فيديو السؤال: إيجاد نهاية دالة تتضمن جذورًا تربيعية بالضرب في المرافق الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد تسعة ناقص الجذر التربيعي لسالب ﺱ زائد تسعة على ﺱ عند اقتراب ﺱ من صفر.

لنكتب النهاية مرة أخرى. نرى أنه حيث إن المقام ﺱ، فلا يمكننا التعويض مباشرة. بالمثل، لا يمكننا كتابة نهاية خارج القسمة هذا على أنه خارج قسمة النهايتين، حيث إن هذه القاعدة لا تنطبق إلا إذا لم تكن قيمة النهاية في المقام صفرًا.

وإذا كانت هذه دالة كسرية تحتوي على كثيرة حدود في البسط بدلًا من شيء يتضمن جذورًا مثل التي لدينا، فسنأمل إذن أن نجد العامل المشترك ﺱ في كل من البسط والمقام حتى يحذف من الاثنين.

لكن للأسف لدينا جذران في البسط. ولا يوجد عامل مشترك ﺱ واضح. ولذا، سيكون علينا أن نكون واحدًا. ونفعل ذلك بضرب كل من البسط والمقام في مرافق البسط. مرافق ﺃ ناقص ﺏ هو ﺃ زائد ﺏ. إذن، سنضرب كلًا من البسط والمقام في الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد تسعة زائد الجذر التربيعي لسالب ﺱ زائد تسعة.

يمكننا إذن تبسيط البسط باستخدام متطابقة الفرق بين مربعين أو عن طريق فك الأقواس ثم الحذف. ويمكننا تبسيط الجذر التربيعي لـ ﺱ زائد تسعة تربيع أكثر ليصير ﺱ زائد تسعة. والحد الآخر، الجذر التربيعي لسالب ﺱ زائد تسعة تربيع سيصير سالب ﺱ زائد تسعة.

مرة أخرى، سنترك المقام كما هو ونبسط البسط، لكن هذه المرة بجمع الحدود المتشابهة. ﺱ ناقص سالب ﺱ يعطينا اثنين ﺱ. وتسعة ناقص تسعة يساوي صفرًا. إذن، البسط يساوي اثنين ﺱ فقط. والآن، نلاحظ وجود العامل المشترك ﺱ في البسط والمقام، وهو ما سنحذفه.

والآن، وصلنا للنقطة التي نستطيع فيها التعويض مباشرة. فبالتعويض بصفر عن ﺱ. نحصل على شيء يمكننا إيجاد قيمته يدويًا أو باستخدام الآلة الحاسبة. وهذه القيمة هي اثنان على ستة أو ثلث. الفكرة الرئيسية في حل هذه المسألة كانت الضرب في مرافق البسط حتى نجعل البسط عددًا نسبيًا.

وبعد إجراء بعض العمليات الجبرية، سمح لنا هذا بإيجاد العامل المشترك ﺱ في البسط والمقام، الذي استطعنا حذفه من الاثنين. بالطبع، إن فعل هذا غير مجال الدالة داخل النهاية. كانت الدالة الأصلية غير معرفة عند ﺱ يساوي صفرًا. لكن بالنسبة لكل قيم ﺱ الأخرى، فإن هاتين الدالتين، الدالة الأصلية والدالة المبسطة، لهما المخرج نفسه.

وحيث إن النهاية، عندما تقترب ﺱ من صفر، تعتمد على قيم ﺱ بالقرب من صفر وليس عند ﺱ يساوي صفرًا، فالنهايتان متساويتان. إن الخطوة قبل الأخيرة حين عوضنا مباشرة بصفر عن ﺱ يمكن تبريرها باستخدام قوانين النهايات.

فنهاية خارج قسمة هي خارج قسمة النهاية. ونهاية مجموع هي مجموع النهاية، وهكذا. لكن في هذه المرحلة، غالبًا لا حاجة بك لتبرير كل هذه الخطوات، إلا إذا طلب منك ذلك في المسألة. فما دمت تفهمهما، فيمكنك القيام بذلك بسهولة.