ التي تفصل بين مستويات الشبكة البلورية تساوي نصف الطول الموجي للإلكترونات. أوجد ‪𝑑‬‏. اعتبر ‪9.11×10⁻³¹ kg‬‏ قيمة كتلة الإلكترونات، ‪6.63 × 10⁻³⁴ J⋅s‬‏ قيمة ثابت بلانك.

٠٥:٢٨

‏نسخة الفيديو النصية

تمر حزمة إلكترونات سرعتها 2.85 في 10 أس ستة متر لكل ثانية خلال مادة بلورية. ينتج حيود الإلكترونات نمطًا يتكون من منطقة واحدة. يحدث نمط حيود المنطقة الواحدة عندما تسقط الإلكترونات بشكل عمودي على مستوى الشبكة البلورية وتكون المسافة ‪𝑑‬‏ التي تفصل بين مستويات الشبكة البلورية تساوي نصف الطول الموجي للإلكترونات. أوجد قيمة ‪𝑑‬‏. اعتبر 9.11 في 10 أس سالب 31 كيلوجرام قيمة كتلة الإلكترونات، و6.63 في 10 أس سالب 34 جول في الثانية قيمة ثابت بلانك.

حسنًا، في هذا المثال، نتعامل مع مادة بلورية. ولنفترض أن هذا هو شكل تلك المادة من الجانب. هذه إذن إحدى طبقات البلورة. وهذه طبقة ثانية، وطبقة ثالثة، وطبقة رابعة، وهكذا. تسمى المسافة بين الطبقات المتجاورة لهذه البلورة ‪𝑑‬‏، وهي ما نريد إيجاده. تسقط حزمة إلكترونات على هذه المادة البلورية. ونعلم من المعطيات أن الحزمة تسقط عموديًّا، ما يعني أن هناك زاوية قياسها 90 درجة بين الحزمة وطبقات المادة. علمنا من نص السؤال أن الإلكترونات في الحزمة لها طول موجي. في الواقع، يكون للإلكترونات طول موجي وفقًا لما يعرف بعلاقة دي برولي. تنص هذه العلاقة على أن مقلوب الطول الموجي لجسم ما يساوي كمية الحركة الخطية للجسم مقسومة على ثابت بلانك ‪ℎ‬‏.

يمكننا استخدام هذه العلاقة إلى جانب المعطيات لإيجاد قيمة ‪𝑑‬‏، وهي المسافة بين طبقات البلورة. في البداية، دعونا نسجل بعض المعطيات. أولًا، سرعة حزمة الإلكترونات، التي سنطلق عليها ‪𝑣‬‏، تساوي 2.85 في 10 أس ستة متر لكل ثانية. ثانيًا، كتلة كل إلكترون، وسنطلق عليها ‪𝑚‬‏، تساوي 9.11 في 10 أس سالب 31 كيلوجرام. وأخيرًا، نعلم من السؤال أن ثابت بلانك، الذي سنسميه ‪ℎ‬‏، يساوي 6.63 في 10 أس سالب 34 جول في الثانية.

والآن، على الرغم من أننا لا نعرف قيمة ‪𝑑‬‏ تحديدًا حتى الآن، فإن لدينا بعض المعلومات عنها. نعلم من المعطيات أن نمط حيود هذه الإلكترونات التي تسقط على المادة البلورية يتكون من منطقة واحدة. ونعلم أيضًا من السؤال أن هذا يحدث عندما تكون المسافة ‪𝑑‬‏ تساوي نصف الطول الموجي للإلكترونات. لذا أيًّا كانت قيمة ‪𝑑‬‏، فإننا نعرف أنها تساوي الطول الموجي للإلكترونات، الذي سنسميه ‪𝜆‬‏، مقسومًا على اثنين.

دعونا نفسح مساحة على الشاشة ونفكر في كيفية استخدام علاقة دي برولي لإيجاد قيمة ‪𝑑‬‏. تذكر أننا نطبق هذه العلاقة على الإلكترونات. إذن ‪𝜆‬‏ هو الطول الموجي للإلكترونات، و‪𝑝‬‏ هو كمية حركتها. وفقًا للفيزياء الكلاسيكية، كمية حركة الجسم تساوي كتلته في سرعته. هذه طريقة غير نسبية لكتابة كمية الحركة. تستخدم هذه المعادلة عندما تكون سرعات الأجسام أقل بكثير من سرعة الضوء. ولعلنا نتذكر أن سرعة الضوء تساوي تقريبًا ثلاثة في 10 أس ثمانية متر لكل ثانية. إذن ما نريد فعله هو إيجاد قيمة سرعة الإلكترونات ‪𝑣‬‏ ومقارنتها بسرعة الضوء ‪𝑐‬‏.

لاحظ أن سرعة الإلكترونات المعطاة تساوي حوالي ثلاثة في 10 أس ستة متر لكل ثانية. بعبارة أخرى، هذه السرعة تساوي تقريبًا واحدًا على مائة من سرعة الضوء. هذه سرعة غير نسبية تمامًا، وهو ما يعني أنه يمكننا استخدام الصيغة الكلاسيكية لكمية الحركة في معادلة دي برولي. إذن، نكتب أن واحدًا على الطول الموجي للإلكترونات يساوي كتلة الإلكترون في سرعته مقسومة على ثابت بلانك. لنتذكر الآن أننا نريد إيجاد قيمة ‪𝑑‬‏. لاحظ أن اثنين في ‪𝑑‬‏ يساوي الطول الموجي للإلكترون ‪𝜆‬‏. ومن ثم، يمكننا التعويض عن ‪𝜆‬‏ في المعادلة باثنين في ‪𝑑‬‏. وبذلك أصبحت لدينا هذه المعادلة، وسنعيد ترتيبها الآن بحيث يصبح ‪𝑑‬‏ في طرف بمفرده.

دعونا نضرب طرفي المعادلة في اثنين في ‪𝑑‬‏ في ‪ℎ‬‏ على ‪𝑚‬‏ في ‪𝑣‬‏. وهذا سيؤدي إلى حذف عدة حدود من المعادلة. أولًا، في الطرف الأيسر من المعادلة، نحذف اثنان في ‪𝑑‬‏ من البسط والمقام. وفي الطرف الأيمن، نحذف ‪𝑚‬‏ و‪𝑣‬‏ و‪ℎ‬‏. وهكذا يتبقى لدينا ‪ℎ‬‏ على ‪𝑚‬‏ في ‪𝑣‬‏ يساوي اثنين ‪𝑑‬‏ أو ‪𝑑‬‏ يساوي ‪ℎ‬‏ على اثنين ‪𝑚𝑣‬‏. لاحظ أن لدينا قيمة ثابت بلانك ‪ℎ‬‏، وكتلة الإلكترون ‪𝑚‬‏، وسرعة الإلكترون ‪𝑣‬‏. وعندما نعوض بكل هذه القيم، فلا داعي لتحويل أي من الوحدات. يمكننا ببساطة حساب هذا الكسر بأكمله لإيجاد المسافة ‪𝑑‬‏ بوحدة المتر. وعند الإبقاء على ثلاثة أرقام معنوية، نجد أن ‪𝑑‬‏ تساوي 1.28 في 10 أس سالب 10 متر. وهذه هي المسافة التي تفصل بين الطبقات المتجاورة في الشبكة البلورية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.