فيديو السؤال: حل أنظمة المعادلات المستنتجة من تطبيقات واقعية باستخدام المصفوفات الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

اشترت فتاة ٣٧ كيلوجرامًا من الدقيق وأربعة كيلوجرامات من الزبد مقابل ٣٤٠ جنيهًا مصريًّا، واشترت صديقتها ١٣ كيلوجرامًا من الدقيق و١٢ كيلوجرامًا من الزبد مقابل ٢٣٦ جنيهًا مصريًّا. باستخدام المصفوفات، أوجد سعر الكيلوجرام الواحد من كل من الدقيق والزبد.

لكي نتمكن من الإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بتعريف بعض المتغيرات. دعونا نفترض أن المتغير ﺱ يمثل سعر الكيلوجرام من الدقيق بالجنيه المصري. وبالمثل، سنفترض أن المتغير ﺹ يمثل سعر الكيلوجرام من الزبد بالجنيه المصري. والآن، يمكننا استخدام هذين المتغيرين لتكوين نظام من المعادلات الخطية. نحن نعلم أن إجمالي تكلفة ٣٧ كيلوجرامًا من الدقيق وأربعة كيلوجرامات من الزبد هو ٣٤٠ جنيهًا مصريًّا. وبما أن ﺱ هو سعر الكيلوجرام من الدقيق، فإن السعر الإجمالي لـ ٣٧ كيلوجرامًا من الدقيق يساوي ٣٧ﺱ. وبالمثل، السعر الإجمالي لأربعة كيلوجرامات من الزبد هو أربعة ﺹ. إذن المعادلة الأولى التي يمكننا تكوينها هي ٣٧ﺱ زائد أربعة ﺹ يساوي ٣٤٠.

نحن نعلم أيضًا أن تكلفة ١٣ كيلوجرامًا من الدقيق و١٢ كيلوجرامًا من الزبد هي ٢٣٦ جنيهًا مصريًّا. إذن ١٣ﺱ زائد ١٢ﺹ يساوي ٢٣٦. والآن، أصبح لدينا نظام من المعادلات الخطية، وعلينا حله لإيجاد قيمتي ﺱ وﺹ. في الواقع، مطلوب منا فعل ذلك باستخدام المصفوفات. إذن، سنكون معادلة مصفوفية على الصورة ﺃﺱ يساوي ﺝ. في هذه المعادلة المصفوفية، ﺃ هو مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين تحتوي على أعداد. وﺱ هو مصفوفة عمود تحتوي على المتغيرين ﺱ وﺹ. وﺝ هو مصفوفة الثوابت. وستكون مصفوفة عمودًا هنا.

وبالتفكير في الطريقة التي يتم بها ضرب المصفوفات، سيكون ﺃ هو معامل ﺱ في المعادلة الأولى. وبالمثل، سيكون ﺏ هو معامل ﺹ في المعادلة الأولى، وﺟ هو معامل ﺱ في المعادلة الثانية، وﺩ هو معامل ﺹ في المعادلة الثانية. وبعد ذلك، نحصل على مصفوفة الثوابت ك واحد، ‏ك اثنين من العنصرين ٣٤٠ و٢٣٦. إذن، المعادلة المصفوفية المكافئة لنظام المعادلات الخطية الموجود لدينا هي المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين، وعناصرها ٣٧، أربعة، ١٣، ١٢؛ مضروبة في المصفوفة العمود ﺱ، ‏ﺹ؛ تساوي المصفوفة التي تحتوي على العنصرين ٣٤٠ و٢٣٦. والآن، بعد أن حصلنا على المعادلة المصفوفية، دعونا نسترجع كيفية حلها.

