فيديو السؤال: إيجاد أقصر مسافة بين خط ونقطة الرياضيات

أوجد أقصر مسافة بين الخط ﺹ = (١‏/‏٢ ﺱ) − ٢ والنقطة ﺃ(٩‎، −١٠).

٠٥:٢٩

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد أقصر مسافة بين الخط ﺹ يساوي نصف ﺱ ناقص اثنين والنقطة ﺃ: تسعة، سالب ١٠.

حسنًا، إذا فكرنا فيما يطلبه هذا السؤال، وإذا كنا نحاول إيجاد أقصر مسافة بين خط ونقطة، فإن هذه المسافة ستمثل البعد العمودي. وذلك لأننا إذا نظرنا إلى الرسم المصغر الذي رسمناه هنا؛ نجد أنه إذا أردنا الانتقال من النقطة التي رسمناها هنا، أي النقطة ﺱ، والوصول إلى الخط، فإن أقصر مسافة إليه يمثلها خط مستقيم يتجه نحوه مباشرة، ويكون عموديًّا عليه.

لدينا بالفعل صيغة تمكننا من إيجاد البعد العمودي لنقطة ما على خط. ولكي نتمكن من استخدام هذه الصيغة، يجب أن تكون معادلة الخط لدينا مكتوبة على الصورة ﺃﺱ زائد ﺏﺹ زائد ﺟ يساوي صفرًا. ويكون لدينا أيضًا نقطة إحداثياتها ﺱ واحد، ﺹ واحد. إذن، لإيجاد هذه الصيغة، يصبح لدينا ﻝ، أي البعد العمودي — الذي يمثل أقصر مسافة في هذه الحالة — يساوي المقياس أو القيمة المطلقة لـ ﺃﺱ واحد زائد ﺏﺹ واحد زائد ﺟ الكل مقسوم على الجذر التربيعي لـ ﺃ تربيع زائد ﺏ تربيع.

أولًا، لدينا هنا ﺹ يساوي نصف ﺱ ناقص اثنين. ومن ثم، إذا طرحنا ﺹ من كلا طرفي المعادلة، فسنحصل على نصف ﺱ ناقص ﺹ ناقص اثنين يساوي صفرًا. ولقد بدلت طرفي المعادلة هنا، بحيث يكون التعبير لدينا في الطرف الأيمن. كل ما علينا فعله الآن هو تحديد قيم ﺃ وﺏ وﺟ. في هذه الحالة، معامل ﺱ هو نصف، ومعامل ﺹ يساوي سالب واحد، ثم لدينا ﺟ يساوي سالب اثنين. بعد ذلك، لدينا النقطة ﺃ أي تسعة، سالب ١٠، التي سنحصل منها على قيمة ﺱ واحد، وهي تساوي تسعة، ﺹ واحد، وهي تساوي سالب ١٠.

رائع، لقد حصلنا الآن على جميع القيم التي نحتاج إليها. لذا، دعونا نعوض بها في المعادلة لدينا لإيجاد البعد العمودي أو أقصر مسافة بين الخط والنقطة. عندما نعوض في الصيغة لدينا، نحصل على ﻝ يساوي المقياس أو القيمة المطلقة لنصف مضروبًا في تسعة زائد سالب واحد مضروبًا في سالب ١٠ ناقص اثنين. وهذا كله مقسوم على الجذر التربيعي لنصف تربيع زائد واحد تربيع. ومن ثم، نجد أن ﻝ يساوي المقياس أو القيمة المطلقة لتسعة على اثنين زائد ١٠ ناقص اثنين الكل مقسوم على الجذر التربيعي لربع زائد واحد.

الآن كل ما علينا فعله هو ترتيب هذا. في البسط، نكتب القيمتين الأخريين على صورة كسرين مقامهما العدد اثنان. على سبيل المثال، ١٠ هو نفسه ٢٠ على اثنين أو ٢٠ نصفًا؛ واثنان هو نفسه أربعة على اثنين أو أربعة أنصاف. بعد ذلك، لدينا في المقام واحد، وهو ما يمكن كتابته على صورة أربعة أرباع. وعليه نحصل على ﻝ يساوي مقياس أو القيمة المطلقة لـ ٢٥ على اثنين مقسومًا على الجذر التربيعي لخمسة على أربعة.

يمكننا حذف المقياس أو القيمة المطلقة، وذلك لأن مهمتهما تقتصر على جعل قيمة البسط في الإجابة موجبة، وفي هذه الحالة هنا القيمة موجبة بالفعل. ومن ثم، يكون هذا هو الناتج الذي نحصل عليه في هذه الخطوة. والآن، دعونا نبسط هذا. توجد قاعدة يمكننا الاستعانة بها هنا. هذه القاعدة هي إحدى قواعد الجذور الصماء. وهي تنص على أنه إذا كان لدينا جذر ﺃ على ﺏ، فإن هذا يكافئ جذر ﺃ على جذر ﺏ. وعليه يصبح لدينا ٢٥ على اثنين مقسومًا على جذر خمسة على اثنين. وذلك لأن جذر أربعة يساوي اثنين. يمكننا الآن استخدام إحدى قواعد الحساب باستخدام الكسور. وهي القاعدة التي تنص على أن القسمة على كسر، تكافئ الضرب في مقلوب هذا الكسر. وللحصول على مقلوب الكسر نبدل موقعي البسط والمقام.

وبهذا، نحصل على ٢٥ على اثنين مضروبًا في اثنين على جذر خمسة. الآن، كل ما علينا فعله هو إجراء الحذف التبادلي. وذلك يكون بقسمة كل من البسط والمقام على اثنين؛ حيث إن لدينا قيمتين يمكن حذفهما معًا أو يكون ناتج قسمتهما واحدًا. ومن ثم، يصبح لدينا ٢٥ مضروبًا في واحد على واحد مضروبًا في جذر خمسة، وهو ما يعطينا ٢٥ على جذر خمسة. لدينا الآن ٢٥ على جذر خمسة. لكن، يمكننا هنا إنطاق هذا المقام، لأننا لا نريد أن يكون في المقام لدينا جذر أصم. ولفعل ذلك، نضرب ٢٥ على جذر خمسة في جذر خمسة على جذر خمسة. وهذا لأننا بضرب جذر خمسة في جذر خمسة، نحصل على خمسة.

كما ذكرنا، يمكننا هنا أن نستخدم قاعدة أخرى من قواعد الجذور الصماء. وعليه، إذا كان لدينا جذر خمسة مضروبًا في جذر خمسة، فسيكون الناتج هو خمسة؛ لأن جذر ﺃ مضروبًا في جذر ﺃ يساوي ﺃ. بهذا، يتبقى لدينا ﻝ يساوي ٢٥ جذر خمسة على خمسة، الذي بتبسيطه نحصل على الإجابة النهائية؛ وهي أن أقصر مسافة بين الخط ﺹ يساوي نصف ﺱ ناقص اثنين، والنقطة ﺃ تسعة، سالب ١٠ تساوي خمسة جذر خمسة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.