سنضرب الطرفين في معكوس المصفوفة ﺃ. وبما أن معكوس المصفوفة مضروبًا في المصفوفة نفسها يعطينا مصفوفة الوحدة، فإننا، في الواقع، لا نحصل إلا على ﺱ يساوي معكوس ﺃ في ﺝ. ومن ثم، إذا كانت المصفوفة ﺃ هي هذه المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين وعناصرها ٣٧، أربعة، ١٣، ١٢، فعلينا البدء بإيجاد معكوس تلك المصفوفة. إننا نعلم أنه إذا كانت لدينا مصفوفة رتبتها اثنان في اثنين، وعناصرها ﺃ، ‏ﺏ، ‏ﺟ، ‏ﺩ، فإن معكوسها يساوي واحدًا على قيمة محدد هذه المصفوفة في المصفوفة التي عناصرها ﺩ، سالب ﺏ، سالب ﺟ، ‏ﺃ؛ حيث قيمة المحدد تساوي حاصل ضرب العنصرين ﺃ وﺩ ناقص حاصل ضرب العنصرين ﺏ وﺟ. وبالطبع، إذا كانت قيمة هذا المحدد تساوي صفرًا، فإن معكوس المصفوفة يكون غير موجود.

دعونا نبدأ إذن بإيجاد قيمة محدد المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين. وهي تساوي حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيمن والسفلي الأيسر، أي ٣٧ في ١٢؛ ناقص حاصل ضرب العنصرين العلوي الأيسر والسفلي الأيمن، أي ناقص حاصل ضرب أربعة في ١٣؛ ونحصل من ذلك على ٣٩٢. نحن نعلم أن معكوس تلك المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين يساوي واحدًا على ٣٩٢ مضروبًا في مصفوفة أخرى رتبتها اثنان في اثنين. ولإيجاد هذه المصفوفة الأخرى ذات الرتبة اثنان في اثنين، فإننا نبدل العنصرين المعرفين بـ ﺃ وﺩ. ونغير إشارتي العنصرين الآخرين. ومن ثم، يصبح لدينا معكوس المصفوفة. نحن نعلم أننا سنضرب طرفي المعادلة لدينا في هذه المصفوفة. لذا، دعونا نفرغ بعض المساحة ونفعل ذلك.

سيصبح الطرف الأيمن ببساطة ﺱ، ‏ﺹ. والطرف الأيسر سيكون كما هو موضح. والآن، سنضرب المصفوفة التي رتبتها اثنان في اثنين في المصفوفة العمود. وفي الواقع، سيكون الناتج مصفوفة عمودًا أخرى. سنبدأ بإيجاد حاصل الضرب القياسي لعنصري الصف الأول من المصفوفة الأولى في هذا العمود. وهذا يساوي ١٢ في ٣٤٠ زائد سالب أربعة في ٢٣٦. هذا يساوي ٣١٣٦. سنكرر هذه العملية، لكننا سنستخدم هذه المرة عنصري الصف الثاني من المصفوفة الأولى. إذن، يصبح لدينا سالب ١٣ في ٣٤٠ زائد ٣٧ في ٢٣٦. وهذا يساوي ٤٣١٢.

إذن، المصفوفة ﺱ، ‏ﺹ تساوي واحدًا على ٣٩٢ في المصفوفة العمود التي تحتوي على هذين العنصرين. ولإيجاد ما تساويه المصفوفة العمود ﺱ، ‏ﺹ، ومن ثم قيمتي ﺱ وﺹ، ليس علينا سوى قسمة كل عنصر في المصفوفة هذه على ٣٩٢. ‏٣١٣٦ على ٣٩٢ يساوي ثمانية، و٤٣١٢ على ٣٩٢ يساوي ١١. بما أننا عرفنا ﺱ على أنه سعر الكيلوجرام الواحد من الدقيق بالجنيه المصري، وعرفنا ﺹ على أنه سعر الكيلوجرام من الزبد، نجد إذن أن سعر الكيلوجرام الواحد من الدقيق هو ثمانية جنيهات مصرية، وسعر الكيلوجرام الواحد من الزبد هو ١١ جنيهًا مصريًّا.